ĐỀ + ĐA TOÁN 9 TỈNH LAI CHÂU 2017

ĐỀ + ĐA TOÁN 9 TỈNH LAI CHÂU 2017 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...

UBND TỈNH LAI CHÂU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát ñề)

Ngày thi: 9/4/2017

Câu 1: (4,0 ñiểm)

Cho biểu thức:P = ( )

2

2

: 1

x

a) Rút gọn P;

b) Tính giá trị của P với x= −9 4 5 ;

c) Tìm các giá trị chính phương của x ñể P có giá trị nguyên

Câu 2: (4,0 ñiểm)

2.1 Chứng minh với mọi n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1 ⋮ 323 2.2 Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

Câu 3: (4,0 ñiểm)

3.1 Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0 Tìm m ñể phương trình

có hai nghiệm x1, x2 là ñộ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

3.2 Giải hệ phương trình sau:

6







Câu 4: (6,0 ñiểm)

Cho ñường tròn (O) Qua ñiểm A nằm ngoài ñường tròn kẻ hai tiếp tuyến

AM, AN (M, N là hai tiếp ñiểm) và cát tuyến ABC với ñường tròn (B nằm giữa

A và C) Gọi I là trung ñiểm của BC

a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một ñường tròn;

b) Chứng minh: IA là tia phân giác của MIN;

c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao ñiểm của BD và MN Chứng

minh: HM = HN

Câu 5: (2,0 ñiểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 12 + 12 + 12 + 1 + 1 + 1

-Hết -

- Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo

ĐKXĐ của P là : x > 0 và x ≠ 4

=

x x x

=

3

2

x

a

Vậy: P =

2

(2 ) :

2

x

+

+ (x > 0 và x ≠ 4)

b

Thay x= −9 4 5 vào P ta ñược :

P =

2

5 5 10

5 4

−

Ta có: P =

2 (2 x)

x

4

x x

x

P ∈ Z ⇔ 4

x ∈ Z và x∈Z

⇔ x∈Ư (4)⇔ x ∈ ± ± ± { 1, 2, 4 } và x∈Z

Câu 1

(4 ñiểm)

c

⇔ x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên

Ta thấy 323 = 17.19 mà (17; 19) = 1 ta chứng minh Xét B = 20n +16n − −3n 1

⋮ 17 và B ⋮ 19

ta có B = (20n - 3n) + (16n - 1) +) 20n - 3n = (20 - 3)M = 17M ⋮ 17 +) 16n - 1 = (16 + 1)N = 17N ⋮ 17 ( n chẵn)

⇒ B ⋮ 17 (1)

Câu 2

2.1

ta có: B = (20n - 1) + (16n - 3n) +) 20n - 1 = (20 - 1)P = 19P ⋮ 19

+) 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q ⋮ 19 ( n chẵn)

⇒ B ⋮ 19 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ B ⋮ 323 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

⇔(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1

⇒ 2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1

TH1:







−

= + +

= + +

1 1

1 1 2

y x

y x

2 4

x y

=



⇒ 

= −



TH2:







= + +

−

= + +

1 1

1 1 2

y x

y

y = 2



⇒ 



2.2

Kết luận (x,y) ∈{(2; - 4), (-2; 2)}

Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là ñộ dài hai cạnh của tam giác

⇒ Phương trình phải có hai nghiệm dương

⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −

 + >  > −

- Vì x1, x2 là ñộ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền

1 + 2 =25⇔( 1+ 2) −2 1 2 =25

- Áp dụng ñịnh lí Vi-et ta ñược:

(m + 5)2 - 2(3m + 6) = 25 ⇔ m2 + 4m - 12 = 0

3.1

⇔m = -6(loại); m = 2(thỏa mãn) Vậy m = 2

1 0

=



⇒ 

=



y

(vô lí)

- Vậy x ≠0, khi ñó chia hai vế của từng phương trình của hệ với

x2 ta ñược:

2

2

2 2

2

6

⇔

x x

x x

3.2

Đặt:

1

1



= +





 =



x

x

(ĐK: S2 ≥ 4P) khi ñó: .2 6

=







S P

S P

3

(4ñiểm)

⇔

TH1: . 6 3

⇔

1

⇒

x và y là nghiệm của phương trình: X2

- 3X + 2 = 0

1

2





⇒



TH2: 2.P 6

=







S

S (Vô nghiệm)

Vậy (x, y) ∈ {(1; 2), (1

2; 1)}

- Vì AMO =ANO =900(tính chất tiếp tuyến)

AO (1)

- Vì I là trung ñiểm của BC ⇒ OI⊥ BC ⇒OIA =900

⇒ + = ⇒AMOI nội tiếp ñường tròn ñường kính

AO (2)

a

- Từ (1) và (2) ⇒ A, M, O, I, N thuộc ñường tròn ñường kính AO

- Vì AMOI nội tiếp ⇒AIM=AOM (cùng chắn cung AM)

- AOM =AON(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

- Vì AOIN nội tiếp ⇒AON=AIN(cùng chắn cung AN)

b

⇒ = hay IA là tia phân giác của MIN 

- Vì MN//CD ⇒MBD =NBC mà BMH =BCN (cùng chắn



BN )⇒∆BHM
∆BNC(g.g) ⇒ HB NB

HM = NC (3)

- Vì MN//CD ⇒ NBH=CBM mà BNH =BCM (cùng chắn BM 

⇒∆BNH
∆BCM(g.g) ⇒ HB MB

HN = MC (4)

6

(6ñiểm)

c

H

I O

D

C B

N M

A

- Vì ∆ABM
∆AMC (g.g) MB AB

mà AM = AN(t/c hai tiếp tiến cắt nhau) ⇒ NB MB

NC = MC (5)

- Từ (3), (4), (5) ⇒ HB HB

HM =HN ⇒ HM = HN

Áp dụng bất ñẳng thức Cosi ta có:













Khi ñó:

Q= 12 + 12 + 12 + 1 + 1 + 1

xy yz xz

Mặt khác, sử dụng bất ñẳng thức: ( ) 1 1 1

9

a b c

+ +

(Do 3(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)2 và x + y + z = 1)

(x y z)

+ +

Câu 5

(2 ñiểm)

Dấu "=" xẩy ra khi x = y = z =1

3 Vậy Qmin = 54 khi x y z 1

3

= = =