Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình

Mục lục1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình 31.1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình 31.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình 11 2 Định lý Picard

TRẦN THỊ HƯƠNG

ĐỊNH LÝ PICARD ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM CỦA

HÀM PHÂN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2016

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướngdẫn của TS Vũ Hoài An Luận văn không trùng với bất kì luận văn thạc

sĩ nào và mọi tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực

Học viên

của trưởng Khoa Toán của người hướng dẫn khoa học

Lời cám ơn

Luận văn được hoàn thành tại Khoa sau đại học, Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Hoài An Nhân dịpnày, Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ VũHoài An, người đã dành nhiều thời gian, tận tình, hướng dẫn giúp đỡ vàtạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Một lần nữa tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nhà toán học củaKhoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán họcViệt Nam

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các thành viên trong lớpcao học K21 đã luôn ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn này Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và nănglực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp của các nhà khoa học và bạn đọc.Tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2016

Tác giảTrần Thị Hương

Mục lục

1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình 31.1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình 31.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình 11

2 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình p-adic 232.1 Định lý Picard với đạo hàm của hàm phân hình p-adic 232.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân

hình p-adic 33

Mở đầu

Định lý Picard nói rằng: một hàm phân hình không nhận ba giá trị phânbiệt là hàm hằng Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng vớinội dung chính là hai định lý cơ bản Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộngĐịnh lý cơ bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phânhình khác hằng trên mặt phẳng phức C Định lý cơ bản thứ hai là mở rộngĐịnh lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị củahàm phân hình Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lýthuyết phân bố giá trị cho trường hợp p-adic Ông và các học trò đã tương

tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p-adic mà ngày nay thường gọi

là lý thuyết Nevanlinna p-adic Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàmphân hình p-adic Các kiểu Định lý Picard đã được nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình.Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Hayman Năm 1967, Hayman

đã chứng minh kết quả sau đây:

Định lí A.[7] Cho f là hàm phân hình trên C Nếu f (z) 6= 0 và

f(k)(z) 6= 1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f

là hằng Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:

Giả thuyết Hayman.[7] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn

fn(z) f0 (z) 6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C,

thì f là hằng Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàmnguyên siêu việt và n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1 Các kếtquả này và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi

là sự lựa chọn của Hayman Tiếp đó, đối với các hàm nguyên f và g, C

C Yang và G G Gundersen đã nghiên cứu trường hợp ở đó f(k) và g(k)

nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.

Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc vềC.C.Yang – X.H Hua Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây:Định lí B.[16] Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 làmột số nguyên và a ∈ C - {0} Nếu fnf0và gng0 nhận giá trị a CM thìhoặc f = dg với dn+1 = 1 hoặc f (z) = c1ecz và g (z) = c2e−cz , ở đó c, c1,

Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình

Trong luận văn này tôi sẽ trình bày các kết quả về vấn đề nhận giá trị củađạo hàm của hàm phân hình và tương tự p-adic của nó Trình bày định

lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình và tương tự p-adic của nó.Đây là một trong những vấn đề mang tính thời sự và cấp thiết của giảitích p-adic, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2chương:

Chương 1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình Kết quảchính của chương 1 là các Định lý 1.7, 1.11, 1.13

Chương 2 Trình bày lại định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phânhình p-adic Kết quả chính của chương 2 là các Định lý 2.3, 2.6, 2.9, 2.11,2.12, 2.13

Chương 1

Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình

Trong chương 1 chúng tôi trình bày lại các kết quả trong [3],[16]

- Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình Mục tiêu của cácĐịnh lý kiểu Picard là xem xét vấn đề nhận giá trị của một số kiểu đathức vi phân

- Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình Đây là một ứngdụng của các Định lý kiểu Picard và Định lý chính thứ hai của lý thuyếtphân bố giá trị

1.1 Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình

Cho n > 1, f là hàm nguyên khác hằng trên C và z0 bất kỳ thuộc C Khi

Chúng ta sẽ dùng kết quả sau đây.

Định lý 1.1 (Định lý chính thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằngtrên C và a1, a2, , aq ∈ CS

Chứng minh Do a là cực điểm của f ta nhận được

Từ điều này, vàf là khác hằng, điều đó chỉ ra rằng(fn)(k) là khác hằng.

Bổ đề 1.6 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và n, k là các sốnguyên dương, n > k + 2, a ∈ C, a 6= 0 Khi đó

n − k − 2

n + k T (r, f ) ≤ N1(r,

1(fn)(k)− a) + S(r, f ).

Chứng minh Từ n > k + 2 ta có n−k−2n+k ≥ 0 Vì n > k + 2, từ Bổ đề 1.5chỉ ra rằng (fn)(k) khác hằng Áp dụng Định lý 1.1 cho (fn)(k) với các giátrị ∞, 0 và a, ta có

n − k − 1N (r,

1(fn)(k)) + kN1(r, f )+ k + 1 − (k + 1)

n

N1(r, (fn)(k))+ N1(r, 1

(fn)(k)− a) + S(r, f ),

T (r, (fn)(k)) ≤ k + 1

n N (r,

1(fn)(k)) + n + k(n − k − 1)

T (r, 1(fn)(k))

Định lý 1.7 (Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình)

Cho f là hàm phân hình trên C, n, k, là các số nguyên dương, n > k + 2,

a ∈ C, a 6= 0 Nếu (fn)(k)(z) 6= a, với mọi z ∈ C thì f là hằng

1.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình

Phần này trình bày lại một số kết quả về vấn đề duy nhất đối với

((fd+ a)n)(k) với a 6= 0 trong trường hợp tính bội và không tính bội

Trước tiên, chúng ta cần các bổ đề sau đây

Bổ đề 1.8 [16] Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C Nếu

Ef(1) = Eg(1), thì một trong ba hệ thức sau đây là đúng:

Bổ đề 1.9 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và n, k là các sốnguyên dương, n > 2k Khi đó

Từ (1.3) và (1.4) ta nhận được

nN (r, f ) + (n − k)m(r, f ) = (n − k)( N (r, f ) + m(r, f )
+ kN (r, f )

= (n − k)T (r, f ) + kN (r, f )

≤ N (r, A) + m(r, A) − kN1(r, f ) + kT (r, f )+ kN1(r, f ) − N (r, 1

Bổ đề 1.10 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C, a ∈ C, a 6= 0 và

n, k là các số nguyên dương, n > 2k Khi đó

1 (n − 2k)dT (r, f ) + kN (r, fd+ a) + N (r, 1

((fd+ a)n)(k)(fd + a)n−k

Từ đây và bất đẳng thức trên, ta có điều chứng minh

Định lý 1.11 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C,

a ∈ C, a 6= 0, vàn, d, k là các số nguyên dương thỏa mãnn > 2k+4+d(k+4)d ,

d ≥ 4 Nếu E((fd +a) n ) (k)(1) = E((gd +a) n ) (k)(1), thì f = hg với hd = 1

Chứng minh Ta có

fd+a = (f −a1) (f −ad), ai ∈ C, ai 6= 0, (fd+a)n = (f −a1)n (f −ad)n,

T (r, B) ≤ (2 + 2d + kd)T (r, g) + (2 + 2d)T (r, f ) + kN1(r, D) + N (r, 1

P)+S(r, f ) + S(r, g)

T (r, A) + T (r, B) ≤ (4 + 4d + kd)(T (r, f ) + T (r, g)) + kN1(r, C) + N (r, 1

Q)+kN1(r, D) + N (r, 1

P) + S(r, f ) + S(r, g).

Theo Bổ đề 1.10 ta nhận được

(n − 2k)dT (r, f ) + kN (r, C) + N (r, 1

P) ≤ T (r, A) + S(r, f )(n − 2k)dT (r, g) + kN (r, D) + N (r, 1

Do đó

(n−2k)d(T (r, f )+T (r, g)) ≤ (4+4d+kd)(T (r, f )+T (r, g))+S(r, f )+S(r, g),

((n − 2k)d − 4 − 4d − kd)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g).

Do n > 2k + 4+4d+kdd , ta nhận được điều mâu thuẫn

Vậy Trường hợp 1 không xảy ra

Từ đây ta suy ran(d2−3d) ≤ 2k(1−d).Điều này mâu thuẫn vớid ≥ 4, n, k

là các số nguyên dương Vậy không xảy ra Trường hợp 2

T (r, F ) ≤ N1(r, F ) + N1(r, 1

F) + N1(r,

1

F − 1) + S(r, F )

Bây giờ ta chứng minh S(r, F ) = S(r, f ).

fd+ a = e(gd + a), với en = 1, hay fd+ a(1 − e) = egd.

Ta chứng minh e = 1 Giả sử trái lại e 6= 1 Khi đó a(1 − e) 6= 0

Áp dụng Định lý 1.1 cho fd với các giá trị ∞, 0, a(1 − e), ta có

Mâu thuẫn với d ≥ 4 Vậy e = 1 Do đó fd+ a = gd+ a hay fd = gd.Vậy f = hg với hd = 1.

Tiếp theo, ta xét vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình dạng

((fd+ a)n)(k), a 6= 0, trong trường hợp không tính bội

Trước tiên ta cần bổ đề sau đây

Bổ đề 1.12 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C Nếu

Ef(1) = Eg(1), thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng:

Định lý 1.13 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C, a ∈ C,

a 6= 0, và n, d, k là các số nguyên dương thoả mãn n > 2k + 7+7d+3k+4kdd

Nếu

E((fd +a) n ) (k)(1) = E((gd +a) n ) (k)(1)

thì f = hg với hd = 1

Chứng minh Với các ký hiệu như trong chứng minh của Định lý 1.11.

Áp dụng Bổ đề 1.12 cho (Cn)k, (Dn)k, chúng ta xét các trường hợp sau:Trường hợp 1

A) + N1(r, B) + N1(r,

1

B)) + S(r, f ) + S(r, g)(n − 2k)d(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ (4 + 4d + kd)(T (r, f ) + T (r, g))+3(1 + d + k + kd)(T (r, f ) + T (r, g)) + S(r, f ) + S(r, g)

= (7 + 7d + 3k + 4kd)(T (r, f ) + T (r, g)) + S(r, f ) + S(r, g).((n − 2k)d − 7 − 7d − 3k − 4kd)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤ S(r, f ) + S(r, g)

Do n > 2k + 7+7d+3k+4kdd ta có mâu thuẫn Vậy Trường hợp 1 không xảyra

Trường hợp 2 Chứng minh tương tự như trong Trường hợp 2 của Định

lý 1.11 ta nhận được Trường hợp 2 không xảy ra

Trường hợp 3 Chứng minh tương tự như trong Trường hợp 3 của Định

lý 1.11 ta ta có f = hg với hd = 1

2.1 Định lý Picard với đạo hàm của hàm phân hình p-adic

Như đã nêu ở phần Mở đầu, Định lý Picard nói rằng: một hàm phân hìnhkhông nhận ba giá trị phân biệt là hàm hằng Việc tương tự Định lý Picardcho đạo hàm của hàm phân hình đã được Hayman nghiên cứu Tương tựcủa Định lý Picard cho hàm phân hình p-adic là như sau: Một hàm phânhình p-adic không nhận hai giá trị phân biệt là hàm hằng

Trong mục này, trước tiên chúng tôi nhắc lại Giả thuyết Hayman và phátbiểu tương tự nó cho trường hợp p-adic

Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây:

Giả thuyết Hayman.[7] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn fn(z) f0 (z)6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.Giả thuyết Hayman được phát biểu trong trường hợp p− adic như sau:Giả thuyết Hayman p- adic Nếu một hàm phân hình p− adic f thỏamãn fn(z) f0(z) 6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi

z ∈ Cp thì f là hằng

Để ý rằng mỗi một khẳng định đối với giả thuyết Hayman p-adic cho tamột kiểu Định lý Picard p-adic.

Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp (hàm phân hình p− adic),

Giả sử f là một hàm phân hình trên Cp, khi đó tồn tại hai hàm nguyên

f1, f2 sao cho f1, f2 không có không điểm chung và f = f1

Bổ đề 2.1 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên Cp và n là một

số nguyên dương, n > 1 Khi đó

(n − 1)T (r, f ) + N (r, 1

f0) + N (r, f ) ≤ T (r, fnf0) + O(1).Chứng minh Đặt A = f

và (n − 1)T (r, f ) + N (r, 1

f0) + N (r, f ) ≤ T (r, fnf0) + O(1)

Bổ đề 2.2 Cho f hàm phân hình khác hằng trên Cp, n > 1 là số nguyêndương và a1, a2, a3, , aq là các điểm phân biệt của Cp, ai 6= 0, i = 1, , q.Khi đó

Định lý 2.3 (Định lý Picard đối với đạo hàm của hàm phân hình p-adic)Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn fn(z) f0 (z) 6= 1 với n > 1 là một

số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Chứng minh Giả sử ngược lại, f khác hằng Theo Bổ đề 2.1 ta có fnf0

Do đó fnf0 nhận giá trị 1, mâu thuẫn Vậy f là hằng

Tiếp theo chúng ta xem xét vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán

tử sai phân (xem [8]) cho f hàm phân hình p−adic Ta định nghĩa Toán

tử sai phân của hàm f như sau: ∆cf = f (z + c) − f (z), ở đó c ∈ Cp làhằng số khác không Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [8] đã xemxét vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân Vấn đề này liênquan mật thiết đến giả thuyết Hayman p− adic cho Toán tử sai phân.Giả thuyết Hayman cho Toán tử sai phân p− adic Nếu một hàmphân hình p− adic f thỏa mãn fn(z) ∆cf (z) 6= 1 với n là một số nguyêndương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Bổ đề 2.4 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆cf (z) = 0 với mọi

hai hàm f1, f2 khác hằng Không giảm tổng quát, giả sử f1 khác hằng Vì

∆cf (z) = 0 với mọi z ∈ Cp nên f1(z)

mô đun lớn hơn |c| Gọi b là không điểm của f1(z) sao cho |c| < |b| Đặt

|b| = r Do |c| < |b| nên |z + mc| = |z| với |z| = r, m là một số nguyêndương bất kỳ Chú ý rằng, tập hợp các không điểm có cùng mô đun của mộthàm nguyên là hữu hạn Do f1(z) = af1(z + c) nên b, b + c, , b + mc, ,

là các không điểm phân biệt có cùng mô đun của f1(z) với m là một sốnguyên dương bất kỳ Từ đây ta nhận được mâu thuẫn Vậy f1(z) không

có không điểm có mô đun lớn hơn |c| Do đó f1(z) là đa thức với bậc

n nào đó Từ f1(z) = af1(z + c) nhận được f1(z)(n−1) là đa thức vớibậc 1 và f1(z)(n−1) = af1(z + c)(n−1) Viết f1(z)(n−1) = dz + e Khi đó

af1(z + c)(n−1) = a(d(z + c) + e) và dz + e = adz + adc + ae Từ đây suy

ra a = 1, c = 0 Mâu thuẫn với giả thiết c 6= 0 Vậy f là hằng

Bổ đề 2.5 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp Khi đó

Nếu |c| < r Chú ý rằng tập các số r ∈ R+ sao cho tồn tại z ∈ Cp với

|z| = r là trù mật trong r ∈ R+ Vì thế, không giảm tổng quát ta có thể

giả sử rằng tồn tai z ∈ Cp sao cho |z| = r Khi đó |c + z| = |z| = r Vìvậy |f (z)|r = |f (z + c)|r và |Ac| = 1.

Nếu r ≤ |c|, thì |c + z| ≤ max{|c|, |z|} ≤ |c| Vì thế |Ac| = O(1)

2.Tương tự chứng minh như 1., ta có m(r, f (z+c)f (z) ) = O(1)

3.Tương tự chứng minh như 1., ta có N (r,f (z+c)1 ) = N (r,f (z)1 ) + O(1)

4.Tương tự chứng minh như 1., ta có N (r, f (z + c)) = N (r, f (z)) +O(1)

Nếu |c| < r, thì |f1(z)|r = |f1(z + c)|r và |f2(z)|r = |f2(z + c)|r

Nếu r ≤ |c|, thì |f1(z)|r ≤ |f1(z)|c, |f1(z + c)|r ≤ |f1(z)|c

và |f2(z)|r ≤ |f2(z)|c, |f2(z + c)|r ≤ |f2(z)|c

Hơn nữa, T (r, f ) = max

1≤i≤2log |fi|r, T (r, f (z + c)) = max

= T (r, f (z + c)) + T (r, f (z)) + O(1) ≤ 2T (r, f ) + O(1)

8 T (r, ∆cf ) ≤ T (r, f (z + c)) + T (r, f (z)) + O(1)

Vì T (r, f (z + c)) = T (r, f (z)) + O(1) nên T (r, ∆cf ) ≤ 2T (r, f ) + O(1)

9 Đặt G = fn(z)∆cf Khi đó ta có f G = fn+1(z)∆cf

Định lý 2.6 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn fn(z) ∆cf (z) 6= 1

với n ≥ 6 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng.Chứng minh Giả sử ngược lại, f khác hằng Theo Bổ đề 1.5 ta có ∆cf

không đồng nhất không

Đặt G = fn(z) ∆cf Ta thấy rằng, mọi cực điểm của G chỉ có thể xảy ratại các cực điểm của f, f (z + c), và mọi không điểm của G chỉ có thể xảy

ra tại các không điểm của f, ∆cf

Câu hỏi: Với n = 1, , 5 thì Định lý 2.6 còn đúng nữa hay không?

Từ các kết quả trên, chúng ta nhận được kết quả của Hà Huy Khoái và

ki, và ∆qcf không đồng nhất không Khi đó

P (f )(∆1cf )k1 (∆qcf )kq − a không có không điểm, với a ∈ Cp, a 6= 0

Định lý trên đã góp phần khẳng định Giả thuyết Hay man p−adic

2.2 Vấn đề duy nhất đối với đạo hàm của hàm phân hình

p-adic

Bổ đề 2.8 Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên Cp Nếu

Ef(1) = Eg(1), thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng:

Bây giờ ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 L không đồng nhất 0 Do (2.2) nên tất cả các cực điểmcủa L đều có bậc 1 Viết f = f1