Ch ng minh... Ch ng minh... Vi c ch ng minh là khá hi n nhiên.. Ch ng minh... Ch ng minh... Ch ng minh.
Trang 1Trong bài "t duy khái quát t hình ph ng n hình không gian" tôi ã
c p n v n tr ng tâm c a m t a giác l i và tr ng tâm c a a di n l i c ng
nh các tính ch t c a nó.V n d ng các tính ch t ó ta có th xây d ng,m r ng
và khái quát nh ng bài toán khá thú v
Ý t ng c a tôi xu t phát t bài toán r t quen thu c và n gi n sau
Trong m t ph ng cho o n th ng AB G i G là trung i m c a AB , d là m t
ng th ng b t k i qua G G i , H El n l t là hình chi u c a ,A B lên d
Ch ng minh r ng AH BE=
Bài toán 1 Trong m t ph ng cho tam giác ABC∆ , G có là tr ng tâm d là m t
ng th ng thay i b t k i qua G sao cho d chia m t ph ng thành hai ph n ,m t ph n ch a i m A còn ph n kia ch a i m B vàC Gi s A B C l n 1, ,1 1
l t chân ng vuông góc c a các i m A B C trên , , ng th ng d Ch ng
minh r ng AA1=BB1+CC1
d E
H
G
Vi c ch ng minh bài này khá n gi n
V n t ra ây là bài toán này có
m r ng c không và m r ng bài
nh th nào?Sau m t th i gian dài suy
ngh! ,tìm tòi tôi ã tìm ra câu tr l i c a
mình
Sau ây là nh ng bài toán sau m
r ng c a nó
1
1
1 1
d
B
A M
C G
M
A
Ch ng minh G i M là trung
i m c a BC và M là hình 1
chi u c a nó lên ng th ng
d ,khi ó ta có:
AGA MGM
1
1
1 2
AA = AG =
AA = MM (1.1)
Trang 2M t khác , MM1 là ng trung bình c a hình thang BCC B1 1 ,nên
1 1
2
BB CC
MM = + MM =BB CC+ (1.2)
T (1.1) và (1.2) suy ra AA1=BB1+CC1 ( pcm)
Bài toán trên ch ng minh không m y khó kh"n.Sau ây chúng ta s# i ch ng minh bài toán m r ng h n
Bài toán 2 Trong m t ph ng cho t giác l i ABCD ,G là tr ng tâm c a t giác
(là giao i m c a các ng n$i %nh th t v&i tr ng tâm c a tam giác g m ba
%nh còn l i) d là m t ng th ng thay i b t k i qua G và chia m t ph ng thành hai phía có b là d Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t các %nh c a t giác n m m t phía (b d ) n ng th ng d b ng t ng kho ng cách t các
%nh phía còn l i c a t giác n ng th ng d
Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s ,A D cùng m t phía còn
,
B C n m phía còn l i so v&i ng th ngd G i A B C ,1, ,1 1 D l n l t là chân 1
ng vuông góc h t các %nh A B C D n , , , ng th ng d Ta ph i ch ng
minh AA1+DD1=BB1+CC1.Th c v y
G i O là tr ng tâm c a tam giác BCD∆ và O là chân 1 ng vuông góc
t ng ng c a nó lên d N là trung i m c a DC và N1là chân ng vuông
góc h t N n ng th ng d ' t DN1 CC1= E
Khi ó ,ta có:
∆AGA1∼ ∆OGO1 và 1
3
OG
AG = (vì G là tr ng tâm c a t giác ABCD )
suy ra,
d
1 1 1 1
1 1
A
E
N
B
C
G
O
M
N A
D
Trang 31
1
1 3 3
OO OG
OO AA
AA = AG = = (2.1) Trong hình thang BNN B k( 1 1 ng th ng qua N song song v&i B N c)t 1 1
1, 1
BB OO l n l t t i K và P
khi ó ta có,
OO1=NN1+OP (2.2)
và
1 1 1
OP NO OP BK BB NN
BK NB
−
= = = = (2.3)
T (2.2) và (2.3) ,suy ra
BB NN BB NN
OO =NN +OP NN= + − = + (2.4)
H n n a,l i có:∆DNN1∼ ∆DCE nên
1 1 1
CE = DC = = (2.5)
M t khác,
CE CC= 1−EC1=CC1−DD1 (2.6)
T (2.5) và (2.6) suy ra 1 1 1
CE CC DD
NN = = − thay vào (2.4) ta c
1 1 1
BB CC DD
OO = + − (2.7)
T (2.1) và (2.7) ta suy ra
AA1=BB1+CC1−DD1⇔ AA1+DD1=BB1+CC1 ( pcm)
Ti p t c m r ng ta có bài toán sau:
Bài toán 3 Trong m t ph ng cho ng giác l i ABCDE ,G là tr ng tâm c a ng
giác (là giao i m c a các ng n$i %nh th n"m v&i tr ng tâm c a t giác
g m b$n %nh còn l i) d là m t ng th ng thay i b t k i qua G và chia
m t ph ng thành hai phía có b là d Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t các
%nh c a ng giác n m m t phía (b d ) n ng th ng d b ng t ng kho ng
cách t các %nh phía còn l i c a ng giác n ng th ng d
1 1
1
P K
O
B
N O
Trang 4Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s ,A E cùng m t phía còn , ,
B C Dn m phía còn l i so v&i ng th ng d G i A B C1, ,1 1,D E1, 1 l n l t là chân ng vuông góc h t các %nh , , , ,A B C D E n ng th ng d Ta ph i
ch ng minh AA1+EE1=BB1+CC1+DD1.Th c v y
G i H là tr ng tâm c a t giác BCDE∆ và H là chân 1 ng vuông góc
t ng ng c a nó lên d và O là tr ng tâm c a tam giác CDE∆ , O là chân 1
ng vuông góc t ng ng c a nó lên d M là trung i m c a DC , M là chân 1
ng vuông góc h t M n ng th ng d
' t N EO= 1 MM1
Vì G là tr ng tâm c a ng giác và ∆AGA1∼ ∆HGH1 , 1
4
HG
AG = nên
1 1
1 1
1
AA = AG = = (3.1) Trong hình thang BOO B ,k( 1 1 ng th ng qua O song song v&i B O c)t 1 1
1, 1
BB HH l n l t t i K và P
1
1
1 1 1
1 1
1
d
N
O M H
D
A B
C
E G
H
O
M B
A
E
D
C
1 1
1
P K
H
B
O H
Trang 5khi ó thì,
HH1=OO1+HP (3.2)
vì H là tr ng tâm c a t giác BCDE và O là tr ng tâm tam giác CDE∆ ,và
OHP∼ OBK
1 1 1
HP
BK OB
−
= = = = (3.3)
T (3.2) và (3.3) ,suy ra
1 1 1 1
BB OO BB OO
HH =OO +HP OO= + − = +
(3.4)
L i có:∆EOO1∼ ∆EMN nên
1
1
MN = EM = = (3.5)
M t khác,
MN MM= 1−NM1 (3.6)
H n n a ∆EE O1 1∼ ΝΜ1 1O ,suy ra
1 1 1
1
1
NM
EE = EO = = (3.7)
T (3.6) và (3.7) ta có
1
EE
MN MM= −NM =MM − (3.8) Ngoài ra, MM1 là ng trung bình c a hình thang CDD C1 1 nên
1 1 1
2
CC DD
MM = +
(3.9) Thay vào (3.9) vào (3.8) ta c
1 1 1 1
EE CC DD EE
MN MM= − = + −
(3.10)
T (3.10) và (3.5) ta có
1 1 1
1 2
CC DD EE
OO = MN = + − (3.11)
Thay (3.11) vào (3.4) ta c
BB OO BB CC DD EE
T (3.12) và (3.4) ta suy ra
AA1=BB CC1+ 1+DD1−EE1⇔ AA1+EE1=BB CC1+ 1+DD1 ( pcm)
Không b ng lòng v&i nh ng k t qu t c trên, tôi ti p t c m r ng bài toán sang không gian và tìm cách ch ng minh chúng Nh ng c$ g)ng c a tôi
c ng thu c các k t qu h t s c thú v
Ý t ng chính b)t u t m t o n th ng AB b t k ,nh ng AB n m trong
không gian ch không ph i trong m t ph ng Bây gi thay cho ng th ng i
qua trung i m c a AB ,ta cho (P) là m t m t ph ng thay i b t kì i qua trung
i m c a AB Khi ó ta có k t qu t ng t ,ngh!a là kho ng cách t A n
Trang 6( )P b ng kho ng cách t B n ( )P
Vi c ch ng minh là khá hi n nhiên
Tr ng h p ba,b$n và n"m i m b t k trong không gian ta có các bài toán sau
Bài toán 4 Trong không gian cho tam giác ABC∆ , có G là tr ng tâm Gi s
( )P là m t m t ph ng thay i b t k i qua G sao cho ( )P chia không gian thành hai ph n ,m t ph n ch a i m A còn ph n kia ch a i m B vàC Gi s
1, ,1 1
A B C l n l t hình chi u vuông góc c a các i m , ,A B C xu$ng m t ph ng ( )P Ch ng minh r ng AA1=BB CC1+ 1
Ch ng minh G i M là trung i m c a BC và M1 là hình chi u c a nó lên
m t ph ng( )P ,khi ó thì
M ∈ AA M P G∈ AA M P A∈ AA M P ,suy ra A G M1, , 1 thu c giao tuy n d =(AA M1 ) ( )P nên chúng th ng hàng T ó ta có:
∆AGA1∼ ∆MGM1 nên
1
1
1 2
AA = AG = AA1=2MM1 (4.1)
T ng t thì,B M C1, 1, 1 th ng hàng và MM1 là ng trung bình c a hình thang
1 1
BCC B nên:
1 1
2
BB CC
MM = + BB CC+ = MM (4.2)
T (4.1) và (4.2) suy ra AA1=BB1+CC1 ( pcm)
Bài toán 5 Trong không gian cho t di n ABCD ,G là tr ng tâm t c a t di n
.( )P là m t m t ph ng thay i i qua G và chia không gian thành hai ph n
1
1
1
1
B
C
A
G
M
B M
Trang 7.Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t các %nh c a t di n n m ph n không gian th nh t (b ( )P ) n m t ph ng ( )P b ng t ng kho ng cách t các %nh
ph n không gian còn l i c a t di n n m t ph ng( )P
Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s ,A C cùng ph n không gian
th nh t b ( )P , , B D n m ph n không gian còn l i G i A B C ,1, ,1 1 D l n 1
l t là hình chi u vuông góc t các %nh , , ,A B C D n m t ph ng( )P Ta ph i
ch ng minh AA CC1+ 1=BB1+DD1.Th c v y
G i O là tr ng tâm c a tam giác BCD∆ ,O là chân 1 ng vuông góc t ng
ng c a nó x$ng( )P và M là trung i m c a DB , M là chân 1 ng vuông góc
h t M n ( )P
Ta có ,các i m A G O1, , 1th ng hàng vì chúng cùng thu c giao tuy n c a(AA O 1 )
và ( )P ,thêm n a ∆AGA1∼ ∆OGO1 và 1
3
OG
AG = (vì G là tr ng tâm c a t di n
ABCD )
suy ra,
1
1 1
1 1
1
P
N
A
O
M
G
O
M
C
A
D B
C
Trang 81
1
1 3 3
OO OG
OO AA
AA = AG = = (5.1)
M t khác, ta l i có:
1, 1, 1
MM OO CC song song v&i nhau vì cùng vuông góc v&i m t ph ng ( )P H n
n a , ,C O M th ng hàng nên MM OO CC1, 1, 1 ng ph ng Suy ra C O M1, ,1 1
thu c giao tuy n c a m t ph ng (CC MM và 1 1) ( )P nên chúng th ng hàng ' t
1 1
MM C O N= ,Khi ó thì :∆C1ΟΟ ∼1 ∆C NM1 1 nên
1 1 1 1
1
C O OO OO C O NM
C N = NM = C N (5.2) Ngoài ra ,∆CC1Ο ∼ ∆MON nên
1 1 1 1 1
1
1
2
C O ON C O C N
CC C O CO
MN CC
t (5.2) và (5.3) suy ra
1 1
1
3
C O NM
C N
= = (5.5)
mà NM1=MM1−MN (5.6)
T (5.4) và (5.6) suy ra 1
CC
NM =MM − thay vào (5.5) ta c
1 1
OO = MM − = MM − (5.7) Bên c nh ó ,d* dàng th y r ng MM là 1 ng trung bình c a hình thang
1 1
BDD B nên 2MM1=BB1+DD1 thay vào (5.7) ta có
1 1 1
3
BB DD CC
OO = + − OO =BB +DD CC− (5.8)
T (5.8) và (5.1) suy ra
AA1=BB1+CC1−DD1⇔ AA1+DD1=BB1+CC1 ( pcm)
Bài toán 6 Trong không gian cho n"m i n b t kì , , , ,A B C D E sao cho chúng
t o thành các %nh c a m t sáu di n l i ( 6 m t l i).G i G là tr ng tâm c a sáu
di n l i (Là giao i m c a các ng n$i %nh th n"m v&i tr ng tâm c a t di n
g m b$n %nh còn l i ) Gi s ( )P là m t ph ng thay i i qua G và chia
không gian thành hai ph n Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t các %nh c a
sáu di n n m ph n không gian th nh t (b ( )P ) n m t ph ng ( )P b ng
t ng kho ng cách t các %nh ph n không gian còn l i c a sáu di n n m t
ph ng( )P
Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s ,A E cùng m t ph n không
gian (b ( )P ) , , , B C D n m ph n không gian còn l i G i A B C ,1, ,1 1 D E l n 1, 1
Trang 9l t là chân ng vuông góc h t các %nh , , , ,A B C D E n m t ph ng ( )P
.Ta c n ch ng minh AA1+EE1=BB CC1+ 1+DD1.Th c v y
G i O là tr ng tâm c a t di n ABCD∆ ,O1 là chân ng vuông góc t ng
ng c a nó lên ( )P và M là tr ng tâm c a tam giác BCD∆ ,M1 là chân ng vuông góc t ng ng c a nó lên ( )P H là trung i m c a BC , H là hình chi u 1 vuông góc h t H xu$ng m t ph ng( )P
Ta có ,các i m E G O1, , 1th ng hàng vì chúng cùng thu c giao tuy n c a(EE O 1 )
và ( )P , nên ∆EGE1∼ ∆OGO1 và 1
4
OG
EG = (vì G là tr ng tâm c a sáu di n
ABCDE )
suy ra,
1
1
1 4 4
EE = EG = = (6.1)
M t khác, ta l i có:
1, 1, 1
MM OO AA song song v&i nhau vì cùng vuông góc v&i m t ph ng ( )P ,mà
, ,
A O M th ng hàng nên MM OO AA ng ph ng Suy ra 1, 1, 1 A O M thu c 1, ,1 1
P
1
1
1
1 1
1
1
1
N
M H
A O
D
G
H
O
M
B
D
C
A E
C B
E
Trang 10giao tuy n c a m t ph ng (AA MM và 1 1) ( )P nên chúng th ng hàng ' t
1 1
MM A O N= ,Khi ó thì :∆A1ΟΟ ∼1 ∆A NM1 1 do ó
1 1 1 1
1
A O OO OO A O NM
A N = NM = A N (6.2) Thêm n a ,∆AA1Ο ∼ ∆MON ,b i v y
1 1 1 1 1
1
1
3
ON OA A O A N
AA A O AO
MN AA
t (6.2) và (.63) suy ra
1 1
1
4
A O NM
A N
= = (6.5)
B i vì NM1=MM1−MN (6.6)
T (6.4) và (6.5) suy ra 1
AA
NM =MM − thay vào (6.5) ta c
1 1
OO = MM − = MM − (6.7) Bây gi ,Trong hình thangDHH D 1 1
DJ DD HH
MI = = − thay vào (6.8) ta c
1 1 1 1
MM =HH + − = + (6.9)
M t khác ,d* th y HH là 1 ng trung bình c a hình thang BCC B nên 1 1
2HH =BB +CC thay vào (6.9) ta có
1 1 1
BB DD CC
MM = + + (6.10)
T (6.10) và (6.7) suy ra
1 1
1
I
M
J
H
D M
k( ng th ng qua H song
song v&i H D1 1 c)t MM1,
1
DD l n l t t i I và J
Khi ó ,
MM1=HH1+MI (6.8)
Do HMI∆ ∼ ∆HDJ nên:
1
3
MI HM
DJ = HD =
Trang 111 1 1 1 1 1 1 1
1 3.
BB DD CC AA BB DD CC AA
4OO1=BB1+DD CC1+ 1− AA1 (6.11)
T (6.1) và (6.11) ta có
1 1 1 1 1
EE BB CC DD AA
AA EE BB CC DD
⇔ + = + + ( pcm)
T nh ng k t qu trên ta có hai bài toán t ng quát sau
Bài toán 7 ( i n t ng t 1) Trong m t ph ng,cho a +,-c l i n − %nh
1 2 n
A A A i G /0123ng tâm c a nó (là giao c a các ng th ng n$i %nh th
i v&i tr ng tâm c a a giác g m các %nh còn l i ).Gi s ( )d là ng thay i
i qua G và chia m t ph ng thành hai ph n có b là ng th ng ( )d Ch ng
minh r ng t ng kho ng cánh t các %nh c a a giác n m ph n m t ph ng th
nh t (b ( )d ) n ng th ng ( )d b ng t ng kho ng cách t các %nh ph n
m t ph ng còn l i c a a giác n ng th ng ( )d
Bài toán 8 ( i n t ng t 2) Trong không gian,cho n i m A A1, , ,2 A n
sao cho không có b t kì b$n i m nào trong chúng ng ph ng và chúng là
n− %nh c a m t a di n l i nào ó i G 1/0123ng tâm c a a di n l i ó (là
giao c a các ng th ng n$i %nh th i v&i tr ng tâm c a a di n g m các %nh còn l i ).Gi s ( )P là ng thay i i qua G và chia không gian thành hai
ph n có b là( )P Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t các %nh c a a di n
n m ph n không gian th nh t (b ( )P ) n m t ph ng( )P b ng t ng kho ng
cách t các %nh ph n không gian còn l i c a a di n n m t ph ng( )P
' ch ng minh hai bài toán trên ta dùng ph ng pháp quy n p.N u có i u
ki n s# c trình bày s$ ti p theo c a t p chí Các b n hãy th s c mình
ch ng minh hai bài toàn t ng quát trên bi t âu các b n l i có nh ng ý t ng sáng t o ra nh ng bài toán m&i thú v , tìm ra cách ch ng minh hay và g)n g n
Chúc các b n luôn có nh ng ý t ng sáng t o, thú v trong vi c gi i toán!
Trang 1245I LI6U THAM 789O
[ ]1 :-ch +,-o khoa ;<nh ; c 11,=;01xu t > n +,-o ? c ,2007
[ ]2 Phan Huy 7; i,8<nh ; c nâng cao 10-11-12,=;01xu t > n ' i ; c Qu$c Gia 2003
[ ]3 Tuy n @; n theo chuyên 14A-n ; c B01tu i 23(1quy n 3 ,=;01xu t > n +,-o ? c 2008
[ ]4 Nguy*n V"n Nho,Tuy n t p 200 >0i vô nh 2A-n ;<nh ; c,=;01xu t > n +,-o ? c 2004
[ ]5 4 p @;C1Mathvn trên trang web mathvn.org
[ ]6 Trang web diendantoanhoc.net
[ ]7 T p chí toán h c tu i tr(
[ ]8 Lê Qu$c Hán,Dn sau nh lý Ptôlêmê,Nhà xu t b n giáo d c
[ ]9 Nguy*n V"n Nho, B$n m i n"m Olympic Toán h c Qu$c t ,Nhà xu t b n giáo d c ,2000
