Phuong phap toa do trong mat phang

Mệnh đề 3 được hiểu là : Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ

I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :

• x'Ox : trục hồnh

• y'Oy : trục tung

• O : gốc toạ độ

• r ri j : véc tơ đơn vị ( , ri = =rj 1 và r ri⊥ j )

Quy ước : Mặt phẳng mà trên đĩ cĩ chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuơng gĩc Oxy được gọi là mặt phẳng

Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho M mp Oxy∈ ( ) Khi đĩ véc tơ OMuuuur được biểu diển một cách duy nhất theo

P x y

'

x

'

y P

a

x y

B K H

III Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với ar br br r≠0

ar cùng phương br ⇔ ∃ ∈ !k ¡ sao cho a k br= r

Nếu ar r≠0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

k > 0 khi ar cùng hướng br

k < 0 khi ar ngược hướng br

a

k b

=

rr

 Định lý 4 : , , thẳA B C ng hàng ⇔ uuurAB cùng phương uuurAC

(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )

 Định lý 5: Cho hai véc tơ ar=( ; ) vàa a br =( ; )b b ta cĩ :

)

;(x B y B B

ar cùng phương br ⇔ a 1 2b a b− 2 1 =0 (Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ)

V Tích vơ hướng của hai véc tơ:

Nhắc lại:

.ab a br r= r r .cos( , )a br r

ar2= ar2

a br ⊥r ⇔ abr r=0

 Định lý 6: Cho hai véc tơ ar=( ; ) vàa a1 2 br =( ; )b b1 2 ta cĩ :

ab a b a br r = 1 1+ 2 2 (Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ)

 Định lý 7: Cho hai véc tơ ar =( ; ) a a1 2 ta cĩ :

ar = a12+a22 (Cơng thức tính độ dài véc tơ )

 Định lý 8: Nếu A x y( ; ) vàA A B(x ; )B y thì B

AB= (x B−x A)2+(y B−y A)2 (Cơng thức tính khoảng cách 2 điểm)

 Định lý 9: Cho hai véc tơ ar=( ; ) vàa a1 2 br =( ; )b b1 2 ta cĩ

a br ⊥r ⇔ a1 1b a b+ 2 2=0 (Điều kiện vuơng gĩc của 2 véc tơ)

 Định lý 10: Cho hai véc tơ ar =( ; ) vàa a1 2 br=( ; )b b1 2 ta cĩ

2 1 12 2 22 2

.cos( , )

a b a a b b (Cơng thức tính gĩc của 2 véc tơ)

VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠1 ) nếu như : MA k MBuuur= uuur

.1.1

k

y k y y

A B M

x x x

y y y

=

++

=

⇔

=++

⇔

3

30

1

C B A G

C B A

y y y y

x x x GC

x GA

ABCgiáctamtâm

'

là chân đường cao kẻ từ A

cùng phương

AA BC A

I Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng:

arlà VTCP của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠a cóa 0 giá song song hoặc trùng với ( )



∆



r rr

nr là VTPT của đường thẳng (∆) ⇔đn  ≠n cón 0 giá vuông góc với ( )



∆



r rr

G A

H A

B

A

C D

J

B

A

C D

n

a

 (∆)

* Chú ý:

• Nếu đường thẳng (∆) có VTCP ar=( ; )a a1 2 thì có VTPT là nr= −( a a2; )1

• Nếu đường thẳng (∆) có VTPT nr =( ; )A B thì có VTCP là ar= −( ; )B A

II Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) và nhận ar=( ; )a a1 2 làm

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có VTPT nr=( ; )A B là:

( ): (∆ A x x− 0)+B y y( − 0) 0= (A2+B2≠0)

b Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng (∆) có dạng :

)

;

( y x M

a

x y

)

;

( y x M

n

x y

)

; (A B

n=

x y

Mệnh đề (3) được hiểu là :

Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó

nghiệm đúng phương trình của đường thẳng

3 Các dạng khác của phương trình đường thẳng : hoctoancapba.com

a Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) :

( ): A A

x x y y AB

− − (AB x x): = A (AB y y): = A

b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (∆) cắt trục hoành tại điểm A(a;0) và trục tung tại

điểm B(0;b) với a, b≠0 có dạng: x y 1

a b+ =

c Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc k:

Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ Gọi α =( , )Ox∆ thì k tg= α được gọi là hệ số góc

của đường thẳng ∆

Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M x y có hệ số góc k là :0( ; )0 0

y-y =k(x-x ) (1) 0 0

Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc

Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là

x = x 0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a=

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng ∆ ∆1, 2 ta có :

O

)

; (x A y A

A

)

; (x B y B

B A(x A;y A)

)

; (x B y B B

A B(x B;y B)

A

y y B

x y

)

;

( y x M x y

O x0 0

y

c Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuơng gĩc với một đt cho trước:

i Phương trinh đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có∆1 ∆ dạng: Ax+By+m =01

ii Phương trinh đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có∆ ⊥ ∆1 dạng: Bx-Ay+m =02

Chú ý: m m được xác định bởi một điểm cĩ tọa độ đã biết nằm trên 1; 2 ∆ ∆1; 2

III Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

i ii iii

O x0 1

AA ( ) // ( )

AA ( ) ( )

A

B i

IV Góc giữa hai đường thẳng

1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất trong các số đo

của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai

đường thẳng a và b) Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là ( )a, b

Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 0

0

2 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT

a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là ur v vr thì

V Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ):∆ Ax By C+ + =0 và điểm M x y( ; )

1

∆

x y

O

2

∆

ϕ

là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R= a2+b2−c

II Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

( ):C x2+y2−2ax−2by c+ =0tại điểmM x y( ; ) ( )0 0 ∈ C là :

( ):∆ x x y y a x x0 + 0 − ( + 0)−b y y( + 0)+ =c 0

VI Các vấn đề có liên quan:

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Định lý:

b

)

;

( y x M

(C) I(a;b)

)(∆

)

;( 0 0

0 x y M

)

(C I R M H

I R H

+ Rút x hoặc y từ (2) thay vào (1) để được phương trình 1 ẩn.

2 Vị trí tương đối của hai đường trịn :

( ) và (C ) tiếp xúc trong

+ Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn Từ phương trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc

y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương trình 1 ẩn Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm.

D RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN

I CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( )D :x- 2y+ = và hai điểm 3 0 A( ) (1;1 ,B - 1;2)

1) Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua A và song song với đường thẳng 1 ( )D

2) Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua B và vuơng gĩc với đường thẳng 2 ( )D

3) Viết phương trình đường thẳng AB

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3;0

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phương trình

4 0

x+ -y = , điểm M(- -1; 1) là trung điểm của đoạn AD Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD,

biết đường thẳng AB đi qua điểm E(- 1;1).

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M(2;0) là trung điểm của AB Đường

trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7 x- 2y- = và 63 0 x y- - 4= Viết phương trình 0đường thẳng AC

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có µB= =Cµ 900 Phương trình các đường thẳng AC và DC lần lượt là x+2y= và 0 x y- - = Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang3 0

ABCD , biết trung điểm cạnh AD là 3; 3

2 2

Mæ ö÷ç- - ÷

1) Tìm tọa độ điểm E sao cho AB BEuuur uur=

2) Tìm tọa độ điểm F sao cho AC CFuuur uuur=

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(- 1;1) và đường thẳng ( )D :x+2y- 6= Tìm tọa độ điểm M trên 0đường thẳng ( )D sao cho AM =5

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A( )1; 2 và đường thẳng ( )D :x- 2y+ = Tìm tọa độ điểm M trên 1 0đường thẳng ( )D sao cho AM =2 2

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A( ) (1; 2 ;B 2; 1- ) Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn IA= và4

11

Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5; 4- ) và đường thẳng ( )D : 3x+ + =y 4 0

Tìm tọa độ điểm 'A đối xứng với điểm A qua đường thẳng ( )D

Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(- 2;0 ,) ( )B 1;1 và đường thẳng ( )D :x+3y- = 3 0

1) Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua A và tạo với 1 ( )D một góc 45 0

2) Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 2 2

II CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AC sao cho 1

4

AN= AC

Chứng minh rằng tam giác DMN vuông tại N

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ F là trung điểm của DI sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.

Bài 2 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên CD sao cho CN=2ND Chứng minh ·MAN=450

Gợi ý chứng minh

Cách 1: Chứng minh DADN ∽ AHMD ,từ đó sẽ suy ra được đpcm

Cách 2: Tính độ dài ba cạnh của tam giác AMN theo a (cạnh hình vuông).

Áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMN sẽ được đpcm.

Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC Các điểm , M K lần lượt là trung điểm của AH và DC Chứng minh rằng BM⊥KM.

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ E là trung điểm của BH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB=3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , M là trung điểm của HC Chứng minh rằng AM⊥BM

Gợi ý chứng minh

Gọi ,N I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường thẳng CD CA ,

Chứng minh tứ giác NAME là hình bình hành và E là trực tâm tam giác NBM sẽ suy ra được đpcm.

13

Bài 5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B

trên đường thẳng MD Chứng minh rằng AN CN⊥

Gợi ý chứng minh

Tứ giác BCND và tứ giác ABCN nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.

Bài 6 Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm đoạn AB I E, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC , trọng tâm tam giác ADC và G là giao điểm của AI và CD Chứng minh rằng DG IE⊥

Gợi ý chứng minh

Chứng minh G là trực tâm tam giác DEI

Bài 7 Cho hình vuông ABCD Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC Gọi I là giao điểm của,

CM và DN Chứng minh rằng AI = AD

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ P là trung điểm của DC sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.

Bài 8 Cho hình thang vuông ABCD µ(A D= =µ 900) và DC=2AB , H là hình chiếu của D trên đường chéo

AC , M là trung điểm của đoạn thẳng HC Chứng minh rằng BM MD⊥

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ E là trung điểm của DH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.

Bài 9 Cho hình thang vuông ABCD µ(A B= =µ 900) và BC=2AD , H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên cạnh CD , M là trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh rằng AH⊥MH

Gợi ý chứng minh

Tứ giác BDHM và tứ giác AHMD nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.

15

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R , phân giác trong của góc A cắt BC, ) tại D , tiếp tuyến tạI

A với đường tròn cắt BC tại E Chứng minh tam giác ADE cân tại E

Bài 11: Cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho

3

AN = NC Tính độ dài đoạn IN biết rằng MN = 10

Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O R , H là trực tâm tam giác, AH cắt BC tại K và cắt , )

đường tròn tại D Chứng minh K là trung điểm của HD

Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O R , , ) M N, là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C

Gọi I J, lần lượt là giao điểm của BM CN, với đường tròn Chứng minh AO^IJ

Bài 14: Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đường thẳng BD (M¹ B M, ¹ D) , H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB AD, Chứng minh rằng CM^HK

Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R , K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, AK cắt đường , )

tròn (O R tại D Chứng minh rằng DB DC DK, ) = =

III CÁC BÀI TOÁN THI CĐ - TSĐH NĂM 2014.

Bài 1 (CĐ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm ( 2;5) A − và đường thẳng ( ) : 3d x−4y+ =1 0 Viết phương trình

đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( ) d Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) d sao cho AM =5

Đáp án

Bài 2 (ĐH-K.D)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm

(1; 1)

D − Đường thẳng AB có phương trình 3 x+2y− =9 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC có phương trình x+2y− =7 0 Viết phương trình đường thẳng BC

Đáp án

Bài 3 (ĐH-K.B)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Điểm M( 3;0)− là trung điểm của cạnh AB ,

điểm (0; 1)H − l hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm 4;3

Bài 4 (ĐH-K.A)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN =3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và (2; 1)N −

Đáp án

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài toán tổng quát: Tìm điểm M Î D( ):ax by c+ + = thỏa điều kiện cho trước.0

+ Quan hệ song song, vuông góc

+ Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác

+ Tam giác đồng dạng

+ Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương

Chuyển tính chất hình học sang phương trình với ẩn m Giải phương trình tìm m®M

Phương pháp 2

B1 Xem điểm M là giao điểm của hai đường (đường thẳng, đường tròn)

B2 Lập phương trình các đường Giải hệ tìm M

Ví dụ 1 Cho điểm A 1;3(− ) và đường thẳng ∆ có phương trình x 2y 2 0− + = Dựng hình vuông ABCD sao chohai đỉnh B, C nằm trên ∆ và các tọa độ đỉnh C đều dương Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

Giải hệ này ta được: { 0

= (loại) Suy ra: C 2; 2 ( )

• Do ABCD là hình vuông nên: { D { D ( )

• Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên:AB.AC 0 c 1 4.9c 25 0 c 3

Vì I là trung điểm của BD nên: { B I D ( )

x 2x x 5 B 5;4

y ==2y −−y == ⇒4

• Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A 2;1 , B 5; 4 ,C 7; 2 , D 4; 1( ) ( ) ( ) ( − ).r

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2( − ) ( − ) và trọng tâm G thuộc đường thẳng3x y 1 0− + = Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3

AMB 60=

21

Bài giải

• (C) có tâm I 1;2(− ) và bán kính R= 5

• Theo giả thiết: · 0 · 1· 0

AMB 60 AMI AMB 30

• Vậy có hai điểm cần tìm là M1(−3; 2) và M 3; 4 r 2( )

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0; 2 và đường thẳng ( ) ( )d : x 2y 2 0− + = Tìm trên đường thẳng (d) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC=

Bài giải

• Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d)

• Phương trình đường thẳng ( )∆ qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0+ + =