SKKN_MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ (File word tải về để không bị lỗi font)

SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Trang 1

SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộcnhư: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm… ta còn gặpcác bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiệncực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đạihọc, cao đẳng

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây làdạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu tabiết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháptọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc

Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê,yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiếnthức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi trình bày chuyên đề

“ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi.

- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêuthích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề

2 Khó khăn.

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm

vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian

- Đa số học sinh yếu môn hình học

III NỘI DUNG.

1.Cơ sở lý luận.

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khảnăng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thứcnâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải cácbài toán được đặt ra

2. Nội dung.

Trang 2

3 2

2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng

a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).)

- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc

với (α).))

- Tìm giao điểm H của MH và (α).)

Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt

phẳng (α).) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α).), dùng

công thức trung điểm suy ra tọa độ M’

b Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

- Viết phương trình tham số của d

- Gọi H  dcó tọa độ theo tham số t

- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi

- Tìm t, suy ra tọa độ của H

2.2 Ca ́c bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.

Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) sao cho k MA1 1 k MA2 2   k MA n n

có giá trị nhỏ nhất.

PP chung:

 Tìm điểm I thỏa k IA + k IA + + k IA1 1 2 2  n n 0

 Biến đổi k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MI1 1  2 2  n n 1  2  n

 Tìm vị trí của M khi MI 

đạt giá trị nhỏ nhất

2 M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d:

2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0 

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d :x- 4 = y+1 = z

1 1 1 và hai điểm A 0;1;5  , B 0;3;3  Tìm tọa độ điểm M trên đương thẳng d sao cho:

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất

Trang 3

MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB MJ MJ có giá trị nhỏ nhất khi M là hìnhchiếu vuông góc của J lên đường thẳng d

MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất

2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa                                            3                0

Trang 4

Vậy với 5 ; 245; 135)

M( thì                                            3

MA -2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2: Cho đa giác A 1 A 2 …. A n và n số thực k 1 , k 2 , …., k n thỏa k 1 + k 2 + ….+ k n = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) hay đường thẳng) sao cho tổng T =

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất.

Giải:

1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và    3 3

(2; ; )

2  2I

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB)  2  2

, do AB 2 không đổi nên

MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)α)).

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α).): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2),

C(1; -2; 1)

1) Tìm M trên mặt phẳng (α).) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất

2) Tìm M trên mặt phẳng (α).) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất

Trang 5

2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0               

Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp nα)  (1; 2;2)

Phương trình tham số MJ:

B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm tọa độ điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Trang 6

Vậy với ( ; ; )1 2 7

3 3 3

M thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

Nhận xét:Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M

VớiM d  M(1 t; 2 2t; 3 t)  

Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2

= - 6t2 – 8t +5

( ) 6 – 8 5,

f t  t t  t R

3

Bảng biến thiên

T   2

3  

f’(t) + 0

f(t) 23

3

   

Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi 2

3

t  .

Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi ( ; ; )1 2 7

3 3 3 M

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0    thì G(2;1;1) là trọng tâm ABC

Ta có:

MA2 + MB2 + MC2 =(MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC)                                           2                                           2 2

= GA GB2  2 GC +3MG + 2MG(GA GB GC)2 2                  

= GA GB 2  2  GC +3MG 2 2

Do GA GB 2  2  GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay

M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d

M d  M(1 t; 2 2t; 3 t)   , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)

Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì   0

GM u

Vậy với ( ;1; )1 5

M thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B

không thuộc (α)α)) Tìm điểm M trên (α)α)) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

PP chung:

1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α).) Để

MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α).) và AB

Trang 7

2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α).).Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α).) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạtgiá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α).) và A’B

Giải:

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).)

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).)

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận  (1; 1;0)

Phương trình tham số của AB:

2 2

x t

y t z

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α).), AA’ nhận    (1; 1;2) 

phương nên phương trình tham số AA’:

1 2

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =1 H( ; ;0)3 3

Do H là trung điểm AA’ nên

' ' '

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α).) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3;

1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) MA - MC có giá trị lớn nhất

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α).) có phương trình:

x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm tọa độ điểm M trên mặtphẳng (α).) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Trang 8

Vậy với (13;1; 4)

M thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của(α).).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).)

Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức Mlà giao điểm của A’C và (α).) Đường thẳng A’C có vtcp   ( 1; 3; 3) 

Vậy với ( ;5 5; 5)

4  4  4

M thì MA - MC có giá trị lớn nhất

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M

trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

PP chung:

1. Nếu d và AB vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Viết phương trình mặt phẳng (α).) qua AB và vuông góc với d

- Tìm giao điểm M của AB và (α).)

- Kết luận M là điểm cần tìm

2. Nếu d và AB không vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t

- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

Giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 23

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

Trang 9

Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 2 17

AB OA= (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau

Phương trình tham số của Ox: 0

0

x t y z

S = MA + MB = (t -3) 2   0 4  (t -2) 2   1 0= (t -3) 2  4  (t -2) 2  1

Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét cácđiểm Mt(t; 0)  Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt

Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox

Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0

S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt  3t - 7 = 0 hay 7

Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.

Ta xét hàm số f t   (t -3) 2   4 (t -2) 2  1 (t  R)

t t

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trên trục Ox sao cho

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 10

u AB NA= (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – 4 = 6  d và AB chéo nhau

- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), do AB không đổi nên 2p đạt giá trịnhỏ nhất khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Xét điểm M d M(1 2 ; t 2+2t;1t), ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhấtXét f t  MA + MB = (2t2)2(2 1)t 2t2  (2 )t 2(2t 2)2(t1)2

Trang 11

Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t = 1

3



Hay với 2 4 1; ; )

3 3 3M( thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm

t sẽ đơn giản hơn

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d 1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M d 1 , N d 2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.

PP chung:

- Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số

- Lấy M d1 và N d2( tọa độ theo tham số)

- Giải hệ phương trình   1 0

MN u (u 1,

2



u là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 )

- Tìm tọa độ M, N và kết luận

Hay d1 và d2 chéo nhau

2) Md1 và Nd2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạnvuông góc chung của d1 và d2

Phương trình tham số của hai đường thẳng

d1:

5

1 211

t t

Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 1 :

2) Tìm điểm Md1 và N d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

Trang 12

Giải:

M lên AB

nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc

chung của AB và d

Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u(1;1;0)

AB qua A(1; 2; 3) và  

AB (0; -2;-2) =2 1

u với 1(0;1;1)



u là véc tơ chỉ phương của AB

Phương trình tham số AB

1

t t

- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N

- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox

Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1)  ,

Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0)

[ ,u i ]OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2  0 nên d và Ox chéo nhau

Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và  (

MN t’; -t; t – 2)

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:

2 4 2

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm Mtrên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

02

t t

Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đườngthẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,25 MB