Bài giảng PT VÀ BPT VÔ TỈ

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:

1/ x+ +3 6− =x 3; 2 / x+ −4 1− =x 1 2 ;3/− x x+ = −9 5 2x+4; 4 / x x( − +1) x x( −2) = x x( +3)

5 / 2x +8x+ +6 x − =1 2x+2;6 / x x( + +1) x x( −2) 2= x ;7 /( 1+ −x 1)( 1− + =x 1) 2x

8 / x+ x+11+ x− x+11 4;9 /= x+2 x− +1 x−2 x− =1 2;10 / x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1

( 9 3)( 13 9) 0 ( 93 9) / 2;(13 205) / 2

− − = − − − < < ⇔ − − = − −

4− +x −x + 4− −x −x = + ⇔ +x 2 −x + −2 −x = +x

16 / x + − +x 5 x +8x− =4 5(x= ⇔2) x + − − +x 5 1 x +8x− − =4 4 0

17 / 2x − +1 x − − =3x 2 2x +2x+ +3 x − + ⇔x 2 2x +2x+ −3 2x − +1 x − + −x 2 x − − =3x 2 0

18 / 7− +x x x+ =5 3 2− x x x− ( = −1);19 / 3− +x x − 2+ −x x =1( 5− = +t 1 ,t t> ⇒ =0 t 1)

20 /x−2 x− −1 ( x− −1 1) x − = ⇔x 0 ( x− −1 1)( x− − −1 1 x −x) 0= ⇒ =x 2

2

21/ 4x− +1 4x − =1 1(x≥1/ 2⇒VT VP≥ ⇒ =x 1/ 2); 22 / (x+2)(2x− −1) 3 x+ = −6 4 (x+6)(2x− +1) 3 x+2 ( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ) ( ) 4 5

⇔ = + + + − − = = ⇒ > ⇒g(x)&h(x) đồng biến trên (5;+∞ ⇒) f(x) đồng biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7

[ ] [ ]

23/ (x−1)(4−x)> −x 2(4> >x 1); 24 / x+ > −1 3 x+4(x>0); 25 / x+ ≥3 2x− +8 7−x( 4;5 ∪ 6;7 )

26 / x+ −2 3− <x 5 2 ( 2− x − ≤ <x 2); 27 / x +3x+ +2 x +6x+ ≤5 2x +9x+7(x= − −5; 1)

{ }

28 / x −4x+ −3 2x − + ≥ −3x 1 x 1 1 ∪(4− 13) / 2;1/ 2 ; 29 /( x−3) x − ≤4 x −9(x≤ −13/ 6;x≥3)

2 2 2

2

x

− −

> − ⇔ + − > − − ≤ < < ⇔ < + − − < <

+ +

+ − ≥ + − = − − < ≤ + + − > ≥ ⇔ + + − > >

x

− + + < ⇔ < ⇒ > + + − + + < ≤ − ≥ −

2

− ≥ + ≤ − − − > −∞ ÷ ÷  ÷÷ + + > + < < <

39 / 3 1 2 4 3

304

x+ + x+ < − x Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là [−2;0)

II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:

1/ x − + +3x 3 x − + =3x 6 3; 2 / 3x +15x+2 x +5x+ =1 2;3/x +7x+ =4 4 x x( +2)( x t= ⇒ =t 1; 2)

4 / x + + +x 4 x + + =x 1 2x +2x+9;5 / 3− +x x − 2+ −x x =1;6 /x + x + =11 31

2

7 / 3(2+ x−2) 2= x+ x+6(x t= + ⇒ =2 x 3;(11 3 5) / 2)−

8 /x x+ / x − =1 2 2(x> ⇔1) x +x /(x − +1) 2 /x x − = ⇔ + − =1 8 t 2t 8 0

9 / 2x +5x− =1 7 x −1(u= x− ≥1 0;v= x + + >x 1 0);10 / 2(x − + =3x 2) 3 x +8;11/ 2(x + =2) 5 x +1

12 /x +2x+ =4 2 x +4 ;13/x x− +1 x+ +3 2 (x−1)(x+ = −3) 4 2 (x t= x− +1 x+3);

14 / x+ +4 x− =4 2x+2 x − −16 12;15 / 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+2

16 / 2x+ +3 x+ =1 3x+2 2x +5x+ −3 16;17 /x+ 4−x = +2 3x 4−x

18 /(4x−1) x + =1 2x +2x+1(y= x + ⇒ =1 y 0,5; 2x−1);19 / 2(1−x x) +2x− =1 x −2x−1

2 2 2

23/ 1+ 1−x =x(1 2 1+ −x )(x sint= ,0≤ ≤t π/ 2⇒ =t π/ 2; / 6); 24 /π x ± x+ =5 5( x+ =5 t)

23'/ 1−x =4x −3 , (x x cosx= ;0≤ ≤ ⇒ = −x π x 2 / 2;± 2+ 2 / 4);24 '/x −6 6x+ − =4 4 0,(x= −2;1± 3)

25 /x + x+ =1 1; 26 / 3+ 3+ x =x,( 3+ x =t); 27 /x + =1 2 2x−1,( 2x− =1 t); 28 /(3−x ) = −3 x t,( = −3 x )

1 2 3

27 '/ 8x + =1 162x−27⇔u + =1 3 3u− ⇒ − + = ⇔1 u 3u 1 0 8x −6x+ =1 0;x cosy= ⇒2cos y3 + = ⇒1 0 x x x; ;

29 /x +a(3−a ) 3 3= x+(a −3) ,(a t = 3x+(a −3) );30 / 2a − = −x 1 x−1,(u= 2−x v; = x−1)

3 3

31/ x+ −7 x =1;32 / − − = −x 1 1 x+2;33/ x+ −4 x− =3 1,(u= x+4;v= x− ⇒ − =3 u v 7)

34 / 2x− +1 x− =1 3x+1;35 / 2x− =1 x 16− 2x+1;36 / x −7x+ +8 x −6x+ −7 2x −13x−12 3=

1 & 2; 40 / 57 40 5; 41/ 35 ( 35 ) 30; 42 /1/ 1/ 2 2,( 2 )

38'/ 2x+15 32= x +32x−20⇔ 2x+15 8(2= x+1) −28⇔ u+14 8= u −28; u+14=ku⇔ + =u 14 k u ⇒ =k 2

2 2

n

2 3

2

3 3

1

3

a b

a

−

50 / 4 (4− −x)(2+x) ≤x −2x−12(x= ±1 5);51/ (x x−4) − +x 4x+ −(x 2) <2(2− 3< < +x 2 3)

0

52 /(x + +1) (x + +1) 3x x+ >1 0,(t=x x+ ≥ −1 2 3 / 9⇒ + + >t 3t 2 0,TM ⇒n x: ≥ −1)

2

0

x

+ < + −  = + ⇒ − − > ⇒ > ⇒  ÷ ÷  +∞÷÷÷÷

0 2

x

−

2

55 / x− + − ≥1 x 3 2(x−3) +2x−2(*),(ur=( x−1;x−3),vr=(1;1).(*)⇔u vr r ≥ u vr r ⇒ x− = − ⇒ =1 x 3 x 5)

56 /x x+ +1 3− =x 2 x +1,(ur=( ;1),x vr=( x+1; 3− ⇒x) u vr r = u vr r ⇒ x+ =1 x 3− ⇒ =x x 1;1+ 2)

III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:

2

1/ 2+ +x 2− −x (2+x)(2−x)=m t;( = 2+ +x 2− ⇒ = +x t 4 2 (2+x)(2− ⇒ ≤ ≤x) 2 t 2 2

2

2m t 2t 4 f t( ) 4 2 4; 4 m 2 2 2; 2

⇒ = − + + = ∈ − ⇒ ∈ − 

3

x

x

+

−

2

4 / x+ +3 6− = +x m (x+3)(6−x),(3 2 4,5− ≤ ≤m 3);5 / x+ 9− = − +x x 9x m+ ,( 2, 25− ≤ ≤m 10)

6 /x+ 2x + =1 m m,( ≥ 2 / 2);7 /x+2m< x+1,(m<5 / 8);8 / 4−x =mx m− +2,(m< −4 / 3;m>0)

9 / 2x −2(m+4)x+5m+10 3+ − = ⇔x 0( PTf x( ) (= −x 1) /(2x− =5) m có nghiệm x≥ ⇒ ≥3 m 3)

10 / 3 x− +1 m x+ =1 2 x − ⇔ = −1,( m 2t 3 ;0t ≤ =t (x−1) /(x+ < ⇒ − < ≤1) 1 1 m 1/ 3)

4

11/ x− +1 4m x − + +3x 2 (m+3) x− =2 0,(⇔ =m f t( )= −(3t +1) /(t +4 );0t ≤ < ⇒ ≤ −t 1 m 3/ 4)

12 /( 1− +x x) − x(1−x)=m t, ( = 1− +x x∈1; 2⇒ f t( )= −t (t −1) / 2= ⇒ ≤ ≤m 1 m 2 2 0,5)−

13/ ( 1m +x − 1−x + =2) 2 1−x + 1+x − 1−x ,(t= 1+x − 1−x + ∈2 2;2+ 2⇒ =m (5t− −6 t ) /t

( ]

2 4

2 2 3;5 2 6 );14 / ( )f x x 1 x m f x,( '( ) 0 x 0 m 0;1 )

15 /x x+ x+12 =m( 5− +x 4−x f x); ( ) (= x x+ x+12) /( 5− +x 4−x) là hs đồng biến trên đoạn

[ ]0; 4 ⇒2 15 4 3− ≤ ≤m 12;16 / x2−2x+ =2 2m+ −1 2x2+4 ,(x m≥ −1)

2

17 / x+6 x− +9 x−6 x− = +9 (x m) / 6;m=6(t+ + − − − =3 t 3 ) t 9 f t( ) 51, (≤ t= x− ≥9 0)

18 /m+2 x x− / 3= x+ 1−x t; = x+ 1− ∈x 1; 2⇒ = −m t (t −1) / 3 (1; 2 1/ 3)∈ −

19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: + = 2+ ⇔ = = + 2+

20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: (3x2−1) / 2x− =1 2x− +1 ax

2

(⇔ =a (3x−2) / 2x− =1 (3t −1) / 2 ;t t> ⇒0 PT có nghiệm duy nhất với mọi a )

21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: x4 +4x m+ +4 x4+4x m+ =6,(⇒ 4 x4+4x m+ = ⇒ = − −2 m 16 x4 4x

KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm

22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn [ ] 2 3 2

1/ 2;1 : ( ) 3 1f x x 2 x 2x 1 m

2

x

23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 3

2x −2mx+ =1 3 4x +2x

3

( ) '( )

24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: x2+2x− =8 m x( −2)

2 0

( :n x=2;x> ⇒ =2 m f x( ) (= −x 2)(x+4) ⇒ f x'( ) 3 (= x x+ > ⇒4) 0 nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và x2 >2) 25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn: x+ 1− +x 2m x(1− −x) 24 x(1−x) =m3

- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm a∈[ ]0;1 thì nó cũng có nghiệm 1 – a Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì

a = 1-a ⇒ =a 1/ 2⇒ 2+ −m 2=m3⇒ = ±m 0; 1

- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT

26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x∈ −[ 1;1 :] x+ 1−x2 ≤m m,( ≥ 2)

27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: mx− x− ≤ +3 m 1

2

( ) 0;

28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi [ ] 2 2 2

(t=x x + ∈2 0; 3⇒ ≤m f t( )= − + + ∈t t 3  3;3, 25⇒ ≤m 3)

29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: a 2x2+ < +7 x a

2

x

x

30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x∈ −[ 4;6 : (] x+4)(6−x)≤x2−2x m m+ ;( ≥6)

31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x∈ −[ 2; 4 : 4 (] − x+2)(4−x) ≤x2−2x m+ −18;(m≥10) 32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: 2 4 2

x − + =x m x + +x

m= f x = x − +x x + + ⇒x f x = x − x − +x x + +x ⇒ = −m