BÀI 7:MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ NỘI DUNG 1 Tìm giao điểm của hai đường.. 2 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của một pt 3 Bài toán tiếp tuyến.
Trang 2BÀI 7:
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
NỘI DUNG
1) Tìm giao điểm của hai đường.
2) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của một pt 3) Bài toán tiếp tuyến.
Trang 3Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 – x2 + 2 (C)
và (P): y = x2 + 2 Tìm giao điểm của (C) và (P)
Toạ độ giao điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ sau:
6
2 2
0
y
y x
x
2
2
2
2 3
x y
x x
y
) 1 ( 2
2 3
0 )
2 (
0
3
Vậy (C) và (P) có 2 giao điểm là: A(0;2), B(2;6)
Ghi chúù:
PT (1) được gọi là PT hoành độ giao điểm Của (C) và (P)
HD:
Trang 4Tổng quát:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C’) Tìm giao điểm của (C) và (C’)
PHƯƠNG PHÁP:
1) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
f(x) = g(x) (*) 2) Giải phương trình hoành độ giao điểm
3) Giả sử PT (*) có nghiệm là x0 , x1… thì giao điểm của (C ) và (C’) là : M0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1))…
Lưu ý:
Số nghiệm của PT (*) bằng số giao điểm của (C) và (C’)
Trang 5Ví dụ:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau:
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) là
Số nghiệm của PT (1) chính là số giao điểm của (C) và (d)
(1) <=> x2 - x + 2 = (x - m)(x - 1) <=> mx = m - 2 (2)
Biện luận:
+) Nếu m = 0 PT (2) có dạng: 0x = -2 => (2) vô nghiệm => (C) và (d) không có giao điểm
+) Nếu m ≠ 0 PT (2) có nghiệm duy nhất
(hiện nhiên x ≠ 1) => (C) và (d) có 1 giao
điểm (x;y) với :
) ( )
( 1
2
2
d m
C x
x
x
1 )
1
( 1
2
2
x
m x
x
m
m
x 2
m x
y m
m
lý vô
nếu vì
, 0 2
2 1
2
m
m m
m
GIẢI:
Trang 6BÀI TOÁN2: Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
PT : f(x,m) = 0 (*)
PHƯƠNG PHÁP:
1) Biến đổi f(x,m) = 0 <=> g(x) = h(m) là PT HĐGĐ của hai đường y = g(x) (C) và đường thẳng y = h(m) (d)
Số giao điểm của (d) và (C) bằng số nghiệm của PT (*)
2) Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = g(x)
3) Đường thẳng (d) có phương song song với trục 0x và
cắt 0y tại điểm có tung độ y = h(m)
Trang 7Ví dụ:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của PT :
-x3 + 3x2 - 2 - m = 0 (1)
GIẢI:
a) HS tự làm(BT)
b) PT (1) <=> -x3 + 3x2 - 2 = m là PT HĐGĐ của đồ thị (C) và đường thẳng y = m (d)
+) Số nghiệm của PT (1) bằng số giao điểm của (C) và (d) +) Đường thẳng y = m có phương song song với trục 0x và
cắt 0y tại điểm có tung độ y = m
Trang 8x
y
O
-2
2
2
(C) và (d) có 1 điểm chung:
PT có 1 nghiệm
(C) và (d) có 2 diểm chung:
PT có 2 nghiệm
(C) và (d) có 3 điểm chung:
Pt có 3 nghiệm
(C) và (d) có 2 điểm chung:
Pt có 2 nghiệm
(C) và (d) có 1 điểm chung:
Pt có 1 nghiệm
m < -2
m = -2
-2< m < 2
m = 2
m > 2
Đồ thị (C)
KẾT LUẬN: Dựa vào đồø thị (C) ta có
m < -2 hay m > 2 : Pt (1) có 1 nghiệm
m = -2 hay m = 2 : Pt (1) có 2 nghiệm
• -2 < m < 2 : Pt (1) có 3 nghiệm
BIỆN LUẬN
Trang 9Bài toán 3: Viết phương trình của tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
a) Viết PT tiếp tuyến của (C) tại điểm M o (x o ; f(x o ))
b) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k
c) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x 1 ; y 1 )
PHƯƠNG PHÁP:
a) PTTT của (C) tại điểm M 0 (x o ; f(x o )) là: y = f’(x 0 )(x - x o ) + y o
b) Giải phương trình f’(x) = k ta được các hoành độ tiếp điểm là x i (i =1,2 )
PTTT cần tìm là: y = k(x - x i ) + y i (với y i = f(x i ))
c) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M
=> PT của d là: y = k(x – x 1 ) + y 1
Để d là tiếp tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm
-Giải hệ cho ta hệ số góc k -Thay k vào PT của d ta có PTTT cần tìm
k x
f
y x
x k x
f
) (
'
) (
)
Trang 10Ví dụ: Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 3 (C) Viết PTTT của (C) a) Tại x = 1
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
c) Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;3)
HD:
TXĐ: D = R, ta có y’ = 3x 2 - 6x
a) Vì x = 1 => y = 1 và f’(1) = -3 => PTTT tại M 0 (1;1) là:
y = -3(x - 1) + 1 y = -3x + 4
b) Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 => f’(x) = 9
3x 2 – 6x = 9 x 2 – 2x – 3 = 0 => x = -1 hoặc x = 3
Với x = -1 => y = -1 => PTTT là: y = 9x + 8
Với x = 3 => y = 3 => PTTT là: y = 9x + 24
c) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;3)
=> PT của d là: y = kx + 3
Để d là tiếp tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm
x3 3x2 3 kx 3
Trang 11Trong bài toán 1: PT x3 – x2 + 2 = x2 +2 (1)
đgl pt hoành độ giao điểm của (C) và (P) +) Nếu viết lại (1) <=> x3 + 2 = 2x2 + 2 thì đây là PT HĐGĐ
của hai đường: y = x3 + 2 và y = 2x2 + 2 +) Hoặc (1) <=> x3 – 2x2 + 2 = 2 là PT HĐGĐ của 2 đường
y = x3 – 2x2 + 2 và y = 2 (có phương //0x) +) Hoặc (1) <=> x3 – 2x2 = 0 là PT HĐGĐ của 2 đường
y = x3 – 2x2 và y = 0 (trục 0x)
Tóm lại :
Ta có thể xem (1) là PT HĐGĐ của hai đường nào đó
Trang 12Bài toán: Tìm giao điểm của hai dường số y = f(x) (C)
và y = g(x) (C’)
PHƯƠNG PHÁP:
1) Lập PTHĐGĐ của (C) và (C’): f(x) = g(x) (*)
2) Giải PTHĐGĐ
3) Giả sử PT (*) có nghiệm là x0 , x1… thì giao điểm của
(C ) và (C’) là : M0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1))…
Số nghiệm của PT (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’)
Bài toán: Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
PT : f(x,m) = 0 (*)
PHƯƠNG PHÁP:
1) Biến đổi f(x,m) = 0 <=> g(x) = h(m) là PT HĐGĐ của hai đường y = g(x) (C) và đường thẳng y = h(m) (d)
Số giao điểm của (d) và (C) bằng số nghiệm của PT (*)
2) Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = g(x)
3) Đ thẳng (d) // 0x và cắt 0y tại điểm có tung độ y = h(m)