sử dụng tọa độ để giải các bài toán hình không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN THI THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ

THANH II

Người thực hiện: Lê Thi Đào Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2016

MỤC LỤC Trang

1.2 Mục đích nghiên cứu 2 1.3 Đối tượng nghiên cứu 2 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

sẵn góc tam diện vuông 5

2.3.2 Loại 2: Kẻ thêm đường phụ tạo thành góc tam diện vuông

1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian là nội dung rất khó trong chương trình toán phổ thông,

nó đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy và trí tưởng tượng tốt Vì vậy, đa phần các học sinh thường không hứng thú, có bạn còn xem phần này như là một nỗi ám ảnh của mình, đặc biệt đối với học sinh trường Như Thanh II, với đầu vào môn toán rất thấp, điểm bảy điểm tám chỉ đếm trên đầu ngón tay, điểm hai điểm ba chiếm phần đa Với đối tượng học sinh như trên thì việc dạy hình không gian là một công việc rất khó với thầy cô Một thực tế rằng, đề thi môn toán trong các kì thi Đại học- Cao đẳng trước đây và kì thi THPT Quốc gia gần đây không thể không có câu hình không gian, tuy nhiên các em học sinh trường THPT Như Thanh II thường hay bỏ qua vì các em mặc định đây là câu khó không làm được Chính vì thế, một câu hỏi thường trực luôn làm tôi phải suy nghĩ đó là: Làm thế nào để học sinh có thể tiếp cận môn hình không gian một cách dễ dàng nhất, làm sao để các em học hình không gian một các dễ hiểu nhất hay chí ít cũng làm được một số bài tập điển hình để khi đi thi các em không còn thấy sợ, không phải “mặc định bỏ qua” câu hình không gian nữa

Sau bao lần tìm tòi, suy nghĩ tìm các phương án, tôi nhận thấy rằng dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian có lẽ là phương pháp phù hợp nhất với đối tượng học sinh trường Như Thanh II Bởi lẽ, với phương pháp này sẽ giảm bớt khả năng tưởng tượng một khả năng được xem như là “yếu huyệt” của các em, thay vào đó tăng khả năng ghi nhớ về các công thức của hình giải tích Có một số bài toán về hình không gian như tính khoảng cách, tính góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng trong không gian nếu làm theo cách thông thường thì cực kì khó khăn nhưng nếu gắn hệ trục tọa độ vào để giải thì vấn đề lại trở nên đơn giản hơn rất nhiều Có những bài giải theo phương pháp tọa độ sẽ ngắn gọn, dễ hiểu đến “ngỡ ngàng” Một thuận lợi nữa là đa số các bài toán hình không gian trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trước đây và THPT Quốc gia năm vừa rồi đều có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải một cách nhanh chóng Một thực tế là trong chương trình sách giáo khoa cơ bản ít được nhắc đến, chỉ có sách giáo khoa nâng cao 12 có đưa một số công thức còn bài tập cũng không nhiều, rồi đến đáp án các bài không gian trong các đề thi cũng không có cách giải bằng phương pháp tọa độ

Vì những lí do nêu trên, nay tôi viết SKKN “ Sử dụng phương pháp tọa độ

để giải bài toán hình không gian nhằm nâng cao hiệu quả ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh trường THPT Như Thanh II” nhằm giúp các em hoàn

thiện hơn về phương pháp giải toán hình học không gian, thấy được cái muôn màu muôn vẻ của Hình học đồng thời tạo nên sự hứng thú, hiệu quả cho các em trong quá trình học tập và ôn luyện môn toán

2

1.2 Mục đích nghiên cứu

+ Giúp học sinh vận dụng giải các bài tập hình không gian một cách đơn giản,

dễ hiểu từ đó nâng cao năng lực giải các bài toán hình không gian cho học sinh lớp 12 trường THPT Như Thanh II Tạo động lực, sự tự tin cho các em trước kì thi THPT Quốc gia

+ Nghiên cứu nhằm tích lũy kinh nghiệm cho bản thân và trao đổi với các đồng nghiệp trong trường để nhằm đạt mục đích chung là nâng cao hiệu quả dạy

và học môn toán Đặc biệt là nâng cao chất lượng bài làm môn toán trong kì thi THPT Quốc gia của các em học sinh trường THPT Như Thanh II

1.3 Đối tượng nghiên cứu

+ Nghiên cứu các bài toán hình không gian sử dụng phương pháp tọa độ để giải Bài toán hình không gian trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, THPT Quốc gia những năm gần đây

+ Học sinh của lớp 12A3 năm học 2015-2016 trường THPT Như Thanh II

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian

- Phương pháp quan sát: Quan sát thực tiễn quá trình học tập, ôn luyện của học sinh trường THPT Như Thanh II trong những năm qua

- Phương pháp thực nghiệm: So sánh phân tích hai quá trình dạy học Một bên

sử dụng phương pháp tọa độ, một bên là các phương pháp khác để giải bài toán hình không gian

- Phương pháp phân tích thống kê: Sử dụng để xử lí số liệu để kiểm định các giả thiết của thực nghiệm, phân tích kết quả thực nghiệm

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ

+ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx),

đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

+ Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz

Chú ý: , ,i j k là các véc tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz thỏa mãn:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Nếu ∆1/ /∆ thì 2

Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy,

Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ

trục tọa độ vuông góc trong không

gian.

u u

ϕ =

Đặc biệt: Tính góc giữa hai đường thẳng AB, CD khi biết tọa độ của chúng:

AB CD cos

u n sin

Thông qua bảng thống kế trên ta có nhận xét sau:

Số học sinh đạt điểm thấp( dưới 5) chiếm tỉ lệ rất cao: là 78,58%, trong khi đó điểm khá tốt thì ngược lại, chiếm tỉ lệ rất thấp

Bảng khảo sát trên cho thấy một thực tế rằng khả năng giải bài toán hình không gian của lớp 12A3 là rất yếu, đây là một thực trạng chung của học sinh toàn trường

2.3 Giải pháp thực hiện

Khi giải một bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ chúng ta thường tuân theo ba bước sau đây:

+ Gắn hệ trục tọa độ thích hợp vào hình không gian

+ Tính tọa độ các điểm trong đề bài theo hệ trục tọa độ vừa chọn

+ Giải quyết bài toán dưới góc nhìn của hình giải tích

Thông thường, khi gắn tọa độ vào hình không gian ta hay dựa vào những góc tam diện vuông Tuy nhiên, đề bài cho không phải lúc nào cũng xuất hiện góc tam diện vuông mà đôi khi ta cần kẻ thêm một số đường phụ để làm xuất hiện góc tam diện vuông Cụ thể, tôi chia ra làm hai loại sau đây

2.3.1 Loại 1: Gắn hệ trục tọa độ vào những hình không gian có sẵn góc tam diện vuông

a) Dấu hiệu và cách gắn:

Dấu hiệu để nhận biết những bài toán hình không gian loại này là đề bài cho các hình như: hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình chóp có đáy là hình vuông hoặc là hình thoi có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy, cho góc tam diện

6

vuông, cho ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau tại một điểm,…Ở dạng bài toán này, chúng ta thường chọn hệ trục tọa độ có gốc tại góc tam diện, các trục là các đường thẳng đôi một vuông góc tại góc tam diện Cụ thể ta xét một số hình cho sẵn các góc tam diện vuông dưới đây:

Đối với hình lăng trụ đứng có đáy là

tam giác vuông tại A ta gắn hệ trục

(0;0;0 ,) , ,

A≡O B∈Ox D∈Oy S∈Oz

7

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình

vuông hoặc hình thoi tâm O SO vuông

góc với đáy Chọn hệ trục như hình trên:

Bài tập 1.1 (ĐH Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là

hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

1, '

Nhận xét : Với hình trên ta chọn bất cứ điểm nào làm gốc tọa độ cũng được

Bài tập 1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2,

AC cắt BD tại O, SO vuông góc với (ABCD), SO=2 2 Gọi M là trung điểm

SC , mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Bài tập 1.3 ( THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC

Giải

Chọn hệ trục tọa độ sao cho: A≡O(0;0;0 ,) D∈Ox B, ∈Oy S, ∈Oz như hình vẽ

Bài tập tương tự:

Bài tập 1.4 (ĐH Khối D – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 45 Tính theo a 0

thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

Bài tập 1.5 (ĐH Khối B-2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh

bằng a

a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D

b Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N

2.3.2 Loại 2: Kẻ thêm đường phụ tạo thành góc tam diện vuông để gắn hệ trục tọa độ

a) Dấu hiệu và cách gắn

Loại bài toán này trong giả thiết thường xuất hiện sẵn một hoặc hai góc vuông Chúng ta cần kẻ thêm một vài đường phụ để chúng thành các tam diện vuông và khi đó ta chọn hệ tọa độ dựa vào góc tam diện vuông đó Loại này thường không có quy tắc gắn hệ trục rõ ràng mà phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể Sau đây tôi đưa ra một số trường hợp điển hình

Các véc tơ:

Suy ra

Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với

đáy Tam giác ABC vuông tại C Chọn

hệ trục sao cho

(0;0;0 ,) , , / /

Hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều

Ta chọn hệ trục sao cho gốc tọa độ O trùng với trọng tâm tam giác ABC và

Ox⊥ AC C∈Oy S∈Oz

Hình chóp S.ABC đáy là tam giác cân

tại A, SA vuông góc với đáy Ta chọn

hệ trục như hình vẽ

(0;0;0 ,) , ,

A≡O B∈Ox Oy⊥ AB S∈Oz

Hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy Tam giác SAC cân tại S, tam giác ABC cân tại B Chọn hệ trục như hình vẽ Gốc tọa độ O là trung

điểm của AC và

C∈Ox B∈Oy S∈Oz

Hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ

nhật hoặc hình vuông Tam giác SAB

cân tại S, (SAB) vuông góc với đáy

Hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật tâm O, SO vuông góc với đáy

Chọn hệ trục sao cho gốc tọa độ trùng

Chọn hệ trục sao cho gốc tọa độ là

trung điểm của AB và

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi

tâm I SD vuông góc với mặt đáy

(0;0;0 ,) , ,,

Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác

đều Chọn hệ trục sao cho gốc tọa độ

là trung điểm của AC và

, , / / '

C∈Ox B∈Oy Oz BB

Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cân

tại A Chọn hệ trục sao cho gốc tọa độ

Bài tập 2.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a ,

các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6a Tìm côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD

Từ giả thiết suy ra:

B

A B'

C

A'

C'

Thể tích của khối chóp S.ABCD là :

Nhận xét: Trong bài toán trên ta thấy rằng, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD

và tìm giá trị lớn nhất của nó thì ta sử dụng cách giải Hình không gian bình thường sau đó áp dụng BĐT Côsi Nhưng ý tiếp theo, tính góc giữa hai mặt

phẳng (SBC) và (SDC) nếu không sử dụng phương pháp tọa độ thì việc tìm góc

đó rất khó khăn Một khi đã gắn hệ trục tọa độ vào rồi, ta chỉ cần tính toán cẩn thận và áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình giải tích là xong Đó là một trong những ưu điểm của phương pháp tọa độ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, một bài toán không phải có duy nhất một cách gắn hệ trục, như bài

trên ta có thể chọn hệ trục sao cho A trùng với gốc tọa độ AB nằm trên tia Ox,

AD nằm trên tia Oy, tia Oz song song với SO

Bài tập 2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =

AC = a, góc BAC=1200, cạnh bên BB' = a Gọi E là trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'E vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC)

Bài tập 2.3 (ĐH Khối A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều

cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh

AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600

Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

0 21.tan 60

Bài tập 2.4 (ĐH Khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A, D và AB = AD =2CD = 2a Góc giữa hai mặt phẳng và (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , tính thể tích khối chóp theo a

Giải

Dựng tia Mz song song với HS

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Điểm M trùng với gốc tọa độ

O(0;0;0) Khi đó, tọa độ các điểm

Từ A dựng tia Az vuông góc với đáy Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ

trên

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc

với đáy, giả sử SI = h Ta có:

Nhận xét: Ở bài này ta cũng có thể gắn gốc tọa độ trùng với I hoặc D, nhưng khi

đó việc tính toán sẽ phức tạp hơn là gắn ở A

Bài tập 2.5 Cho tam giác đều ABC có cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm

đối xứng với A qua I Dựng đoạn 6

Chọn hệ trục Oxyz có gốc O trùng với điểm I , các tia Ox, Oy trùng với tia ID,

IC tia Oz song song và cùng chiều với tia SD Khi đó Iz cắt SA tại M, suy ra

a) Mặt phẳng (SAB) có phương trình đoạn

chắn là

a n

Bài tập 2.7 (ĐH Khối A-2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có độ dài cạnh bên

bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu

vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a

Bài tập 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ABC =600

.Cạnh bên SA⊥(ABCD) và SA=a 3

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB

c) Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBD)

Bài tập 2.9 (ĐH Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh

AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

Bài tập 2.10 Cho tứ diện đều ABCD, H là chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D,

I là trung điểm của DH và K là chân đường vuông góc hạ từ I lên DC Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua trọng tâm tam giác DAB

Bài tập 2.11 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB=a AC, =a 3 và hình chiếu vuông góc của

17

đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

Bài tập 2.12 (ĐH Khối Đại A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có

độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC)

2.3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

SKKN này là tài liệu, cơ sở để tôi vận dụng vào ôn luyện những kiến thức về hình không gian và hình tọa độ cho học sinh chuẩn bị cho kì thi trung học phổ thông quốc gia

Khi áp dụng SKKN này vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Như Thanh

II tôi thấy khả năng và mức độ làm các bài toán hình không gian của các em được cải thiện đáng kể, hiệu quả tăng lên rõ rệt Cụ thể, năm học 2015-2016 tôi

có dạy và ôn luyện cho lớp 12A3 thường xuyên sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian Sau một thời gian ôn tập, vào cuối năm học 2016 tôi cho lớp làm hai bài kiểm tra với mức độ kiến thức tương đương nhau nhằm mục đích thống kê số điểm và so sánh, đánh giá kết quả điểm số bài kiểm tra của lớp với lúc trước khi sử dụng phương pháp này

Đề bài

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 Gọi I, J, K

lần lượt là trung điểm các cạnh AA’, CD, A’D’

a) Tính thể tích của khối tứ diện BIJK

b) Biết BK ⊥(A C D' ' ).Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP

b) Chứng minh rằng (ANP) vuông góc với (ABCD)