Tọa độ oxy

Tìm tọa độ A, B, M là trung điểm của BC, viết phương trình cạnh BC.. Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp tam giác *Bài toán phụ: Cho tam giác ABC, BK là đường phân giác trong của

CHUYÊN ĐỀ 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

d Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (d) cắt Ox, oy lần lượt tại hai điểm A(a;0)

Trong trường hợp a=0 hoặc b=0 đường thẳng không có phương trình chính tắc

1.1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

- Hệ (I) vô nghiệm⇔

(d1)// (d2) ((d1) và (d2) không có điểm chung )

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(-3;2) và song song với

VTPT (2; 1)

qua d

qua M x y d

qua vtcp

Phương pháp: (d)

0( ; )0 0VTCP ( ; )

VTPT ( ; )

qua M x y d

Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của

đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

a)(d) đi qua điểm M(1;-2) và có vtcp u r

d

qua vtcp n

*Muốn lập phương trình đường thẳng (d) ta cần biết (d):

- Qua 1 điểm và biết 1 VTCP

- Qua 1 điểm và biết 1 VTPT

- Qua 2 điểm phân biệt

1.3 Các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách

1.3.1 Kiến thức liên quan

a Góc giữa hai đường thẳng:

*Định nghĩa: Hai đường thẳng (d1), (d2) cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất củacác góc đó là góc giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) Kí hiệu (d1, d2)

Suy ra, góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai VTPT (hoặc gócgiữa hai VTCP)

b Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Cho (d): ax+by+c=0 và điểm 0 0

là hình chiếu của M lên (d)

- Là khoảng cách ngắn nhất từ M đến 1 điểm bất kỳ thuộc (d)

* Cho (d):ax+by+c=0 và hai điểm M x y ( ; )0 0

,N x y ( ; )1 1

Đặt t =

(ax +by +c)(ax +by +c)

- Nếu t < 0 thì M, N nằm về hai phía của (d)

- Nếu t>0 thì M, N nằm cùng một phía với (d)

1.3.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

a) Tìm góc giữa 2 đường thẳng

1

3 :

2

x t d

1 9 1 4 50 2

n n c

qua M VTPT n



d có VTPT là nur1=(1;2)

qua VTPT n

CD:

C(3;4) C(3;4)

:/ /   AB    (4;3)

qua qua

CD VTPT n

   (1; 2)

qua BC

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc ∆: 3x− − =y 8 0

Tìm

tọa độ C để

32

1.4 Các đường, điểm đặc biệt trong tam giác

1.4.1 Đường cao và trực tâm

0Gọi BI: -2x+y+8=0; CK: 2x+3y-6=0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), đường trung trực của đoạn AB

là:3x+2y-4=0 Trọng tâm G(4;-2) Tìm tọa độ B, C

Lời giải

AB

A(-1;-3) A

:

   dAB    (2; 3)

qua qua

AB VTPT n

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có A thuộc d: x-4y-2=0; BC//d; đường cao BH:x+y+3=0,

M(1;1) là trung điểm của AC Tìm tọa độ của A, B, C

Lời giải

AC

M(1;1) M(1;1)

:

qua qua

AC VTPT n

8 8 C( ; ) C

3 3:

/ /  d

   d (1; 4)

qua qua

BC VTPT n

1.4.2 Đường trung tuyến và trọng tâm

a Kiến thức: Cần sử dụng giả thiết của trung điểm M

 l trung điêm cua BC 

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, C(-4;1), phương trình các đường trung tuyến AM:

2x-y+3=0; BN:x+y-6=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Ví dụ 2 Cho tam giác A(4;3), đường cao BH:3x-y+11=0, đường trung tuyến

CM:x+y-1=0 Viết phương trình các cạnh của tam giác

Lời giải

AC

A  

qua VTPT n

AB: x−2y+ =2 0

; BC: 7x+ +y 29 0=

; CA: x+3y−13 0=

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC, C(4;-1), đường cao và trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh có

phương trình lần lượt là: 2x-3y+12=0: 2x+3y=0 Viết phương trình các cạnh của tamgiác

Lời giải

C(4;-1)∉2x−3y+12 0=

do 2.4-3.(-1)+12≠

0C(4;-1)∉2x+3y=0

do 2.4+3.(-1)≠

0Gọi AH: 2x−3y+12=0

qua VTPT n

AC: 3x+7y− =5 0

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, M(2;0) là trung điểm của AB, đường trung tuyến

AD:7x-2y-3=0; đường cao AH: 6x-y-4=0 Viết phương trình cạnh AC

qua VTPT n

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;-1); phương trình cạnh AB: 4x+y+15=0; AC:

2x+5y+3=0 Tìm tọa độ A, B, M là trung điểm của BC, viết phương trình cạnh BC

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC, vuông tại A; BC:x-y-2=0, A, B thuộc Ox, bán kính đường

tròn nội tiếp tam giác r=3 Tìm tọa độ trọng tâm G

Lời giải

AB: y=0

Ví dụ 7 Cho tam giác ABC, M(-1;3) là trung điểm của AB, trung tuyến BN: x-3y+5=0;

đường cao AH: 2x-y+5=0 Tìm tọa độ A, B, C

c

N NB∈ ⇔ − −c + + = ⇔ − − − + =c c

5c 5 c 1 C( 2;1)

⇔ − = − ⇔ = ⇒ −

1.4.3 Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp tam giác

*Bài toán phụ: Cho tam giác ABC, BK là đường phân giác trong của góc ABC, A1

làđiểm đối xứng với A qua BK Chứng minh rằng: A BC1∈

Xét ∆ ABI = ∆ A BI C G C1 ( ) ⇒ ∠ IBA = ∠ IBA1

Mà ∠ IBA = ∠ IBC gt ( ) ⇒ ∠ IBA1= ∠ IBC ⇒ ∈ A1 BC

a Kĩ năng: Lấy đối xứng đỉnh của tam giác qua đường phân giác trong (ngoài)

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC, phương trình cạnh AB: 2x+y-5=0; BC: x+2y+2=0; CA:

2x-y+9=0.Viết phương trình các đường phân giác trong của A, B và tìm tâm, bán kính đườngtròn nội tiếp tam giác

1 2

Đường phân giác trong của góc B là ( ) l2 : x y + − = 1 0

*) Các đường phân giác của góc A

3 4



⇔  + − = − + − ⇔  + =

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, phương trình cạnh BC: 4x-y-3=0; các đường phân giác

trong kẻ từ B,C lần lượt có phương trình: d xB: − + = 2 y 1 0; : d x yC + + = 3 0

Viếtphương trình cạnh AB, AC

là điểm đối xứng với B qua dC

, E là trung điểm của BB1

là điểm đối xứng với A qua dC

, E là trung điểm của AA22

qua VTPT n

là điểm đối xứng với B qua AD

, D là trung điểm của BB1

là điểm đối xứng với C qua AD

, E là trung điểm của CC1

1

CC

⇒

:2(x−4) 1(− y+3)= ⇔0 2x− −y 11 0=

Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

là điểm đối xứng với C qua AD

, D là trung điểm của CC1

là điểm đối xứng với M qua AD

, E là trung điểm của MM1

là điểm đối xứng với B qua AD

, F là trung điểm của 1

F là trung điểm của BB1⇒ − + − + ⇒ − − B1( 4 3; 4 1) B1( 1; 3)

là điểm đối xứng với B qua AD

, G là trung điểm của 2

1.4.4 Hình học giải tích trong tam giác đặc biệt

Ví dụ 1 Cạnh bên và cạnh đáy của 1 tam giác cân lượt là x+2y− =1 0

;3x− + =y 5 0

.Viết phương trình cạnh còn lại của tam giác biết nó đi qua M(1;-3)

Vậy AC: 2x+11y+31=0

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, vuông tại A, BC: 3 x y − − 3 0 =

:, A, B thuộc Ox, bánkính đường tròn nội tiếp tam giác r=2 Tìm tọa độ trọng tâm G

(Đã sử dụng gt tam giác cân tại A)

Tam giác ABC vuông tại A⇔ uuur uuur AC AB = 0

(2)( 3 2; 4)

(1)

( 4) 4( )4

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, AB: 3 7 x y − − 3 7 0 =

, B, C thuộc Ox, A thuộc gócphần tư thứ nhất

a) Tìm tọa độ A, B, C biết rằng chu vi tam giác bằng 9

b) Tìm M thuộc AB, N thuộc BC để MN đồng thời chia đôi chu vi và diện tích tamgiác ABC

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm của

tam giác đó, biết BC và BG lần lượt có phương trình là: x-2y-4=0; 7x-4y-8=0, và đườngthẳng CG đi qua điểm E(-4;1) Viết phương trình đường cao AH (Đáp số G(4/3;1/3),2x+y-3=0)

Bài 3: (A10) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6);

đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của

tam giác đã cho

3 x y − = 0

Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao

cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích

bằng

3

2

và điểm A có hoành độ dương

Bài 5: (B10) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4;

1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng

BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

1.4.5 Các bài toán về tứ giác

a Kiến thức liên quan

ABCD

S = AC BD I

(đúng với tứ giác lồi bất kì)

*) AC, BD chia hình bình hành thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau

*) Nếu M thuộc AB và N là điểm đối xứng với M qua tâm I của hình bình hành thì Nthuộc CD

*) d(P,AB)=d(Q,AD); (AB=AD)

Lưu ý: Với một số bài toán ta có thể giải bằng cách dựa vào dựng hình.

b Bài tập tự luyện

Bài 1: Hình chữ nhật ABCD, I là giao diểm của AC và BD, I(6;2), M(1;5) thuộc đường

thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc ∆

:x+y-5=0 Viết phương trình cạnh AB

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là

giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:x+ − =y 5 0

Viết phương trình đường thẳng

AB

2 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

2.1 Dạng 1: Viết phương trình đường tròn

2) Cho d: x-y+1=0; (C):

2 2 2 4 0

x + + − = y x y

Xác định M thuộc d để từ đó kẻ 2 tiếptuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó tạo với nhau góc

3 Sủ dụng phép biến hình trong các bài toán tọa độ trong hình học phẳng

3.1 Kiến thức liên quan

3.1.1 Phép tịnh tiến v

TrTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến v

Tr theo Vectơ vr=( )a b;

biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(x+a;y+b)

3.1.2 Phép đối xứng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng tâm I(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2a-x;2b-y)

3.1.3 Phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục ∆

là biến điểm M(x;y) thành điểm M’sao cho ∆

là đường trung trực của MM’

+) Nếu ∆

là trục Ox thì M’(x;-y)+) Nếu ∆

là trục Oy thì M’(-x;y)+) Nếu ∆

là đường phân giác của góc phần tư thứ I và thứ III thì M’(y;x)+) Nếu ∆

là đường phân giác của góc phần tư thứ II và thứ IV thì M’(-y;-x)+) Nếu ∆

là đường thẳng ax+by+c=0, đặt c0=ax0+ by0

+) Nếu tâm quay là gốc tọa độ và góc quay

0

90

thì M’(-y;x)+) Nếu tâm quay là gốc tọa độ và góc quay -

0

90

thì M’(y;-x)+) Nếu tâm quay là gốc tọa độ và góc quay ϕ

thì tọa độ của M’ thỏa mãn:

Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) hoặc C(1;-6); D(-2;-3)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ của các đỉnh của hình vuông ABCD biết tâm I(1;1), điểm J(-2;2)

thuộc đường thẳng AB và điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD

hoặc ngược lại

Ví dụ 3: (Trích đề thi khối A năm 2009) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là

giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm

E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:x+ − =y 5 0

Viết phương trình đường thẳng AB

I 

 ÷

 

và các điểmM(-1;2); N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA

Nhận xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông nếu giả thiết cho biết

tọa độ giao điểm của hai đường chéo thì biết tọa độ tâm đối xứng nên ta sử dụng phép đốixứng tâm

Ví dụ 6: (Trích đề thi khối B năm 2008) Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết

rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giáctrong của góc A có phương trình: x-y+2=0 và đường cao qua B là: 4x+3y-1=0

góc A tại I, K thuộc BC⇒ ∆AKH

Điều kiện cần và đủ để ∆ABC

vuông cân tại A

b)Điều kiện cần và đủ để ∆ABC

vuông cân tại A

;

33

Chứng minh: Suy ra trực tiếp từ công thức:

b b

Cách 2: Do vai trò của M; N như nhau nên ta có thể giả sử góc lượng giác: