Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điều kiện CM và IM

Trong thời gian gần đây cũng có một số tác giả giới thiệu các công trình về vấn đề duy nhất cho các hàmphân hình chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*, 1 CM là viết tắ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO TUẤN ANH

HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP

VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM*

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO TUẤN ANH

HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP

VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM*

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả

nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ

công trình nào khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự

trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu trí tuệ

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người đã tận tình hướng dẫn để tôi

có thể hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể trường THPT 19-5, Kim Bôi, Hoà Bình cùng gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả

Đào Tuấn Anh

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Phân bố giá trị cho các hàm phân hình 3

1.1.1 Công thức Poison-Jensen 3

1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất 5

1.1.3 Hai định lý cơ bản 7

1.1.4 Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm nhỏ 9

1.2 Điều kiện CM* và IM* 11

1.2.1 Khái niệm về điều kiện IM*, CM* 11

1.2.2 Một số tính chất của các hàm Nevanlinna 14

2 Hàm phân hình chung nhau hàm nhỏ với điều kiện CM*, IM* 18 2.1 Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị 18

2.1.1 Định lý bốn điểm với điều kiện CM* 18

2.1.2 Hàm phân hình chung nhau bốn giá trị 21

2.2 Các hàm phân hình chung nhau các cặp hàm nhỏ 33

2.2.1 Một số kết quả mở đầu 33

2.2.2 Kết quả của P Li và C.C Yang 35

Cho f, g là các hàm phân hình, ta nói f và g chung nhau một giá trị a

CM (hoặc IM) nếu f − a, g − a có cùng không điểm kể cả bội (hoặc không

kể bội)1 Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f

và g chung nhau giá trị ∞ CM (IM) Hiển nhiên, hai hàm f và g chungnhau giá trị a CM thì cũng chung nhau giá trị a IM.Định lý năm điểm chothấy nếu f và g chung nhau ảnh ngược của năm giá trị phân biệt thì đồngnhất bằng nhau Nếu hai hàm phân hình chung nhau bốn điểm kể cả bộithì chúng là phép biến đổi Mobius của nhau là nội dung chính của định lýbốn điểm

Gần đây, P Li và C C Yang đã giới thiệu khái niệm các hàm chung nhaunhau hàm nhỏ CM*, IM* là các điều kiện "nhẹ" CM và IM tương ứng vàcác tác giả viết lại trong cuốn sách Unicity of Meromorphic Mappings([4]) Cũng trong ([4]), các tác giả nghiên cứu lại định lý năm điểm và định

lý bốn điểm dưới điều kiện IM*, CM* và thấy rằng các định lý này vẫn cònđúng dưới điều kiện IM* và CM* tương ứng Trong thời gian gần đây cũng

có một số tác giả giới thiệu các công trình về vấn đề duy nhất cho các hàmphân hình chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*,

1 CM là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là không

kể bội.

Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hìnhchung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*, IM*, chúngtôi chọn đề tài "Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điềukiện CM* và IM*" Mục đích chính của luận văn giới thiệu một số kếtquả về định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý này trong các trường hợpcác hàm phân hình chung nhau các giá trị hay các hàm nhỏ với điều kiệnIM*, CM* được P Li và C C Yang trình bày trong ([4]) Chứng minh một

số kết quả về quan hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúngchung nhau các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* được P Li và C C.Yang trình bày trong ([13])

Luận văn chia thành hai chương:

Chương 1: Giới thiệu về một số kiến thức cơ bản sử dụng trong luậnvăn và giới thiệu khái niệm các hàm phân hình chung nhau các giá trị, cáchàm nhỏ và các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM*

Chương 2: Chứng minh định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý nàytrong các trường hợp các hàm phân hình chung nhau các giá trị hay cáchàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* và chứng minh một số kết quả về quan

hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúng chung nhau các cặphàm nhỏ với điều kiện IM*

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác Giả

Đào Tuấn Anh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Phân bố giá trị cho các hàm phân hình

Định nghĩa 1.1 Cho hàm chỉnh hình f trên mặt phẳng phức C, điểm z0

được gọi là không điểm bội k của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h(z)

không triệt tiêu trong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm

f được biểu diễn dưới dạng:

f2, trong đó f1, f2 là các hàm chỉnh hình Một điểm z0 gọi là

không điểm bội k của f nếu z0 là không điểm bội k của f1, z0 gọi là cựcđiểm bội k của f nếu z0 là không điểm bội k của f2

Trong mặt phẳng phức C, ta kí hiệu

D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r};

D(z0, r) = {z ∈C : |z − z0| ≤ r};

∂D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r},

tương ứng là hình tròn mở, hình tròn đóng và đường tròn tâm z0, bán kính

r Với z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn

DR = D(0, R); DR = D(0, R)

Định lý 1.1 (Công thức Poison-Jensen) Giả sử f (z) 6≡ 0 là một hàm phânhình trong đĩa đóng DR, 0 < R < ∞ Giả sử a1, , ap là các không điểmcủa f trong DR, kể cả bội, b1, , bp là các cực điểm của f trong DR, cũng

kể cả bội Khi đó với mỗi z trong {|z| < R} không phải là không điểm haycực điểm của f, ta có

R2 − ¯aizR(z − ai)

R2 − ¯bjzR(z − bj)

1

R2 − |z|2

Cho z0 ∈ DR Nếu f (z) = c(z − z0)m + , trong đó c là hằng số kháckhông nhỏ nhất, khi đó m được gọi là bậc của f tại z0 và kí hiệu là ordz0f

Hệ quả 1.2 Giả sửf (z) 6≡ 0 là một hàm phân hình trong đĩa đóng DR, 0 <

R < ∞ Giả sử a1, , ap là các không điểm của f trong DR − {0}, kể cảbội, b1, , bp là các cực điểm của f trong DR− {0}, cũng kể cả bội Khi đó

R

ai

log

c1

f − a

+log+|a| + log 2

Trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f

trong lân cận điểm 0, c1/(f − a) là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triểnTaylor của hàm 1/(f − a) trong lân cận điểm 0

gọi là giá trị phân nhánh của hàm f Hiển nhiên Nram(r, f ) ≥ 0

Định lý 1.4 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình kháchằng trên C, a1, , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó với mỗi

đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn

Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard

Giả sử f (z)là hàm phân hình trên C, a ∈ C∪ {∞} và k là một số nguyêndương Ta kí hiệu

δf(a) = lim inf

Nhận xét

1 Nếuf (z) = avô nghiệm thìN (r, 1

f − a) = 0với mọir suy raδf(a) = 1.

Chẳng hạn f (z) = ez thì δf(0) = 1

2 Nếu N (r, 1

f − a) = o(T (r, f )) khi đó δf(a) = 1 Như vậy số khuyết

bằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó

3 Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0 6 δf(a) 6 δfk(a) 6 Θf(a) 6 1

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ

Định lý 1.6 ([4]) Nếu f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức, và

a1, a2 và a3 là ba hàm nhỏ phân biệt của f thì ta có

Định lý 1.7 ([4]) Nếu f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức, và

a1, a2, , aq là các hàm nhỏ phân biệt của f thì ta có

Định lý 1.8 ([4]) Giả sửf là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳngphức và a1, , aq(q ≥ 2) là các hàm nhỏ của f Gọi k là số các phần tửcủa tập con độc lập tuyến tính lớn nhất của {a1, , aq} thì ta có

Theo định lý cơ bản thứ hai, ta có thể chứng minh các bổ đề

Bổ đề 1.1 ([4]) Giả sử f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức và

a1, , aq là các hàm nhỏ phân biệt của f, thì ta có

Định lý 1.9 ([4]) Giả sửf là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳngphức và a1, a2, , aq(q ≥ 3) là các hàm nhỏ phân biệt của f Với bất kì sốdương ε, ta có

1.2 Điều kiện CM* và IM*

Trong mục này ta luôn kí hiệu f và g là hai hàm phân hình khác hằngtrên mặt phẳng phức C, a là một giá trị hoặc một hàm nhỏ của f và g,nghĩa là a ∈ S(f ) ∩ S(g) Để trình bày khái niệm hai hàm phân hình chungnhau một giá trị hoặc một cặp giá trị với điều kiện CM* hoặc IM*, trướchết ta nhắc lại khái niệm về chung nhau với điều kiện IM, CM

Định nghĩa 1.7 (Xem [4]) Ta nói f và g chung nhau một giá trị a CM(hoặc IM) nếu f − a, g − a có cùng không điểm kể cả bội (không kể bội).Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f và g chungnhau giá trị ∞ CM (IM)

Dễ thấy, nếu a là một điểm bỏ được Picard của f và g thì f và g chungnhau giá trị a CM, chẳng hạn, hàm ez và e−z chung nhau các giá trị 0 và

∞ CM là các điểm bỏ được Picard của chúng

Hiển nhiên, hai hàm f vàg chung nhau giá trịa CM thì cũng chung nhaugiá trị a IM

Tiếp theo ta nghiên cứu khái niệm các hàm chung nhau giá trị với điềukiện CM* và IM* Kí hiệu S(f = a = g) là tập tất cả các không điểmchung, không tính bội của f (z) − a(z) và g(z) − a(z), SE(f = a = g) làtập các các không điểm chung của f (z) − a(z) và g(z) − a(z) với cùng bội,

S(k,l)(f = a = g) là tập tất cả các điểm là không điểm của f (z) − a(z)

bội k (k > 0) và là không điểm của g(z) − a(z)bội l (l > 0) Kí hiệu

N (r, f = a = g), NE(r, f = a = g) và N(k,l)(r, f = a = g) lần lượt là hàmđếm rút gọn của f và g ứng với các tập S(f = a = g), SE(f = a = g) và

S(k,l)(f = a = g) Nghĩa là

N (r, f = a = g) = Nν1(r);

NE(r, f = a = g) = Nν2(r);

N(k,l)(r, f = a = g) = Nν (r),

Các khái niệm về chung nhau giá trị hoặc cặp giá trị CM* hoặc IM* được

mở rộng một cách tự nhiên thành chung nhau các hàm nhỏ hoặc cặp hàm

nhỏ CM* hoặc IM* Hiển nhiên nếu f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ

a) CM (IM) thì f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ a CM* (IM*)

Định nghĩa 1.11 (Xem [13]) Ta nói rằng f và g chung nhau cặp các giátrị (a, b) IM (CM) nếu f (z) − a và g(z) − b có cùng các không điểm khôngtính bội (tính bội)

Bây giờ ta mở rộng khái niệm chung nhau cặp các giá trị (a, b) đối vớiđiều kiện IM*, CM* Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, và a, b

là hai hàm phân hình nhỏ đối với cả f và g Kí hiệu N (r, f = a, g = b) làhàm đếm các không điểm chung của f − a và g − b, mỗi không điểm đượctính chỉ một lần, NE(r, f = a, g = b) là hàm đếm các không điểm chungcủa f − a và g − b với cùng bội, mỗi không điểm được tính chỉ một lần.Định nghĩa 1.12 (Xem [13]) Ta nói rằng f và g chung nhau cặp giá trị

(a, b) theo tiêu chuẩn CM* nếu như:

Định nghĩa 1.13 (Xem [13]) Ta nói rằng f và g chung nhau cặp giá trị

(a, b) theo tiêu chuẩn IM* nếu như:

|S∗(r, f )| ≤ εT (r, f ) + S(r, f )

Ta kí hiệu M (C) là tập tất cả các hàm phân hình trên C Vớif ∈ M (C),đặt

S (f) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S(r, f )},

S∗(f ) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S∗(r, f )}

Hiển nhiên S (f) ⊂ S∗(f )

Bổ đề 1.3 ([9, 11]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, a1, a2 và

a3 là ba hàm nhỏ phân biệt của f và g Nếu f và g chung nhau các giá trị

a1, a2, a3 CM*, và nếu f không là một biến đổi tựa Mobius của g, thì vớibất kì hàm nhỏ c(6≡ a1, a2, a3) của f và g, ta có:

Cho a và b là hai hàm phân hình nhỏ của h Nếu hàm f = ah1 + bh2 + 1

không là hằng số, thì

N(3



r, 1f



= S(r, h)

Chứng minh Đặt αi = h0i/hi(i = 1, 2) Theo bổ đề đạo hàm lôgarit

và điều kiện của Bổ đề 1.6, ta có: T (r, αi) = S(r, h) (i = 1, 2) Đặt

a1 = a0 + aα1, b1 = b0 + bα2, a2 = a01 + a1α1 và b2 = b01 + b1α2 Hiển nhiên

T (r, ai) = S(r, h) và T (r, bi) = S(r, h), i = 1, 2 Nếu cả a1 và b1 đồng nhấtkhông, thì cả ah1 và bh2 là hằng số, từ đó suy ra f là hằng số, mâu thuẫnvới giả thiết Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằngb1 không đồngnhất không

Giả sử rằng z0 là không điểm của f với bội ≥ 3, nhưng không là khôngđiểm hay cực điểm của αi(i = 1, 2) Do vậy ta có

f (z0) = a(z0)h1(z0) + b(z0)h2(z0) + 1 = 0, (1.5)

f0(z0) = a1(z0)h1(z0) + b1(z0)h2(z0) = 0, (1.6)

f00(z0) = a2(z0)h1(z0) + b2(z0)h2(z0) = 0 (1.7)Nếu z0 không là không điểm hay cực điểm của bi, thì từ ( 1.6) và ( 1.7) tacó

f0 = a01h1+ b01h2 = 0, dẫn đến f là một hằng số, mâu thuẫn Vậy z0 phải làmột không điểm hoặc cực điểm của b1 Do đó, ta có:

N(3



r, 1f



≤ T (r, b1) + S(r, h) ≤ S(r, h),

Bổ đề 1.6 được chứng minh 

Bổ đề 1.7 ([13]) Giả sử rằng f và g là các hàm phân hình khác hằng,

F = F (f, g) là một đa thức của f và g với hệ số là các hàm nhỏ của f và

g Bậc của F với f là p, với g là q Thì ta có

T (r, F ) ≤ pT (r, f ) + qT (r, g) + S(r, f ) (1.10)Chứng minh Hàm F có thể viết là F = Pp

k=0ckfkgnk, với ck là các hàmnhỏ của f và g, và 0 ≤ nk ≤ q Hiển nhiên là

trong đó Ψ = log+|F (reiθ)| và Φ = log+(Pp

k=0|ck(reiθ)|) Bằng cách cộngcác bất đẳng thức trên, ta có

m(r, F ) ≤ pm(r, f ) + qm(r, g) + S(r, f ) (1.12)Bất đẳng thức (1.10) được suy ra từ (1.11) và (1.12) 

Chương 2

Hàm phân hình chung nhau hàm

nhỏ với điều kiện CM*, IM*

2.1 Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị

Hai kết quả quan trọng đầu tiên của giá trị chung nhau thu được năm

1926 ([16]) bởi R Nevanlinna được gọi là định lý 5 điểm và định lý 4 điểm

Định lý 2.1 ([16]) (Định lý 5 điểm) Nếu f và g là hai hàm phân hình kháchằng chung nhau 5 giá trị IM thì f = g

Định lý 2.2 ([16]) (Định lý 4 điểm) Nếu f và g là hai hàm phân hình kháchằng chung nhau 4 giá trị a1, a2, a3, a4 CM thì f = g hoặc f là một biếnđổi Mobius của g Hơn nữa hai giá trị a1, a2 là bỏ được Picard của f và g

Chẳng hạn, f (z) = zez và g(z) = 1ze−z chung nhau các giá trị 0, ∞, 1, −1

IM* nhưng 0 không là điểm bỏ được Picard của f

Bây giờ ta xem xét Định lý 2.2 trong trường hợp CM*

Định lý 2.3 ([4]) (Định lý 4 điểm với điều kiện CM*) Nếu f và g là haihàm phân hình khác hằng chung nhau bốn giá trị CM* thì f = g hoặc f làmột biến đổi Mobius của g Hơn nữa ta có

0(g − a1)(g − a2)(g − a3)(g − a4),

0(f − a2)(f − a1)(f − a3)(f − a4) − g

0(g − a2)(g − a1)(g − a3)(g − a4),

h3 = f

0(f − a3)(f − a1)(f − a2)(f − a4) − g

0(g − a3)(g − a1)(g − a2)(g − a4),

và

0(f − a4)(f − a1)(f − a2)(f − a3) − g

0(g − a4)(g − a1)(g − a2)(g − a3).

Từ f và g chung nhau bốn giá trị a1, a2, a3, a4 CM* nên N (r, hi) = S(r).Ngoài ta, ta có m(r, hi) = S(r) Do đó

R Nevanlinna phỏng đoán rằng kết luận của Định lý 2.2 vẫn đúng trongtrường hợp f và g chung nhau 4 giá trị IM, nhưng hai hàm sau đây:

ˆ

f (z) = e

z + 1(ez − 1)2, g(z) =ˆ (e

z + 1)28(ez − 1)

được G G Gundersen đưa ra năm 1979 (xem [2]) cho thấy phỏng đoáncủa R Nevanlinna nói chung không đúng Thậm chí, dễ thấy hai hàm trênchung nhau các giá trị 0, 1, −1/8, ∞ IM và rõ ràng f không là bất kì biếnđổi Mobius nào của g Ngoài ra, trong ([2]), Gundersen đã chứng minh định

lí sau mở rộng hơn Định lý 2.2

Định lý 2.4 ([2]) Nếu f và g là hai hàm phân hình khác hằng chung nhau

3 giá trị CM và một giá trị IM, thì chúng chung nhau tất cả 4 giá trị CM(và từ đó suy ra kết luận của Định lý 2.2)

Mệnh đề sau đây đưa ra một số tính chất của hai hàm phân hình kháchằng chung nhau 4 giá trị IM* Chứng minh của mệnh này trong trườnghợp IM có thể tìm thấy trong ([3])

Mệnh đề 2.1 ([3]) Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng chungnhau 4 giá trị hữu hạn aj (j = 1, 2, 3, 4) IM* Nếu f 6= g thì

(1) T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ), T (r, g) = T (r, f ) + S(r, g);

Chương 2

Hàm phân hình chung hàm< /h2>

nhỏ với điều kiện CM* , IM*

2.1 Các hàm phân hình chung bốn giá trị

Hai kết quan trọng giá trị chung thu năm

1926...

∞ CM điểm bỏ Picard chúng

Hiển nhiên, hai hàm f vàg chung giá trịa CM chung nhaugiá trị a IM

Tiếp theo ta nghiên cứu khái niệm hàm chung giá trị với điềukiện CM* IM* Kí hiệu... hình chungnhau giá trị cặp giá trị với điều kiện CM* IM* , trướchết ta nhắc lại khái niệm chung với điều kiện IM, CM

Định nghĩa 1.7 (Xem [4]) Ta nói f g chung giá trị a CM( hoặc IM) f − a,