Tính chuẩn tắc của họ hàm phân hình một biến và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân

NGUYỄN VĂN THÌN TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄ

Trang 1

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM

PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY

NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THÌN

TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM

PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY

NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TSKH Trần Văn Tấn

2 PGS TS Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2016

Trang 3

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îngd¨n cõa PGS TSKH Tr¦n V«n T§n v PGS TS H Tr¦n Ph÷ìng C¡ck¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§ttr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n C¡c sè li»u, k¸t qu£ trong luªn

¡n l trung thüc v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t k¼ cæng tr¼nh n okh¡c

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2016

T¡c gi£

Nguy¹n V«n Th¼n

Trang 4

Líi c£m ìn

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa PGS.TSKH Tr¦n V«n T§n v PGS TS H Tr¦n Ph÷ìng T¡c gi£ luªn ¡nxin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc nh§t ¸n PGS TSKH Tr¦n V«n T§n v PGS TS H Tr¦n Ph÷ìng ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v· m°t khoa håc v t¤o nhúng i·u ki»n thuªn lñi nh§t º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n.T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c pháng ban chùc n«ng ¢ t¤o i·u ki»nthuªn lñi v· tinh th¦n công nh÷ vªt ch§t º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n.T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m khoa To¡n v c¡c th¦y,

cæ gi¡o cõa khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n,

°c bi»t xin ÷ñc c£m ìn c¡c th¦y cæ cõa bë mæn Gi£i t½ch - khoa To¡n

¢ luæn ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n v· thíi gian º t¡c gi£ ho n th nh luªn

¡n

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ GS TSKH H Huy Kho¡i,

GS TSKH é ùc Th¡i, GS TSKH L¶ Mªu H£i, PGS TSKH T¤ Thà

Ho i An, PGS TS Ph¤m Vi»t ùc, TS Vô Ho i An v TS Trành ThàDi»p Linh trong hëi çng cì sð ¢ cho nhúng nhªn x²t quþ b¡u º luªn

¡n ÷ñc ho n thi»n hìn

Cuèi còng, luªn ¡n n y ÷ñc d¥ng t°ng bè mµ, c¡c anh chà em trong

¤i gia ¼nh th¥n y¶u, t°ng vñ v con y¶u d§u, nhúng ng÷íi ¢ chàunhi·u khâ kh«n v d nh h¸t nhúng t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n ºt¡c gi£ ho n th nh nhúng nghi¶n cùu cõa m¼nh

Trang 5

Möc löc

1 Hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh 111.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevanlinna 111.2 Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 13

2 Mët sè ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n tc v hå

2.1 H m ph¥n h¼nh ϕ - chu©n tc 372.2 ành lþ kiºu Lappan cho hå chu©n tc 46

3 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m

v q - sai ph¥n chung nhau mët h m nhä 573.1 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m

chung nhau mët h m nhä 573.2 Sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - sai

ph¥n chung nhau mët h m nhä 68

Danh möc cæng tr¼nh li¶n quan ¸n luªn ¡n 80

T i li»u tham kh£o 81

Trang 6

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m ¦u cõa th¸ k XX, vîi nguçn gèc

tø nhúng cæng tr¼nh cõa J Hadamard, E Picard, E Borel v °c bi»tcæng tr¼nh n«m 1925 cõa R Nevanlinna [66], Lþ thuy¸t Nevanlinna luænthu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc,

ng y c ng ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ s¥u sc v câ nhi·u ùng döng trongmët sè l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc nh÷ h¼nh håc phùc [31, 40], lþthuy¸t sè [48, 55]

Cèt lãi cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna chõ y¸u n¬m ð hai d¤ng ành lþ,

÷ñc gåi l c¡c ành lþ cì b£n thù nh§t v thù hai Sü k¸t hñp cõa hai

ành lþ n y cho ta thæng tin v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m (¡nh x¤)ph¥n h¼nh Méi th nh tüu ¤t ÷ñc v· c¡c ành lþ n y th÷íng k²o theoc¡c ùng döng trong vi»c nghi¶n cùu h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh Ng÷ñc l¤i

º gi£i quy¸t nhi·u b i to¡n v· h m (¡nh x¤) ph¥n h¼nh, ta công c¦n x¥ydüng nhúng d¤ng ành lþ cì b£n t÷ìng th½ch Trong thüc t¸ â, chóngtæi chån · t i T½nh chu©n tc cõa hå h m ph¥n h¼nh mët bi¸n

v b i to¡n duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n º nghi¶n cùu haiùng döng ti¶u biºu v µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna º gi£i quy¸t

÷ñc c¡c v§n · trong luªn ¡n, nh÷ ¢ b¼nh luªn ð tr¶n, khæng ch¿ khaith¡c sû döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna, chóng tæiph£i thi¸t lªp nhúng d¤ng ành lþ cì b£n thù hai phò hñp vîi t¼nh huèngcõa b i to¡n ang °t ra

Sau ¥y chóng tæi · cªp chi ti¸t hìn v· bèi c£nh n£y sinh tøng v§n

·

Trang 7

V§n · nghi¶n cùu v· hå chu©n tc ÷ñc khði nguçn tø nhúng n«m

¦u cõa th¸ k XX b¬ng c¡c cæng tr¼nh cõa P Montel [71], G Julia [69],

P Fatou [68] N«m 1912, P Montel [71] ÷a ra kh¡i ni»m hå chu©n tc:Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D ⊂ C ÷ñc gåi l chu©n tcn¸u vîi måi d¢y {fn} ⊂ F luæn chùa mët d¢y con {fn k} hëi tö ·u tr¶nméi tªp con compact cõa D theo kho£ng c¡ch c¦u tîi h m ph¥n h¼nh fho°c ∞

N«m 1931, F Marty [70] ÷a ra ti¶u chu©n quan trång nhªn bi¸t håchu©n tc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mët mi·n D ⊂ C l chu©n tc n¸u v ch¿ n¸u tr¶n méi tªp con compact K cõa D, ¤o h mc¦u f#(z) = |f0(z)|

1 + |f (z)|2 cõa f bà ch°n bði mët h¬ng sè C(K) phö thuëc

K nh÷ng khæng phö thuëc v o f

Nguy¶n lþ Bloch nâi r¬ng: Méi ành lþ kiºu Picard (ti¶u chu©n chomët h m l h¬ng) ·u t÷ìng ùng vîi mët ti¶u chu©n hå chu©n tc Nh¬mtriºn khai nguy¶n lþ Bloch, n«m 1975, L Zalcman [60] ÷a ra k¸t qu£chuyºn sü kiºm tra mët hå chu©n tc v· vi»c ch¿ ra sü khæng tçn t¤i c¡cd¢y con nhi¹u hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp con compact tîi mët h m kh¡ch¬ng N«m 1998, æng [61] xem x²t l¤i v§n · tr¶n v ¤t ÷ñc k¸t qu£quan trång sau: Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n ¾a ìn và

U sao cho måi khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F câ bëi ½t nh§t p v måi cüc iºm câ bëi ½t nh§t q Cho α l sè thüc thäa m¢n −p < α < q.Khi â hå F khæng chu©n tc t¤i z0 ∈ U n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i sè thüc

0 < r < 1, d¢y iºm zn : |zn| < r v zn → z0, d¢y h m fn ∈ F v d¢y

sè thüc d÷ìng ρn → 0+ sao cho gn(ξ) = ραnfn(zn+ ρnξ) hëi tö ·u theokho£ng c¡ch c¦u tr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n g(ξ), trong â g

l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, måi khæng iºm v cüc iºm cõa g

câ bëi t÷ìng ùng ½t nh§t p v q Hìn núa g#(ξ) ≤ g#(0) = 1

K¸t qu£ tr¶n th÷íng ÷ñc gåi l Bê · Zalcman º þ r¬ng, khi phõ

ành k¸t luªn trong Bê · Zalcman, ta thu ÷ñc h m hëi tö g l h¬ng.Trong khi â mët trong nhúng ùng döng µp ³ cõa Lþ thuy¸t Nevan-

Trang 8

linna l nâ cho ta ti¶u chu©n º kiºm tra mët h m l h¬ng, ch¯ng h¤n

tø ành lþ cì b£n thù nh§t v ành lþ cì b£n thù hai, ta d¹ d ng nhªnl¤i ành lþ Picard b²: Mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc l h mh¬ng n¸u nâ khæng nhªn ba gi¡ trà ph¥n bi»t Nh÷ vªy, Bê · Zalcman

l c¦u nèi quan trång thuªn ti»n cho vi»c sû döng Lþ thuy¸t Nevanlinna

v o nghi¶n cùu Lþ thuy¸t hå chu©n tc

Theo quan iºm n¶u tr¶n cõa Bloch, ành lþ Picard b² ùng vîi ti¶uchu©n chu©n tc sau cõa Montel: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶nmi·n D l chu©n tc n¸u méi h m trong hå bä qua ba gi¡ trà ph¥n bi»tcho tr÷îc n o â

Nh¬m l m gi£m sè gi¡ trà m h m bä qua trong ành lþ Picard b²,n«m 1959, W Hayman [24] ¢ chùng minh mët ành lþ kiºu Picard cho

h m v ¤o h m: Mët h m ph¥n h¼nh f l h m h¬ng n¸u f khæng ¥utri»t ti¶u v f(k) khæng nhªn gi¡ trà 1, trong â k l sè nguy¶n d÷ìngcho tr÷îc Düa theo nguy¶n lþ Bloch, W Hayman ([26], V§n · 5.11) ¢

÷a ra gi£ thuy¸t v· t½nh chu©n tc cõa hå c¡c h m ph¥n h¼nh t÷ìng ùngvîi ành lþ tr¶n K¸t hñp ti¶u chu©n Marty v Lþ thuy¸t Nevanlinna, D.Drasin [13] ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t n y trong tr÷íng hñp hå c¡c h m ch¿nhh¼nh Sau â, Y X Gu [19] ¢ tr£ líi gi£ thuy¸t cõa Hayman nh÷ sau:Cho k l sè nguy¶n d÷ìng, mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n Dtrong m°t ph¯ng phùc, khæng ¥u tri»t ti¶u s³ chu©n tc n¸u f(k) 6= 1(¤o h m c§p k cõa f khæng nhªn gi¡ trà 1) vîi måi f ∈ F

Chó þ r¬ng trong k¸t qu£ cõa Gu, h m c¦n tr¡nh tîi hai gi¡ trà (méi

f v f(k) tr¡nh mët gi¡ trà) Trong mët sü cè gng nh¬m gi£m sè iºmxuèng mët, n«m 1989, W Schwick [49] ¤t ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü m ð

â i·u ki»n tr¶n v· ¤o h m ÷ñc thay th¸ bði (fn)(k) 6= 1, vîi n, k l

sè tü nhi¶n cho tr÷îc thäa m¢n n ≥ k +3 Trong tr÷íng hñp hå c¡c h mch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + 3 câ thº gi£m th nh

n ≥ k + 1 N«m 2010, J M Chang [9] công ¢ têng qu¡t k¸t qu£ cõa Gu

v nhªn ÷ñc k¸t qu£: Hå F c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºmtr¶n mi·n D s³ chu©n tc n¸u f(k)− 1 câ nhi·u nh§t k khæng iºm ph¥n

Trang 9

bi»t vîi méi f ∈ F, trong â k l sè nguy¶n d÷ìng Nhi·u cæng tr¼nhkh¡c nh÷ X C Pang v L Zalcman [42, 43], M L Fang v L Zalcman[16], P C Hu v D W Meng [29], L Yang [59], W Bergweiler v J K.Langley [5] công ¢ nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc c¡c h mph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa c¡c a thùc ¤o h m cö thº.Trong bèi c£nh nh÷ vªy, chóng tæi °t ra v§n · thù nh§t trong luªn

¡n l : Nghi¶n cùu ti¶u chu©n cho hå chu©n tc ùng vîi i·u ki»n tr¶n

a thùc ¤o h m têng qu¡t V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸t trong Ch÷ìng 1cõa luªn ¡n

Li¶n quan ch°t ch³ tîi kh¡i ni»m hå chu©n tc l kh¡i ni»m h m chu©ntc, nâ ÷ñc bt ¦u nghi¶n cùu tø c¡c cæng tr¼nh cõa K Noshiro [41],

O Lehto v K L Virtanen [34] Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn

và U ÷ñc gåi l chu©n tc n¸u hå {f ◦ τ : τ ∈ T } chu©n tc tr¶n U,trong â T l tªp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ b£o gi¡c cõa U v o ch½nh nâ Lehto

v Virtanen ch¿ ra r¬ng: H m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ⊂ C l chu©n tc khi v ch¿ khi supz∈U(1 − |z|2)f#(z) < ∞ K½ hi»u N l tªpc¡c h m ph¥n h¼nh chu©n tc tr¶n U V· þ ngh¾a h¼nh håc, vîi mët h mchu©n tc f, ta luæn câ χ(f(z), f(w)) ≤ ||f||N supξ∈[z,w] |z − w|

1 − |ξ|2, trong

â ||f||N = supz∈U(1 − |z|2)f#(z)

Quan s¡t k¸t qu£ tr¶n cõa Lehto v Virtanen, C Pommerenke [45]

¢ ÷a ra c¥u häi: Cho sè thüc M > 0, li»u câ tçn t¤i tªp E húu h¤nsao cho vîi méi h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U thäa m¢n i·u ki»n(1 − |z|2)f#(z) ≤ M vîi måi z ∈ f−1(E) th¼ f l h m chu©n tc? N«m

1974, P Lappan [32] ¢ tr£ líi m¤nh m³ cho c¥u häi tr¶n, æng ch¿ ra tçnt¤i tªp E ⊂C gçm 5 iºm ph¥n bi»t

N«m 1995, A Hinkkanen [28] v P Lappan [33] ¢ ëc lªp chùng minhk¸t qu£ t÷ìng tü cho hå chu©n tc: Mët hå F c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶nmi·n D ⊂ C l chu©n tc khi v ch¿ khi vîi méi tªp compact K ⊂ D,tçn t¤i tªp con E ⊂ C chùa 5 iºm ph¥n bi»t v h¬ng sè d÷ìng M saocho sup{f#(z) : f ∈ F , z ∈ f−1(E) ∩ K} < M

Trang 10

V§n · nghi¶n cùu ch½nh thù hai trong luªn ¡n l : Thi¸t lªp c¡c d¤ng

ành lþ Lappan cho tr÷íng hñp ½t hìn 5 iºm V§n · n y ÷ñc gi£iquy¸t trong Ch÷ìng 2 cõa luªn ¡n

Vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»nv· nghàch £nh cõa mët tªp hñp iºm ÷ñc khði nguçn tø cæng tr¼nhcõa Nevanlinna [67] n«m 1926, æng chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥nh¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc câ còng £nh ng÷ñc khæng t½nh bëi cõa 5 iºmph¥n bi»t th¼ chóng tròng nhau v chóng l biºu di¹n ph¥n tuy¸n t½nhcõa nhau n¸u câ còng £nh ng÷ñc t½nh c£ bëi cõa 4 iºm ph¥n bi»t Kº

tø â, v§n · n y thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håctrong v ngo i n÷îc nh÷: H H Kho¡i [30], D D Th¡i [52], T V T§n[23, 52], T T H An [1], H T Ph÷ìng [44], S Quang [47], V H An[2], G Gundersen [20], C C Yang [35], M Shirosaki [50], S Mori [22].Khi x²t b i to¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n nghàch £nhcõa a thùc ¤o h m d¤ng fnf0, n«m 1997, C C Yang v X H Hua [57]chùng minh r¬ng: N¸u hai h m ph¥n h¼nh f v g kh¡c h¬ng sao cho c¡c

a thùc ¤o h m fnf0− 1 v gng0− 1 câ còng khæng iºm t½nh c£ bëi (vîi

nnguy¶n d÷ìng n o â, n ≥ 11) th¼ f = c1ecz v g = c2e−cz ho°c f = tg,trong â c¡c h¬ng sè c1, c2, c v t thäa m¢n 4(c1c2)n+1c2 = −1, tn+1 = 1

Kº tø ¥y, nhi·u nh to¡n håc ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ theo h÷îngnghi¶n cùu n y cho c¡c d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau: K Boussaf,

A Escassut v J Ojeda [6], R S Dyavanal [14], J Grahl v S Nevo[21], C C Yang v H X Yi [58], M L Fang [15], Chó þ r¬ng khix²t nhúng d¤ng a thùc ¤o h m kh¡c nhau, c¡c t¡c gi¢ công ¢ thi¸tlªp ÷ñc c¡c kiºu ành lþ cì b£n thù hai t÷ìng th½ch

Lþ thuy¸t Nevanlinna ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho to¡n tû q - sai ph¥ntrong cæng tr¼nh [4] n«m 2007 cõa R G Halburd v c¡c cëng sü Kº tø

â, vi»c nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna cho to¡n tû q

- sai ph¥n ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶nth¸ giîi nh÷ J Zhang v R Korhonen [62], A Fletcher, J K Langley

v J Meyer [18], T B Cao, K Liu v N Xu [7], K Liu v X Qi [36]

Trang 11

Hi»n nay, c¡c nghi¶n cùu theo h÷îng n y tªp trung v o c¡c v§n ·: süduy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh k¸t hñp vîi a thùc q - sai ph¥n, ph¥n

bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh q - sai ph¥n V· v§n

· ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n, n«m 2010, J Zhang v R.Korhonen [62] chùng minh mët k¸t qu£ ph¥n bè gi¡ trà kiºu Haymancho a thùc q - sai ph¥n d¤ng fn(z)f (qz) çng thíi c¡c æng công chùngminh k¸t qu£ duy nh§t kiºu Yang - Hua cho a thùc q - sai ph¥n: Cho

f (z) v g(z) l hai h m ph¥n h¼nh (nguy¶n) si¶u vi»t vîi bªc khæng Gi£

sû r¬ng q l h¬ng sè phùc kh¡c khæng v n l mët sè nguy¶n d÷ìng thäam¢n n ≥ 8 (n ≥ 6) N¸u fn(z)f (qz) − 1 v gn(z)g(qz) − 1 câ còng sèkhæng iºm v cüc iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong â t l h¬ng sè thäam¢n tn+1 = 1 N«m 2015, Q Zhao v J Zhang [64] chùng minh r¬ng:(fn(z)f (qz + c))(k)− 1 câ væ h¤n khæng iºm n¸u f(z) l h m ph¥n h¼nhsi¶u vi»t vîi bªc khæng, trong â q 6= 0, c l c¡c sè phùc v n, k l c¡c

sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n > k + 5 Hìn núa, Q Zhao v J Zhang[64] công chùng minh ành lþ duy nh§t t÷ìng ùng: N¸u hai h m nguy¶nsi¶u vi»t f(z) v g(z) vîi bªc khæng thäa m¢n (fn(z)f (qz + c))(k)− 1 v (gn(z)g(qz + c))(k)− 1 câ còng sè khæng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, trong

â q 6= 0, c l c¡c sè phùc, n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng v t l h¬ng sèthäa m¢n tn+1 = 1, n > 2k + 5

V§n · nghi¶n cùu thù ba trong luªn ¡n l : Mð rëng k¸t qu£ cõa Zhao

v Zhang khi thay fn bði mët a thùc P (f) V§n · n y ÷ñc gi£i quy¸ttrong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n

2 Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n

2.1 Möc ½ch thù nh§t cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©ntc cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh èi vîi tr÷íng hñp a thùc ¤o h m têngqu¡t, thay v¼ c¡c a thùc ¤o h m cö thº nh÷ c¡c t¡c gi£ i tr÷îc.2.2 Möc ½ch thù hai cõa · t i luªn ¡n l thi¸t lªp ti¶u chu©n chu©ntc cho h m ph¥n h¼nh v cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n ¤o

h m c¦u bà ch°n tr¶n tªp t¤o £nh cõa mët sè gi¡ trà

2.3 Möc ½ch thù ba cõa · t i luªn ¡n l nghi¶n cùu b i to¡n x¡c ành

Trang 12

duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m

v q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp vîi ¤o

h m

3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu

Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh, h m ph¥n h¼nh chu©n tc, b ito¡n duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m v q - sai ph¥n, ph¥n

bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n k¸t hñp ¤o h m

¤o h m

6 C§u tróc v k¸t qu£ luªn ¡n

Ngo i c¡c ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, Luªn ¡n ÷ñcchia l m ba ch÷ìng t÷ìng ùng vîi ba v§n · nghi¶n cùu ch½nh:

Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ti¶u chu©n chu©n tc cho hå c¡c

h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m.Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu hå chu©n tc theo quan iºmcõa Bloch Bê · Zalcman âng vai trá quan trång trong c¡c k¸t qu£cõa chóng tæi º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa m¼nh, mët m°t chóngtæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Picard, m°t kh¡c chóng tæi ph£i sû lþ khâkh«n g°p ph£i trong vi»c ¡p döng Bê · Zalcman trong t¼nh huèng ành

lþ kiºu Picard cõa chóng tæi khæng cho ti¶u chu©n h m h¬ng ành lþ1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l c¡c ti¶u chu©n cho hå chu©n tc cõac¡c h m ph¥n h¼nh, ch¿nh h¼nh d÷îi i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc

¤o h m têng qu¡t Trong ành lþ 1.8, cho q = 1 v `1 = +∞, chóngtæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.9 Khi n = 0, k = 1, H» qu£ 1.9 nhªn l¤i k¸tqu£ cõa Schwick [49] cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh Trong ành lþ 1.10,

Trang 13

cho q = 1 v `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc H» qu£ 1.11 H» qu£ 1.11

v ành lþ 1.12 l têng qu¡t k¸t qu£ cõa Schwick [49] cho hå c¡c h mnguy¶n Nh÷ vªy ành lþ 1.8, ành lþ 1.10 v ành lþ 1.12 l nhúng mðrëng thüc sü c¡c k¸t qu£ cõa W Schwick [49] n«m 1989 Ti¸p theo l

ành lþ 1.19 v· hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng

iºm Cho n = 0, k = 1, n1 = 1, uI(z) = 0 vîi måi I, khi â ành lþ 1.19nhªn l¤i mët k¸t qu£ cõa J M Chang [9]

Nëi dung Ch÷ìng 1 ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh [12, 53]

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu h m ph¥n h¼nh chu©n tc theo quan iºm cõaLappan Cö thº, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h mchu©n tc vîi sè iºm ½t hìn n«m

N«m 2011, R Aulaskari v J Rattya [3] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m h m

ϕ - chu©n tc nh÷ sau: Cho h m t«ng ϕ : [0, 1) → (0, ∞) thäa m¢nϕ(r)(1 − r) → ∞ khi r −→ 1− v Ra(z) = ϕ(|a + z/ϕ(|a|)|)

ϕ(|a|) hëi tö ·utr¶n méi tªp con compact cõa C ¸n 1 khi |a| → 1− (ta gåi ϕ l h mt«ng trìn) Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n ¾a ìn và U ÷ñc gåi l ϕ -chu©n tc n¸u supz∈U

f#(z)ϕ(|z|) < +∞. K½ hi»u Nϕ l tªp c¡c h m ph¥nh¼nh ϕ - chu©n tc tr¶n U V· m°t h¼nh håc, vîi mët h m ϕ - chu©ntc f, ta luæn câ χ(f(z), f(w)) ≤ ||f||N ϕsupξ∈[z,w]ϕ(|ξ|)|z − w|, trong â

||f ||Nϕ = supz∈U f

#(z)ϕ(|z|).Kh¡i ni»m ϕ - chu©n tc nh÷ tr¶n khæng bao h m kh¡i ni»m chu©ntc Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi mð rëng kh¡i ni»m h m ϕ - chu©n tcnâi tr¶n tîi mët lîp c¡c h m ϕ - chu©n tc rëng hìn v trong tr÷ínghñp °c bi»t cõa ϕ, chóng tæi nhªn l¤i kh¡i ni»m h m chu©n tc thængth÷íng Sau â, chóng tæi thi¸t lªp c¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡ctr÷íng hñp m tªp E chùa 1, 3 v 4 iºm ành lþ 2.5 v ành lþ 2.6 l c¡c ành lþ kiºu Lappan cho h m ϕ - chu©n tc vîi ba iºm, bèn iºm.Khi chån ϕ(|z|) = 1

1 − |z|, chóng tæi nhªn ÷ñc c¡c H» qu£ 2.7 v 2.8cho h m chu©n tc theo ngh¾a thæng th÷íng

Trang 14

èi vîi hå chu©n tc, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 2.9, ành lþ 2.10,

ành lþ 2.11 v ành lþ 2.12, chóng l c¡c k¸t qu£ kiºu Lappan vîi mët,

ba v bèn iºm ành lþ 2.10 v ành lþ 2.12 çng thíi têng qu¡t ti¶uchu©n chu©n tc cõa Montel

C¡c ành lþ kiºu Lappan cho c¡c tr÷íng hñp 3 v 4 iºm ÷ñc thi¸tlªp düa tr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa c¡c h m ang x²t

v ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna âng vai trá quan trång trongchùng minh (l÷u þ r¬ng º sû döng ành lþ n y, chóng ta c¦n ½t nh§t 3

iºm) ành lþ kiºu Lappan cho tr÷íng hñp câ óng 1 iºm ÷ñc düatr¶n i·u ki»n bà ch°n cõa ¤o h m c¦u cõa mët a thùc ¤o h m ºchùng minh k¸t qu£ n y, chóng tæi c¦n sû döng mët d¤ng ành lþ cìb£n thù hai kiºu Hayman cho h m v ¤o h m K¸t qu£ kiºu Lappanvîi óng 1 iºm ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Vîi c¡c sè nguy¶n d÷ìng n, kthäa m¢n n > k + 3 + 2

k, hå F c¡c h m ph¥n h¼nh f tr¶n mi·n D, måikhæng iºm cõa f câ bëi khæng b² hìn k s³ chu©n tc n¸u vîi méi tªpcompact K ⊂ D, tçn t¤i a ∈ C\ {0} v h¬ng sè d÷ìng M = M(K) saocho (fnf(k))#(z) ≤ M, vîi måi f ∈ F v måi z ∈ K ∩ {fnf(k) = a}.Mët i·u thó và l m°c dò ÷ñc nh¼n nhªn theo mët h÷îng kh¡c, k¸tqu£ tr¶n çng thíi mð rëng k¸t qu£ cõa Pang-Zalcman [42] tîi tr÷ínghñp fnf(k)− a câ khæng iºm

Nëi dung Ch÷ìng 2 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [51]

Ch÷ìng cuèi còng cõa luªn ¡n tªp trung v o vi»c nghi¶n cùu b i to¡nx¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh d÷îi i·u ki»n v· £nh ng÷ñc cõa athùc ¤o h m v a thùc q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc ¤o

Trang 15

Ti¸p theo, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸t Nevanlinnacho to¡n tû q - sai ph¥n trong c¡c b i to¡n: x¡c ành duy nh§t h m ph¥nh¼nh d÷îi i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa a thùc ¤o h m k¸t hñp vîi q - saiph¥n d¤ng [P (f(z))f(qz + c)](k), ph¥n bè gi¡ trà kiºu Hayman cho athùc ¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n d¤ng [P (f(z))f(qz + c)](k), trong â

P (f ) l a thùc kh¡c h¬ng v q 6= 0, c l c¡c h¬ng sè phùc

K¸t qu£ ¦u ti¶n cõa ch÷ìng n y l ành lþ 3.10 v· sü duy nh§t cõac¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc ¤o h m chung nhau mët h m nhä C¡ck¸t qu£ ti¸p theo cõa Ch÷ìng 3 l ành lþ 3.14 v ành lþ 3.15 v· ph¥n

bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n v ¤o h m cõa c¡c h m ph¥n h¼nh,

ành lþ 3.16 v· sü duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh vîi a thùc q - saiph¥n v ¤o h m chung nhau mët h m nhä Trong ành lþ 3.14, khi

m = 1, n ≥ 2k + 6, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõa Zhao v Zhang [64].Khi m = 1, n ≥ 5, ành lþ 3.15 l c£i ti¸n mët k¸t qu£ cõa Zhao v Zhang [64] ành lþ 3.16 l mët mð rëng k¸t qu£ duy nh§t cho a thùc

¤o h m k¸t hñp q - sai ph¥n cõa Zhao v Zhang [64]

Nëi dung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc cæng bè trong cæng tr¼nh [54]

K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa luªn ¡n âng gâp mët ph¦n v o · t i nghi¶ncùu cì b£n Nafosted Lþ thuy¸t Nevanlinna v hå chu©n tc c¡c ¡nh x¤ph¥n h¼nh cõa PGS TSKH Tr¦n V«n T§n v · t i c§p ¤i håc Håchu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v ùng döng cõa t¡c gi£ C¡c k¸t qu£cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i hëi nghà: ¤i sè - tæpæ - h¼nh håc, Qu£ngNinh 2015, Seminar Gi£i t½ch - ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n 2012 -

2016, Seminar nhâm nghi¶n cùu t¤i Vi»n To¡n håc

Trang 16

Ch÷ìng 1

Hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevanlinna

Trong ph¦n n y, chóng tæi nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· h m linna v mët sè k¸t qu£ cì b£n trong Lþ thuy¸t Nevalinna ÷ñc sû döngtrong luªn ¡n

Nevan-Mët divisor ν tr¶n C l ¡nh x¤ ν : C −→ Z sao cho {z : ν(z) 6= 0} l mët tªp ríi r¤c

Cho r l mët sè thüc d÷ìng, kþ hi»u D(0, r) = {z ∈ C : |z| < r} Cho

ν l mët divisor tr¶n C Khi â, h m ¸m cõa divisor ν ÷ñc ành ngh¾abði

Trang 17

¸m t¤i c¡c a - iºm v a - iºm khæng kº bëi cõa f ÷ñc ành ngh¾at÷ìng ùng bði

log+ f (reiθ) dθ,

trong â log+

x = max{log x, 0} vîi måi x ≥ 0

H m °c tr÷ng cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði

Trang 18

Bê · 1.1 ([25]) (Bê · ¤o h m logarithmic) Cho f l h m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v k l sè nguy¶n d÷ìng Khi â ¯ng thùc

óng vîi måi r ∈ [1, ∞) ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong

â S(r, f) = o(T (r, f)) khi r −→ ∞

1.2 Hå chu©n tc cõa c¡c h m ph¥n h¼nh

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna trong b i to¡n v· hå chu©n tc c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi i·uki»n v· tªp khæng iºm cõa a thùc ¤o h m Chóng tæi mð rëng c¡cv§n · ÷ñc nghi¶n cùu bði Schwick v Chang tîi tr÷íng hñp a thùc

Trang 19

¤o h m têng qu¡t C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ÷ñc cæng bè trong c¡c

b i b¡o [12, 53]

1.2.1 Ti¶u chu©n chu©n tc èi vîi hå c¡c h m ph¥n h¼nh d÷îi

i·u ki»n khæng iºm cõa a thùc ¤o h m

Trong ph¦n n y, chóng tæi chùng minh mët sè mð rëng k¸t qu£ cõaSchwick [49] C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc cæng bè trong [12] Trong [49],Schwick khæng dòng k¸t qu£ cõa Hayman º chùng minh c¡c k¸t qu£ cõam¼nh, t§t nhi¶n æng công câ sû döng Bê · Zalcman n«m 1975 Ngo i

ra, æng cán sû döng Bê · ¤o h m logarithmic cho mët d¢y c¡c h mthuëc hå sao cho câ c¡c h» sè chung Ph÷ìng ph¡p cõa chóng tæi kh¡ccõa Schwick, thi¶n v· têng qu¡t b§t ¯ng thùc kiºu ành lþ cì b£n thùhai cõa Hayman

Tr÷îc khi ph¡t biºu v chùng minh c¡c k¸t qu£, chóng tæi tr¼nh b ymët sè bê · c¦n thi¸t cho vi»c chùng minh

Bê · 1.4 (Bê · Zalcman, [61]) Cho hå F c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c

ành tr¶n ¾a ìn và U sao cho måi khæng iºm cõa c¡c h m trong hå F

câ bëi ½t nh§t p v måi cüc iºm câ bëi ½t nh§t q Cho α l sè thüc thäam¢n −p < α < q Khi â hå F khæng chu©n tc t¤i z0 ∈ U khi v ch¿khi tçn t¤i

q Hìn núa g#(ξ) ≤ g#(0) = 1, do â bªc cõa g khæng qu¡ 2

Nhªn x²t 1.2 ([61, 9]) N¸u f 6= 0 vîi måi f ∈ F th¼ kh¯ng ành cõa

Bê · 1.4 v¨n óng khi −∞ < α < 1

Bê · 1.5 ([11]) Cho g l h m nguy¶n v M l mët h¬ng sè d÷ìng

Trang 20

N¸u g#(ξ) 6 M vîi måi ξ ∈ C, khi â g câ bªc khæng qu¡ 1.

Nhªn x²t 1.3 Trong Bê · 1.4, n¸u F l mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh,khi â theo ành lþ Hurwitz, g công l mët h m ch¿nh h¼nh Do â, theo

Bê · 1.5, bªc cõa g khæng qu¡ 1

Cho g l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng trong m°t ph¯ng phùc C Khi â,mët a thùc ¤o h m P cõa g ÷ñc x¡c ành bði

M»nh · 1.6 Cho g l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v P (z) l a thùc ¤o

h m kh¡c h¬ng cõa g thäa m¢n d(P ) ≥ 2 Khi â

Trang 21

óng vîi måi r ∈ [1, +∞) n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húuh¤n.

Hìn núa, khi g l h m nguy¶n, ta câ

g(j)(z)g(z)

Trang 23

M°t kh¡c, theo ành ngh¾a cõa a thùc ¤o h m P, méi cüc iºm cõa P

l cüc iºm cõa αi vîi i ∈ {1, , n} n o â ho°c l cüc iºm cõa g V¼

Trang 24

ành lþ 1.8 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, , aq

v q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c + ∞) `1, , `q Cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v cho n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1).Cho F l mët hå c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D trong m°tph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v vîi måi m ∈ {1, , q}, måi khæng

iºm cõa fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )− am câ bëi ½t nh§t `m Gi£ sû r¬nga) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k v `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q;

Khi â hå F l chu©n tc tr¶n D

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta coi D l ¾a ìn và Gi£

→ g(ξ) (1.5)

·u theo kho£ng c¡ch c¦u tr¶n méi tªp con compact cõa C, trong âg(ξ) l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v g#(ξ) 6 g#(0) = 1 Tø ành ngh¾acõa gv, ta câ

Trang 25

v (ξ)(tj) = (fv(zv + ρvξ)

ρα v

Trang 26

câ bëi ½t nh§t `m, vîi måi m ∈ {1, , q}.

Vîi måi j ∈ {1, · · · , k}, ta câ (gnj(ξ))(tj ) khæng l h m h¬ng Thªtvªy, gi£ sû (gnj(ξ))(tj ) l h m h¬ng vîi j ∈ {1, , k} n o â, v¼ nj ≥ tj

v g khæng l h m h¬ng, n¶n ta câ nj = tj v g(ξ) = aξ + b, trong â

Tø i·u ki»n b), ta câ n +Pk

j=1nj ≥ 2 Nh÷ vªy, ¡p döng Bê · 1.7 cho

Trang 27

m(r,gn(gn1)(t1 )· · · (gnk)(tk )) + N (r, gn(gn1)(t1 )· · · (gnk)(tk ))

n(gn1)(t1 )· · · (gnk)(tk )

gngn1· · · gnk ) + m(r, gngn1· · · gnk)+ N (r, gn(gn1)(t1 )· · · (gnk)(tk ))

Trang 28

K¸t hñp (1.8) v (1.9), vîi måi m ∈ {1, , q} ta câ

Nhªn x²t 1.4 ành lþ 1.8 x²t vîi sè iºm q ≥ 1, chóng tæi kiºm tratr¶n mët a thùc ¤o h m

Trong ành lþ 1.8, cho q = 1 v `1 = +∞, chóng tæi nhªn ÷ñc h»qu£ sau ¥y

Trang 29

H» qu£ 1.9 Cho a l mët sè phùc kh¡c khæng, cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Cho F l mët

hå c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n mi·n D sao cho måi f ∈ F,

fn(fn1)(t1 )· · · (fnk)(tk )− akhæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D Gi£ sû r¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k;

b) n +Pk

j=1nj ≥ 3 +Pk

Nhªn x²t 1.5 Trong H» qu£ 1.9, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤ik¸t qu£ cõa Schwick [49] cho hå c¡c h m ph¥n h¼nh

Trong ành lþ 1.8, khi F l hå c¡c h m nguy¶n, chóng tæi chùng minhc¡c k¸t qu£ sau

ành lþ 1.10 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, , aq

v q sè nguy¶n d÷ìng (ho°c +∞) `1, , `q Cho n l mët sè nguy¶nkhæng ¥m v cho n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1).Cho F l mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°tph¯ng phùc sao cho vîi måi f ∈ F v vîi måi m ∈ {1, , q}, måikhæng iºm cõa fn(fn1)(t1 )· · · (fnk)(tk ) − am câ bëi ½t nh§t `m Gi£ sûr¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k v `i ≥ 2 vîi måi 1 6 i 6 q;

Chùng minh Ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ chùng minh cõa ành lþ 1.8.Thªt vªy, ¡p döng Bê · 1.7 cho tr÷íng hñp h m ch¿nh h¼nh (F l håc¡c h m ch¿nh h¼nh, theo Nhªn x²t 1.3 n¶n g l h m nguy¶n, do â

Trang 30

lþ Nh÷ vªy ành lþ ÷ñc chùng minh.

H» qu£ 1.11 Cho a l sè phùc kh¡c khæng, cho n l sè nguy¶n khæng ¥m

v n1, , nk, t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Cho F l mët hå c¡c h mch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n D sao cho måi f ∈ F, fn(fn1)(t1 )· · · (fnk)(tk )−akhæng ¥u tri»t ti¶u tr¶n D Gi£ sû r¬ng

a) nj ≥ tj vîi måi 1 6 j 6 k;

b) n +Pk

j=1nj ≥ 2 +Pk

Trong H» qu£ 1.11, cho k = 1, n = 0, chóng tæi nhªn l¤i k¸t qu£ cõaSchwick [49] cho hå c¡c h m ch¿nh h¼nh ngo¤i trø tr÷íng hñp n = k + 1.Ti¸p theo, chóng tæi ÷a ra chùng minh mîi ìn gi£n hìn cho ành

lþ 3.2 [49] trong tr÷íng hñp n = k + 1

ành lþ 1.12 ([49], ành lþ 3.2, tr÷íng hñp n = k + 1) Cho k l mët

sè nguy¶n d÷ìng v a l h¬ng sè kh¡c khæng Cho F l mët hå c¡c h mch¿nh h¼nh x¡c ành tr¶n mi·n D cõa m°t ph¯ng phùc sao cho vîi måi

Trang 31

Chùng minh º chùng minh ành lþ, chóng tæi c¦n bê · sau.

Bê · 1.13 ([65]) Cho g l mët h m nguy¶n si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ngphùc C v k l mët sè nguy¶n d÷ìng Khi â (gk+1)(k) nhªn måi gi¡ tràhúu h¤n kh¡c khæng væ h¤n l¦n

Ta ti¸p töc chùng minh ành lþ Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta coi D

â ¡p döng Bê · 1.4 cho α = k

k+1, tçn t¤i1) mët sè thüc r, 0 < r < 1;

â a ≡ (gk+1)(k)(ξ) ≡ ((k + 1)c)ke(k+1)(cξ+d), væ lþ ành lþ ÷ñc chùngminh

Nhªn x²t 1.6 H» qu£ 1.11 v ành lþ 1.12 l mð rëng k¸t qu£ cõaSchwick trong [49] cho hå c¡c h m ch¿nh h¼nh

Trang 33

iºm

Trong ph¦n n y, chóng tæi chùng minh mët k¸t qu£ v· hå chu©n tccõa c¡c h m ph¥n h¼nh khæng câ khæng iºm tr¶n mi·n D trong m°tph¯ng phùc v l÷ñng c¡c khæng iºm cõa a thùc ¤o h m l húu h¤n.K¸t qu£ n y ÷ñc cæng bè trong b i b¡o [53] V¼ c¡c khæng iºm khæng

kº bëi n¶n chóng tæi khæng sû döng ÷ñc ành lþ cì b£n thù hai cho athùc ¤o h m (Bê · 1.7) º d¨n ¸n h m hëi tö g trong Bê · Zalcman

l h¬ng Do â, º chùng minh k¸t qu£ n y, chóng tæi ph£i thi¸t lªp ành

lþ kiºu Picard cho a thùc ¤o h m

¦u ti¶n, chóng tæi giîi thi»u mët k¸t qu£ nêi ti¸ng cõa Hayman v·

ành lþ kiºu Picard cho h m v ¤o h m

ành lþ 1.14 ([24]) Cho f l h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n m°t ph¯ngphùc C v k l sè nguy¶n d÷ìng Khi â f ho°c f(k)− 1 câ ½t nh§t mëtkhæng iºm Hìn núa n¸u f l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t th¼ f ho°c f(k)−1

câ væ h¤n khæng iºm

Vîi méi h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f tr¶n mi·n D ⊂ C v n ∈

N, nv, tv, v = 1, , k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Khi â, chóng tæi x²t

h m fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )

ành lþ 1.15 Cho f l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc.Khi â f ho°c fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )− 1 câ væ h¤n khæng iºm

Trang 34

Chùng minh °t

P (f ) = fn(fn1)(t1 )

· · · (fnk)(tk )

Khi â, ta câ d(P ) = n + n1 + · · · + nk

- N¸u d(P ) = 1, khi â n = 0, k = 1 Theo ành lþ 1.14, ta nhªn ÷ñckh¯ng ành cõa ành lþ trong tr÷íng hñp n y

- N¸u d(P ) ≥ 2, khi â ¡p döng Bê · 1.7 cho q = 1, ta ÷ñc

1

P − 1) + o(T (r, f )).K²o theo f ho°c fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )− 1 câ væ h¤n khæng iºm

ành lþ 1.16 Cho q sè phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1, , aq, trong â

q ≥ 2 l sè nguy¶n d÷ìng Cho n l sè nguy¶n khæng ¥m v n1, , nk,

t1, , tk l c¡c sè nguy¶n d÷ìng (k ≥ 1) Cho f l h m ph¥n h¼nh si¶uvi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc Khi â f ho°c fn(fn1)(t1 )· · · (fn k)(tk )− am vîi

Trang 35

Khi â vîi måi h m ph¥n h¼nh f ta câ

f0f

Bê · 1.18 Cho f l h m húu t khæng câ khæng iºm tr¶n C v

P (f ) = fn(fn1)(t1 ) (fnk)(tk ) l a thùc ¤o h m cõa f, trong â n ∈ N,

nj, tj, j = 1, , k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng Khi â P (f) − 1 câ ½t nh§t

(fnv)(tv ) = Qt 1

j=1(z + bj)q j n v +t v

gv(z), v = 1, , k, (1.17)trong â

P (f ) = 1 + B

Qs i=1(z + wi)li

Qt j=1(z + bj)(n+ P k

v=1 tv, (1.19)trong â B l h¬ng sè kh¡c khæng, s, li(1 ≤ i ≤ s) l c¡c sè nguy¶nd÷ìng, wi(1 ≤ i ≤ s), bj(1 ≤ j ≤ t) l c¡c sè phùc ph¥n bi»t °t

Trang 36

v=1 t v )(t−1)g(1

x) v Q(x) l a thùc vîi bªcdegQ ≤ (

S0S

Trang 37

Tø (1.23) v Bê · 1.17, ta câ

T0T

(l)

Định dạng
Số trang	93
Dung lượng	690,77 KB