Đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác... LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––

MAI THỊ LIÊN

ĐA THỨC VI PHÂN CÁC HÀM PHÂN HÌNH

VÀ VẤN ĐỀ CHIA SẺ GIÁ TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Học viên

Mai Thị Liên

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA 3

1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna và Công thức Poison - Jensen 3

1.1.1 Công thức Poison - Jensen 3

1.1.2 Các kí hiệu 3

1.1.3 Các hàm đặc trưng Nevalinnna 3

1.2 Một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna 5

1.3 Bổ đề 13

Chương 2: QUAN HỆ CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐA THỨC VI PHÂN CỦA NÓ CHIA SẺ MỘT GIÁ TRỊ 14

2.1 Hai định lý 14

2.2 Chứng minh Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2 19

2.3 Toán tử vi phân dạng ' : n f f af    38

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị là một trong những hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 “Cở sở lý thuyết của Nevanlinna” được dành để trình bày một

số khái niệm và kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna, cần thiết cho việc giới thiệu các kết quả ở chương sau

Chương 2 “Quan hệ của cặp hàm nguyên và hàm phân hình khi đa thức vi

phân của chúng chia sẻ một giá trị” là phần chính của luận văn Ở đây, chúng tôi

giới thiệu (với chứng minh chi tiết) một kết quả gần đây của J Grahl and Sh Nevo

(trong bài báo: Differential polynomials and shared values, Annales Academiæ

Scientiarum Fennicæ Mathematica
 Volumen 36, 2011, 47-70)

Luận văn được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Hà Huy Khoái Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn thông cảm, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy!

Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình

Em xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau Đại học Sư phạm, các thầy cô giáo khoa Toán và gia đình đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn Cuối cùng, em xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp

cao học Toán giải tích - k23b Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia

sẻ kinh nghiệm cho em trong suốt thời gian qua

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Học viên

Mai Thị Liên

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA

Công cụ sử dụng chủ yếu trong luận văn này là Lý thuyết phân bố giá trị các hàm phân hình, hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna Kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna là hai Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết

Chương này có mục tiêu trình bày những kết quả cơ bản đó cùng với những hệ quả cần thiết để trình bày phần tiếp theo

1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna và Công thức Poison - Jensen

1.1.1 Công thức Poison - Jensen

Giả sử f z( ) là hàm phân hình trong hình tròn z R, 0   R , có các

không điểm a  1, 2, , M; các cực điểm b v v(  1, 2, ,N) trong hình tròn đó (mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một lần số bội của nó)

Định nghĩa1.1 A K  A K được gọi là tập các hàm nguyên trên K và

(kể cả bội ) của f a trong đĩa K 0;r

hàm giá trị của f a trên đĩa K 0;r

Định nghĩa 1.3 Với a  K   ta định nghĩa

+ Hàm đếm được số 0- điểm ( kể cả bội ) của f a trong đĩa K 0;r

+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa K 0;r được xác định bởi

Định nghĩa1.5 Giả sử x là số thực dương, kí hiệu log xmax 0, log x

Ta có: logx log x log 1

1.2 Một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna

Định lý 1.2.1 (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng

trên K0,  Khi đó, với mọi a K , ta có

 

 , l   ,  l   ,  l   ,   1  ,   , 

T r f m r f N r f m r f  l N r f S r f

 l 1 T r f,  S r f,  Như vậy trong trường hợp này (1.2) được chứng minh

Nếu f z  có cực điểm cấp p tại z0 và a z v  có cực điểm cấp không quá

q tại z0 thì   z có cực điểm tai z0 cấp không vượt quá p l q và

Vậy định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.7 Giả sử f z  là hàm phân hình trên mặt phẳng phức , a ,

đặt

 được gọi là chỉ số bội của giá tri a

Định lý 1.2.4 (Định lý Quan hệ số khuyết) Giả sử f z  là hàm phân hình trên , khi đó tập hợp các giá trị a mà  a  0 cùng lắm là đếm được, đồng

Chứng minh.Từ định nghĩa suy ra rằng:    a   a   a Chọn dãy

 r n ,r n   sao cho S r n ologT r f n,   Từ định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt a a1, 2, ,a q ta có

Khi đó, đại lượng logr n

b tham gia k lần trong công thức tính tổng



            Tức là

   

1

2

q v v

minh bởi Fang 2 , Lin, Yi  8 và nhiều người khác Về sau, chúng ta nghiên

cứu các định lý xác định duy nhất khác nhau đối với các đa thức vi phân dạng

Hơn nữa, bởi N r f g , | c chúng ta kí hiệu hàm đếm các cực điểm của

f mà không phải là không điểm của gc Kí hiệu tương ứng cho N r f g , | c

hoặc N r f g , | c Bởi S r f ,  chúng ta kí hiệu số hạng tùy ý o T r f  ,   khi

r ngoài một tập có độ đo hữu hạn

Đánh giá nổi tiếng sau [5: định lý 3.2] đóng một vai trò rất quan trọng

Bổ đề 1.3.1 (Bất đẳng thức Milloux) Nếu f là hàm phân hình trong và

với điều kiện f k c

Ngoài ra, chúng ta cần mở rộng sau đây của định lý Tumura Clunie nổi tiếng bởi Yi  10

Bổ đề 1.3.2 Cho n 2,n , P là một đa thức vi phân có bậc deg( )P  n 1 và

trọng lượng w P  với hệ số không đổi Cho f là các hàm phân hình trong  :  f nP f  Nếu P f  0 thì



Đúng với mọi hàm phân hình f và với mọi r > 0

Cuối cùng, kết quả sau đây từ [4, Định lý 9] là hữu ích trong chứng minh của hệ quả 5

Bổ đề 1.3.4 Cho

1

t

j j j



 

Nếu f là một hàm nguyên khác không trong và H f[ ]  0, thì f có dạng

  ax b

f z e  , a b, 

Chương 2 QUAN HỆ CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐA THỨC VI PHÂN CỦA NÓ

 

 

k n

f

n k

Ta sẽ chứng minh định lý 2.1.1 và 2.1.2 cùng một lúc Vì vậy, giả sử

rằng f và glà các hàm phân hình, f và g có chia sẻ giá trị b kể cả bội,

11, 2

nmax k Hơn nữa, giả sử f và g là các hàm nguyênhoặc n 5k 17

 Phác thảo ngắn gọn các ý tưởng chính để chứng minh Định lý 2.1.1 và

Định lý 2.1.2

Phác thảo của chứng minh: Không giảm tổng quát, giả sử a 1, xét các hàm

:

n f

f

f b

g

g b







 ,

trong đó f và g xác định như trong (2.1)

Dễ dàng thấy rằng T r , f  ít nhiều gần với nk 1  T r f , 

mâu thuẫn nếu n đủ lớn (Như đã nêu trong các định lý, n 5k 17 trong trường

hợp phân hình, nmax11,k 2 trong trường hợp hàm nguyên)

Để có được một đánh giá như trong (2.4), ta cần nghiên cứu các hàm

đếm thu gọn các không điểm và cực điểm của fvà các không điểm của f  1

Các không điểm của f là không điểm của f , các không điểm của f  1 là

không điểm của  k

f b và cực điểm của f Nhờ định lý cơ bản thứ nhất, các

    có thể ước lượng bởi T r f ,  S r f, 

vàk 2  T r f,  S r f,  Cực điểm của f là các không điểm của f  1 Điểm

khó khăn chính trong các chứng minh là cần nhận được một số ước lượng cho

 . Ở đây, các không điểm bội của f b là

dễ dàng kiểm soát; hàm đếm của chúng không vượt quá 3 k T r f  ,  S r f,  (tương ứng nhiều nhất là 2T r f ,  S r f,  trong trường hợp hàm nguyên) Vì vậy, chúng ta có thể giới hạn ở việc xét các không điểm đơn f b

nó có nhiều tính chất đẹp Do bổ đề về đạo hàm logarit m r D ,  là nhỏ và

dof b và gb chia sẻ giá trị 0, D không có cực điểm nào ngoài có thể là các cực điểm của f và gvà tất cả các cực điểm của D là đơn (vì D gồm các đạo hàm logarit)

Nếu z0là không điểm của f bvà g b , thì ta có thể tính

 0  0

'' '' 1

f z  b f z để thay thế các từ trong  'f cái nào là "lớn"

trong ý nghĩa của lý thuyết Nevanlinna (tức là với đặc trưng n T r f.  , ) bằng những cái nhỏ hơn (với đặc trưng cT r f ,  trong đó c là độc lập với n)

1 :

Ở đây, như đã nói trên, D không có cực điểm nào khác hơn ngoài có thể

là các cực điểm của f và g và nó bao gồm các đạo hàm logarit , vì vậy

 , 

m r D là nhỏ và N r D , N r f , N r g , là " không quá lớn"

Do đó, chỉ còn phải xét Q f  và Q g 

Sử dụng định lý cơ bản thứ nhất hàm đếm các cực điểm của Q f  (đây

là các số không điểm của mẫu số của Q f  và các cực điểm của f) có thể được ước lượng bởi k 5 T r f,  S r f,  Nhưng ta có thể nói gì về m r Q f ,    (và

 

m r Q f ) ?

Ta thấy rằng

Như vậy, ta phải chỉ ra H 0, tức là phải đưa ra đồng nhất thức đầu tiên liên hệ f và g Trong những phần còn lại của chứng minh, ta nhận được những đánh giá và đồng nhất thức ngày càng mạnh

Trước tiên ta chỉ ra rằng V f cV g , c \ 0 

Sau đó, suy luận rằng c là hàm hữu tỷ, chẳng hạn c p

q

 , p q,  Kết hợp V f cV g  và H 0 ta được

g b Phân tích cẩn thận những mối quan hệ ta có mâu thuẫn cho trường hợp c  1,1 ; ở đây trường hợp c 0,c 1 có chứng minh khó khăn nhất Các công cụ chính trong việc dùng trong phần này của chứng minh là ứng dụng lặp đi lặp lại bất đẳng thức Milloux Vì vậy, ta kết thúc với c 1, tức là

n k

d g





với d nào đó và bây giờ dễ dàng chỉ ra rằng d 1, suy ra điều phải chứng minh Ngoài ra , đối với trường hợp các hàm nguyên, c  1 có thể được loại trừ

2.2 Chứng minh Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2

Không giảm tổng quát, có thể giả thiết rằng a 1 (Nếu không thì thay thế f và g bởi cf , cgvà thay n

bbc , trong đó c là một hằng số thích hợp thỏa mãn 1 n

Mà do n k 2 suy ra T r f , S r f ,  (mâu thuẫn)

Lí luận tương tự, ta thấy gcũng khác hằng

Giả sử chia sẻ giá trị suy ra rằng f

g

b b







 không có không điểm và cực

điểm trừ ra có thể là các cực điểm của f và g

Do n k 2, một cực điểm của f để p là một cực điểm của f cấp np

và điều này cũng đúng cho g Những sự kiện này sẽ được sử dụng nhiều lần

f với cùng bội)

  chia sẻ giá trị 0 và vì f và g là đa thức, tồn tại một

số  sao cho f  g(1) Từ (1) và f k  b g k  0suy ra f g Vì vậy, khẳng định của định lý đúng trong trường hợp này

f

f b

g

g b

f b, nên như trong (2.5) ta có

 ,   ,  k  (1)  1  ,   , 

nT r f T r f O  k T r f S r f ,

tức là T r f , S r f , , mâu thuẫn Do đó f không phải là hằng số, và g

f

f b ( vì hai hàm không có cực điểm chung)

Như đã nói trong phần mô tả ngắn gọn phương hướng chứng minh, khó khăn chính trong phần sau là làm thế nào có được một ước lượng cho

n f

đối với hằng số thích hợp c 0 nào đó

Phương pháp như trong (2.6) dẫn đến một mâu thuẫn

Như vậy P f  0 và lí luận tương tự ta có P g  0

 Ước lượng hàm đếm cho các không điểm đơn của f b

a Giả sử z0 là một không điểm của f b và do đó, của g b

k n

g g

  w  1

w :

w

k k

k k

với điều kiện P w  0 và do đó V w  0 Đặc biệt , suy ra w  f và

w g Dựa vào bổ đề đạo hàm logarit và định lý cơ bản thứ nhất, dễ nhận được

c Vì f và g chia sẻ giá trị b tính cả bội, những cực điểm có thể của

D chỉ là cực điểm của f và g và tất nhiên tất cả các cực điểm của D là đơn Tuy nhiên, ta có thể suy ra từ (2.14), các cực điểm của f , tương ứng của g là các cực điểm của Q f , tương ứng của Q g  Suy ra

Do (2.14 ) ta suy ra rằng Q f  giải tích tại z0

Vì vậy mỗi cực điểm của Q f  là một không điểm hoặc cực điểm của f , mỗi không điểm bội của  k

f b hoặc là không điểm hoặc cực điểm của V f  Nhưng các cực điểm của V f  lại là các không điểm hoặc cực điểm của

f hoặc các không điểm của  k

f b Hơn nữa , tất cả các cực điểm của Q f  là cực điểm đơn Vì vậy, suy ra

Đánh giá tương tự cũng đúng cho Q g ,

 Các không điểm bội của f b

Giả sử z0là một không điểm bội Khi đó,  'f  z0  0 Do đó

 0   0

k n

k k

     2  

n k  n   k nn   k n k    k Suy ra

đủ để tạo ra một mâu thuẫn

Vì vậy, cả trong trường hợp hàm phân hình và trong trường hợp hàm nguyên không thể xảy ra H 0

ta sẽ xét các trường hợp của V f c V g.   và V f cV g  một cách riêng rẽ

k n

k

n f

V f f

f g

cũng không phải là không điểm hay cực điểm của f

g

b b

V g không có không điểm hoặc cực điểm tại z0 Hơn nữa , từ định nghĩa của

V ta thấy rằng V f  và V g  đều không có cực điểm tại z0

Nếu z0là không điểm bội của f b ( và do đó của gb) thì những lập

luận dẫn đến (2.19) cho thấy z0 là không điểm của f hoặc g hoặc không điểm

chung của V f  và V g , do đó cũng là không điểm của V f cV g 

như vậy đánh giá thậm chí còn tốt hơn so với ( 2.20)

Sử dụng cùng một lập luận như trong phần (2.3.3.3) suy ra mâu thuẫn

k n f

n k g

Bây giờ chúng ta xét nhiều trường hợp tùy theo bản chất của c

a Nếu c là không hữu tỷ, so sánh các thặng dư của vế trái và vế phải của

(2.25) và lưu ý rằng thặng dư của đạo hàm logarit là số nguyên, ta suy ra rằng

hàm nguyên không triệt tiêu

Suy ra f cũng là một hàm nguyên (vì một cực điểm của f bội P sẽ là

cực điểm của  k f n

f b bội nppk 0)

Hơn nữa , tất cả các không điểm của  k

 

  p q

k n

n k

d g

2

p

n p q p

Không giảm tổng quát, có thể giả sử pq Khi đó f

g

b b

2 Trường hợp hoặc f hoặc g có một cực điểm

Không giảm tổng quát, giả sử rằng z0 là một cực điểm của g bội của

2

 Khi đó z0là không điểm của vế phải, và do đó, của vế trái của (2.27) suy ra

nó là một không điểm của f , chẳng hạn với bội  Mặt khác, z0 không thể là

một không điểm của  k

f b, nếu không nó sẽ là một không điểm f b và do

đó, của g b mâu thuẫn vì các cực điểm của g cũng là cực điểm của g

Vì vậy, so sánh bội trong hai vế của (2.27) ta có

n k

d g

Ta chỉ ra d  1 Thật vậy, nếu mỗi không điểm của f b(g b) (và do

đó, củagb) là không điểm của  k

f b hoặc không điểm của  k

g b, ta sẽ nhận được

k n

n k