Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 9 năm học 2016 - 2017 | Phòng GD&ĐT huyện Phú Lương

Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 9 năm học 2016 - 2017 | Phòng GD&ĐT huyện Phú Lương tài liệu, giáo án, bài giảng , luận vă...

UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2

x  x  x  x

b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Bài 2 (1,0 điểm)

Tìm GTNN của

A

x y y z z x

   biết x, y, z > 0 , xy  yz  zx 1

Bài 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2 2 2

18

72

x y x y xy xy







Bài 4 (4,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của IAM

cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K

a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh HF BI

c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Bài 5 (1.0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 5y 11879

-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN LỚP 9

NĂM HỌC 2016 - 2017

Bài 1 (2,0 điểm)

a) ĐK: x  1

Giải phương trỡnh (*) ta được:

1 1 4

x x





 



Kết hợp với ĐK ta có

1 4

x

là nghiệm của phương trỡnh.

b)

Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2

= ( n2 + 2)2 – ( 2n)

= ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)

Vỡ n là số tự nhiờn nờn n2 + 2n+ 2 > 1 nờn n2 – 2n + 2 = 1 n = 1

Bài 2 (1,0 điểm)

 

   Theo bṍt đẳng thức Cauchy :

min A =

1 2

1

x y z

3

Bài 3 (2,0 điểm)

a) Điều kiện x ≥ 1

Đa phơng trình về dạng:

 

x   x    x   x  

(Do √x−1+1 > 0) Tr

ờng hợp 1 : √x−1−1≥0⇔ x≥2 Khi đó phơng trình (*) trở thành:

2√x−1=2⇔ x=2 (thỏa mãn)

Tr

ờng hợp 2 : √x−1−1<0⇔1≤x<2

Khi đó phơng trình (*) trở thành: −√x−1+1+√x−1+1=2⇔ 2=2 (luôn đúng)

Kết hợp cả 2 trờng hợp ta đợc 1 ≤ x ≤ 2 là nghiệm của phơng trình.

b)

Hệ

x x y y



 

2

2

1 ,

4 1 ,

4

x x a a

y y b b









TH 1

2 2



TH 2 Đổi vai trò của a và b ta được





 Vậy tập nghiệm của hệ là:

S = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3)        

Bài 4 (4,0 điểm)

I

F

M

H E

K

A O B

a) Ta có M, E nằm trờn nửa đường tròn đường kính AB nờn FMK 900và

 900

FEK  .

Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trờn đường tròn đường kính FK

b) Ta có HAK cõn tại A nờn AH = AK (1)

K là trực tõm của AFB nờn ta có FK AB suy ra FK // AH (2)

Do đó FAH AFK mà FAH FAK (gt) cho nờn AFK FAK

Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3)

Từ (2) và (3) ta có AKFH là hỡnh bỡnh hành nờn HF // AK Mà AK IB suy ra

HF IB

c) Chu vi của AMB C AMB MA MB AB  lớn nhṍt khi chỉ khi MA + MB

lớn nhṍt (vỡ AB khụng đổi)

Áp dụng bất đẳng thức a b 2 2a2 b2 dấu "=" xảy ra  a b , ta có

MA MB 2 2(MA2MB2) 2 AB2

Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi

MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.

Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất Khi đó

AMB

Bài 5 (1,0 điểm)

Đặt A 2x 1 2  x 2 2  x3 2  x 4 , ta có 2 x A là tích của 5 số tự nhiên liên

tiếp nên 2 x A chia hết cho 5.

Nhưng 2x không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5

Nếu y  , ta có 1 2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4  5y chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên y  không thỏa mãn, suy ra y = 0.1

Khi đó , ta có 2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 5y 11879

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 1 11879

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 11880

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 9.10.11.12 x 3

Vậy x3;y là hai giá trị cần tìm.0