12 BPT vo ti p2 BG

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Phương trình đã cho tương đương với... Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1.. Điều kiện x∈ℝ... Kết hợp hai trường hợp,

Ví dụ 1. Giải bất phương trình 2 2 ( )

2x +4x+3 3 2− x−x >1 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 3 2− x−x2 ≥0

3 2− x−x =t t, ≥0 ⇒2x+x = −3 t Phương trình đã cho trở thành

( )

2 2

2

0

0 5

2

t

t

x

x x

x x

≥



≥

− ≤ ≤

+ > −





Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = −[ ]3;1

2x + x −5x− >6 10x+15 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện 2

x − x− ≥

Biến đổi bất phương trình về dạng 2x2−10x+ x2−5x− >6 15

x − x− =t t≥ ⇒x − x= +t Khi đó ta có

2

1

0

t

t



Kết luận bài toán có tập nghiệm ;5 53 5 53;

S= −∞ − ∪ + +∞

Ví dụ 3. Giải bất phương trình 1 3 2 ( )

x

−

Lời giải

Điều kiện x x( − >1) 0

1

t t

−

0

1 0

2

0

t

t

t

t



< ≤

 >  >  ≥

2

x

x

 >

−

12 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – P2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Vậy bài toán có nghiệm S = −[ 1; 0) (∪ 1; 2]

Ví dụ 4. Giải bất phương trình 3 (2x+1)(x+ ≥3) (2x+5)(x+1) (x∈ℝ)

Lời giải

Điều kiện (2x+1)(x+ ≥3) 0

Bất phương trình đã cho tương đương với 3 2x2+7x+ ≥3 2x2+7x+ +3 2

2x +7x+ =3 t t, ≥0 thì thu được

0

t

t

≥



Kết luận bất phương trình đã cho có tập nghiệm 7 57; 7 33 7 33; 7 57

S =− − − − ∪− + − + 

Ví dụ 5. Giải bất phương trình ( ) 2 ( )

x x+ > − x − x x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện x(2x+ ≥3) 0

Bất phương trình đã cho tương đương với 2x(2x+ +3) x(2x+3) >3 Đặt x(2x+ =3) t t,( ≥0) thì ta

được

2

2

t t



Kết hợp điều kiện đi đến nghiệm 3 17 3 17

x>− + ∨ <x − −

Ví dụ 6. Giải bất phương trình 2 ( )( ) ( )

x − x+ ≥ x− x− x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện (x−2)(x−32)≥0

Bất phương trình đã cho tương đương với x2−34x+48≥6 x2−34x+64

x − x+ =t t≥ thu được

2

0 0

8

16 6

t t

t

≥

Khi đó 2

x − x≥ ⇔ ≥x x≤ Kết luận tập nghiệm là S= −∞( ; 0] [∪ 34;+∞)

Lời giải 1

Điều kiện 2

3

x≥ Đặt 3x− =2 t (t≥0), ta thu được

2 2

2x − ≤ ⇔t xt 2x x t− +t x t− ≤ ⇔0 2x t+ x t− ≤0 (*)

2

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S=[ ]1; 2

Lời giải 2

Điều kiện 2

3

x≥ Bất phương trình đã cho tương đương với

2 2

2

x

≥



− + ≤

 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S=[ ]1; 2

Lời giải 3

Điều kiện 2

3

x≥

3

x≥ ⇒ x − +x x> Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

4 2

Ta có

2

1 ⇔ x − + ≤ ⇔ ≤ ≤3x 2 0 1 x 2 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S=[ ]1; 2

Lời giải 4

Điều kiện 2

3

x≥ Bất phương trình đã cho tương đương với

2

2

x x x

− +

3

2 ⇔x − + ≤ ⇔ ≤ ≤3x 2 0 1 x 2 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S=[ ]1; 2

4x +3x+ ≤3 8x x+1 x∈ℝ

Lời giải 1

Điều kiện x≥ −1

Bất phương trình đã cho tương đương với 2 ( )

4x −8x x+ +1 3 x+ ≤1 0

Đặt x+ =1 y y( ≥0)thu được

4x −8xy+3y ≤ ⇔0 2x 2x−3y −y 2x−3y ≤ ⇔0 2x−y 2x−3y ≤0

2

0

x

x x

≥







(Hệ vô nghiệm)

• 2

2

0

x

≥







Kết luận tập nghiệm 1 17;3

8

S = + 

Lời giải 2

Điều kiện x≥ −1

Bất phương trình đã cho tương đương với

2

Xét hai trường hợp

2

0

x

x x

≥





(Hệ vô nghiệm)

2

0

8

x

≥





Kết luận tập nghiệm 1 17;3

8

S = + 

Lời giải 3

Điều kiện x≥ −1

Nhận xét rằng 4x2+3x+ > ∀ ∈3 0, x ℝ Bất phương trình đã cho tương đương với

0

3

3 8

x

x

x

⇔

>







>

+

 ≤ ≤





So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm cần tìm 1 17;3

8

S = + 

Ví dụ 9. Giải bất phương trình 4 2 ( )

x

−

Lời giải

Điều kiện 0≠ ≤x 2

Bất phương trình đã cho tương đương với

Xét hai trường hợp

x

x x

≤ ≤



+ − ≥

• x<0⇒x− 2− <x 0;

0

x

<



Kết luận nghiệm S= − − 2 2 3; 0)∪[ ]1; 2

Ví dụ 10. Giải bất phương trình 2 ( ) 2 ( )

3x +2x+ =7 3 x+1 x +3 x∈ℝ

Lời giải 1

Điều kiện x∈ℝ

Phương trình đã cho tương đương với ( )2 ( ) 2 ( 2 )

x+ − x+ x + + x + =

x+ =a x + =b b> Phương trình trên trở thành

2

a b

=



=



1

x

≥ −



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

Lời giải 2

Điều kiện x∈ℝ

Phương trình đã cho tương đương với

2

2 2

1

x

=



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

Lời giải 3

Điều kiện x∈ℝ

Phương trình đã cho tương đương với

2

2





x

≥ −



Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

Lời giải 4

Điều kiện x∈ℝ

3x +2x+ =7 2x + +x 1 + > ∀ ∈6 0, x ℝ Phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )

2

2

3 2

1 0

1 1

1

x

x x

x

+ >







> −



> −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

5x +2x+ ≤2 5x x + +x 1 x∈ℝ

Lời giải

Điều kiện x∈ℝ

Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 ( 2 )

3x −5x x + + +x 1 2 x + + ≤x 1 0

3

x + + =x y y> ⇒ y< y Thu được

2

3

3

y> y≤ ≤x y⇒x> Xét hai trường hợp

5 0

0

x x



>

o

2 2

0

0 1

x

x x x

>



Kết hợp hai trường hợp ta có nghiệm x>0

Ví dụ 12. Giải bất phương trình ( )2 3 ( )

x− + ≤ x − x∈ℝ

Lời giải 1

Điều kiện x≥1

Bất phương trình đã cho tương đương với

x + + =x u x− =v u> v≥ thu được

x

Kết luận tập nghiệm S =4− 6; 4+ 6

Lời giải 2

Điều kiện x≥1

Nhận xét ( )2

x− + > ∀ ∈ℝ Bất phương trình đã cho tương đương với x

Kết luận tập nghiệm S =4− 6; 4+ 6

Lời giải 3

Điều kiện x≥1

( ) ( )

3 2

3

− − +

Nhận xét:

2 2

2

2

x

+

2

1

x

>



− + ≤

Kết luận tập nghiệm S =4− 6; 4+ 6

x + + x + x− ≥ x x∈ℝ

Lời giải 1

x + + =x a x− =b a> b≥ thu được

2

2

1

x

≥



− + ≥



Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm S = +∞[1; )

Lời giải 2

3 x +2x− ≥ −3 x −9x+13 (1)

• Xét x2−9x+ >13 0, bất phương trình (1) nghiệm đúng

• Xét x2−9x+ ≤13 0, ta có

1





Vậy (*) nghiệm đúng với 2

x − x+ ≤ Kết hợp hai trường hợp, (1) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định, hay x≥1

Lời giải 3

Bất phương trình đã cho tương đương với

3 2

3

2

3

x

−

Kết luận tập nghiệm S = +∞[1; )

Ví dụ 14. Giải bất phương trình 2 3 ( )

3x +27≥7 x + −x 10 x∈ℝ

Lời giải 1

Bất phương trình đã cho tương đương với ( 2 ) ( ) 2

3 x +2x+ −5 6 x− ≥2 7 x +2x+5 x−2

x + x+ =u x− =v u≥ v≥ , quy về

2

2

2

x

≥





Kết luận tập hợp nghiệm S =[2;+∞)

Lời giải 2

Ta có x2−7x+23> ∀ ∈0 x ℝ;9x2+14x+53> ∀ ∈0 x ℝ nên (1) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác

định

Kết luận tập hợp nghiệm S =[2;+∞)

Lời giải 3

• Nhận xét x=2không là nghiệm của bất phương trình ban đầu

• Xét trường hợp x>2, bất phương trình đã cho tương đương với

3 2

3

2

2 2

Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc tập xác định

Do đó ta có tập nghiệm S =[2;+∞)

3 81x + ≥4 27x +42x+6 x∈ℝ

Lời giải 1

Điều kiện x∈ℝ

81x + =4 81x +36x + −4 36x = 9x +2 − 6x = 9x −6x+2 9x +6x+2

Bất phương trình đã cho tương đương với

3 9x −6x+2 9x +6x+ ≥2 5 9x +6x+ −2 2 9x −6x+2

9x +6x+ =2 u; 9x −6x+ =2 v u>0;v>0 quy về

Kết luận nghiệm S= −∞( ; 0]

Lời giải 2

Điều kiện x∈ℝ Xét hai trường hợp

27x +42x+ <6 0, bất phương trình đã cho nghiệm đúng

27x +42x+ ≥6 0, bất phương trình đã cho trở thành

2

⇔







Kết hợp hai trường hợp thu được nghiệm S = −∞( ; 0]

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

Bài 2: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

a) 2x2−10x+16− x− ≤ −1 x 3 b)

2

Bài 3: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

a) (x+4)(x+ −1) 3 x2+5x+ <2 6 b) 2 (x x− + >1) 1 x2− +x 1

Bài 4: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

a)

2

3

x

1 0

x

Bài 5: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

2 2

x

2

Bài 6: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

( −4) − +4 + −( 2) <2

Bài 7: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

a)

2

2

x

x

2

2

x

x

Bài 8: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

2

40 16

16

x

2 2

x x

Bài 9: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

2

35 12 1

x x x

−

Bài 10: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau:

a) 2x2+ x2−5x− >6 10x+15 b) 6 (x−2)(x−32) ≤x2−34x+48