Tiếp tuyến của đường tròn tâm O song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N.. Tính độ dài BC.. Tính AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất.. Hết đề chính thức.
Trang 1Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
Sở giáo dục và đào tạo lai châu
(Đề thi gồm 01 trang)
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
năm học 2013 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)
Câu 1 : (4,0 Điểm)
a, Chứng minh rằng: A(n) = n4 - 4n3 - 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n ≥ 4).
B(x) = x + 1 dư 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 dư -5
Câu 2 : (4,0 điểm)
4 2 2 4
Câu 3 : (5,0 điểm)
xy x 2 + yz y 1 + xz 2z 2
C = (a + b + 1)(a2 + b2) + 4
a + b
Câu 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC không cân có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) Hai đường cao AI và BE cắt nhau tại H (I ∈BC, E ∈ AC)
a, Chứng minh CHI = CBA
Câu 5 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 80cm ngoại tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến của đường tròn tâm O song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N
a, Cho biết MN = 9,6cm Tính độ dài BC
b, Cho biết AC - AB = 6cm Tính AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất
Hết
đề chính thức
Trang 2§ç V¨n L©m - Tr−êng THCS TT T©n Uyªn
§¸p ¸n Chó ý: §¸p ¸n chØ mang tÝnh tham kh¶o
C©u 1: (4,0 ®iÓm)
a, Chøng minh r»ng: A(n) = n4 - 4n3 - 4n2 + 16n chia hÕt cho 384 víi mäi sè tù nhiªn n ch½n (n ≥ 4)
b, T×m hÖ sè a vµ b sao cho ®a thøc: A(x) = x3 + ax + b khi chia cho ®a thøc B(x) = x + 1 d− 7; khi chia cho ®a thøc C(x) = x - 3 d− -5
Gi¶i
a, - V× n ch½n ⇒ n = 2k (k ∈ N*, k ≥ 2) Khi ®o
A(n) = n(n3 - 4n2 - 4n + 16) = n[n2(n - 4) - 4(n - 4)] =n(n - 4)(n2 - 4)
= n(n - 4)(n - 2)(n + 2) = 2k(2k - 4)(2k - 2)(2k + 2)
= 16(k - 2)(k -1)k(k + 1)
- V× k ∈ N*, k ≥ 2 ⇒(k - 2)(k -1)k(k + 1) lµ tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho
1.2.3.4 = 24 ⇒ 16(k - 2)(k -1)k(k + 1) ⋮ 16.24 = 384
VËy n4 - 4n3 - 4n2 + 16n ⋮ 384 víi mäi sè tù nhiªn n ch½n (n ≥ 4)
b, V× A(x) chia cho B(x) d− 7 vµ chia cho C(x) d− -5 nªn ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:
A( 1) 7 a b 1 7 a b 8 a 10
C©u 2: (4,0 ®iÓm)
a, T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: x2 - 4xy + 5y2 = 169
b, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
+ + =
Gi¶i
a, x2 - 4xy + 5y2 = 169 ⇔ x2 - 4xy + 4y2 = 169 - y2 ⇔ (x - 2y)2 = 169 - y2
⇒ 169 - y2 ph¶i lµ sè chÝnh ph−¬ng
⇒ 169 - y2 ∈ {0; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169}
- TH1: 169 - y2 = 0 ⇔ y = ± 13
+ NÕu y = 13 ⇒ x = 26
+ NÕu y = -13 ⇒ x = -26
- TH2: 169 - y2 = 4 ⇒ y2 = 165 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH3: 169 - y2 = 9 ⇒ y2 = 160 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH4: 169 - y2 = 16 ⇒ y2 = 153 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH5: 169 - y2 = 25 ⇒ y2 = 144 ⇔ y = ±12
+ NÕu y = 12 ⇒ (x - 24)2 = 25 ⇔ x = 29 hoÆc x = 19
+ NÕu y = -12 ⇒ (x + 24)2 = 25 ⇔ x = -29 hoÆc x = -19
- TH6: 169 - y2 = 36 ⇒ y2 = 133 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH7: 169 - y2 = 49 ⇒ y2 = 120 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH8: 169 - y2 = 64 ⇒ y2 = 105 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH9: 169 - y2 = 81 ⇒ y2 = 88 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH10: 169 - y2 = 100 ⇒ y2 = 69 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH11: 169 - y2 = 121 ⇒ y2 = 48 (lo¹i v× y ∈ Z)
- TH12: 169 - y2 = 169 ⇒ y2 = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = ± 13
VËy nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh lµ:
(x, y) ∈{(26; 13), (-26, -13), (29; 12), (19; 12), (-29; -12), (-19; -12), (13; 0), (-13; 0)}
b,
⇔
xy 2
+ = ±
=
- TH1: x y 3
+ =
=
⇔ x 1, y 2
= =
Trang 3Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
- TH2: x y 3
+ = ư
=
= ư = ư
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm: (x, y) ∈ {(1; 2), (2, 1), (-1; -2), (-2; -1)}
Câu 3: (4,0 điểm )
1, Rút gọn biểu thức:
A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2
2, Cho x, y, z là ba số dương thỏa mCn điều kiện: xyz = 2 Tính giá trị của biểu thức:
xy x 2 + yz y 1+ xz 2z 2
3, Cho hai số dương a, b thỏa mCn điều kiện ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = (a + b + 1)(a2 + b2) + 4
a+b
Giải
1, A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2
+
Đặt : +) M = 45 27 2+ + 45ư27 2 = 3( 5+3 2 + 5ư3 2)
⇒ M2 = 9(10 + 2 7 ) ⇒ M = 3 10 2 7+
+) N = 5 3 2+ ư 5ư3 2 ⇒ N2 = 10 - 2 7 ⇒ N = 10 2 7ư
+) P = 3+ 2 + 3ư 2 ⇒ P2 = 6 + 2 7 ⇒ P = 6 2 7+
+) Q = 3+ 2 ư 3ư 2 ⇒ P2 = 6 - 2 7 ⇒ P = 6 2 7ư
⇒A = 3 10 2 7 6 2 7 3(10 2 7) 6 2 7
100 4.7 36 4.7
10 2 7 6 2 7
= 3(10 2 7) 6 2 7 10 2 7 6 2 7 5 7 3 7
100 4.7+ ư 36 4.7+ = +8 ư + 8 = +2 ư +2
2, B = x y 2z
xy x 2 + yz y 1+ xz 2z 2
xy x xyz + yz y 1+ xyz 2yz 2y
x(y 1 yz) yz y 1 2(1 yz y)
x
y 1 yz yz y 1 1 yz y
1
= yz y 1 1
yz+ + =y 1
+ + Vậy B = 1
3, - Vì ab = 1 nên: C = (a b
ab
+
+ 1)(a2 + b2) + 4
a+b = (
a +b + 1)(a2 + b2) + 4
a+b
- áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương a, b ta có:
C ≥ (1 1
a+b + 1).2ab + 4
a+b = (
a+b + 1).2 + 4
a+b = 2
2
+
- Bây giờ ta chứng minh bài toán phụ: 1 1 2
a+ +b a b
3
ab Thật vậy
1 1 2
a + +b a b
3
+ (a + b)
2 + 2ab - 3(a + b) ab ≥ 0
Trang 4Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên
⇔[(a + b)2 - (a + b) ab ] - 2[(a + b) ab - ab] ≥ 0
⇔ (a + b)[a + b - ab ] - 2 ab [a + b - ab ] ≥ 0
⇔ [a + b - ab ][a + b - 2 ab ] ≥ 0 (Đúng vì theo Cosi: a + b ≥ 2 ab ≥ ab )
Vậy C ≥2 1 1 2 2
+
ab + 2 = = 2.3 + 2 = 8 Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1 Vậy Min C = 8 khi a = b = 1
Câu 4: (2,0 điểm)
a, Kéo dài CH cắt AB tại K Vì H là trực tâm của ∆ABC
⇒ 0
HKB=90 =HIB
⇒ HKBI là tứ giác nội tiếp (vì: 0
HKB HIB 180+ = ) ⇒
KBI=CHI hay CHI =CBA (đpcm)
b, Gọi M là trung điểm của BC, nối M với E
- Vì ∆EBC vuông tại E, EM là trung tuyến
⇒MC = ME ⇒ ∆CME cân tại M (1)
- Vì 0
CME=60 (2)
- Từ (1) và (2) ⇒ ∆CME đều ⇒ CM = CE
- Vì: COM CAB ( 1
2
= = sđBnC ) (3) mà: EHC =CAB (vì HEAK nội tiếp) (4)
- Từ (3) và (4) ⇒
- Vì M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥BC ⇒ 0
OMC=90
- Xét ∆MOC và ∆EHC có:
0
M= =E 90 ; CM = CE; O =H ⇒∆MOC = ∆EHC (cạnh góc vuông - góc nhọn)
⇒ CO = CH
Câu 5: (3,0 điểm)
a, - áp dụng tích chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CAMN = AM + MN + NA = AM + (MH + HN) + AN
= (AM + MK) + (AN + NE) = AK + AE =
= (AK + KB) + (AE + EC) - (BI + CI)
= AB + AC - BC
- Vì MN //BC ⇒ ∆AMN ∆ABC
⇒ AMN
C
ABC
ABC
⇒ 384 = 40BC - BC2 ⇔ BC2 - 40BC + 384 = 0
⇔ BC = 24 hoặc BC = 16
b, Theo câu a, ta có: MN 80 2BC
ư
= ⇒ MN = -BC2 BC
40(BC2 - 40BC + 400 - 400) ⇒ MN = 10 - 1
40(BC - 20)2 ≤ 10 Dấu "=" xảy ra khi BC = 20cm ⇒ Max MN = 10 cm khi BC = 20cm và AC AB 6 AC 33cm
⇔
Vậy Max MN = 10cm khi AB = 27cm, AC = 33cm, BC = 20cm
n M
K
E H
I
O
C B
A
I
E K
M
O
C B
A