Chuyên đề giải tích hình học tọa độ Oxy tập 1 (Nguyễn Phú Khánh)

Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 1.. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A 4; 2.. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 1.. Trong mặt phẳng toạ độ đề c

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY

2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ

+ Trong hệ trục tọa độ ( )O; i, j

nếu u
=xi yj
+
thì cặp số ( )x; y được gọi là tọa độ của vectơ u
, kí hiệu là u
=( )x; y hay u x; y
( ) x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ u

+ Trong hệ trục tọa độ ( )O; i, j

, tọa độ của vectơ OM
gọi là tọa độ của điểm

M, kí hiệu là M=( )x; y hay M x; y( ) x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M

Nhận xét: Gọi H, Klần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì M x; y( )

OM xi yj OH OK

⇔
=
+

= +

Như vậy OH
=xi, OK

=yj
hay x=OH, y=OK

3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác

+ Cho A(x ; y ), B(x ; y )A A B B và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm

2

+ +

=

4 Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ

Cho u (x; y)
= ;u' (x'; y')
= và số thực k Khi đó ta có :

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho A 2; 2 , B 5; 2( ) ( − Tìm trên trục hoành điểm C để ABC) ∆ vuông

2 Tìm trên trục hoành điểm A , cách B 2; 3( − , một khoảng bằng 5 )

3 Tìm trên trục tung điểm C cách điểm D(−8;13) một khoảng bằng 17

4 Tìm điểm M trên trục tung cách đều 2 điểm A(−1; 3) và B 1; 4 ( )

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A 4; 2 Tìm tọa ( )

độ điểm B sao cho

1 OAB là tam giác đều, (OA; OB

)=600

2 OAB là tam giác cân, (OA; OB

)=450

1 Tìm tọa độ trực tâm H của ABC∆ ;

2 Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ A

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho A 3; 0 và ( ) C(−4;1) là đỉnh đối nhau của hình vuông Tìm 2 đỉnh còn lại

2 Cho A 2; 1( − và ) B(−1; 3) là 2 đỉnh liên tiếp hình vuông Tìm 2 đỉnh còn lại

BI AC2

BI AC4

   

   

Vậy B 0; 4 hoặc ( ) B(− − ; 1; 3) D 0; 4 hoặc ( ) D(− − 1; 3)

2 Gọi C c; d là đỉnh đối diện ( ) A Ta có AB BC AB2 BC2( )II

2 2 c 3,d 6 C 3; 6

c 1 d 3 25II

TH2: C(−2; 2)⇒AB
=DC
⇒D(−1; 5)

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 2 điểm M 1;1 , N 7; 5 ( ) ( )

và đường thẳng ( )d : x y 8+ − = 0

1 Tìm điểm P∈( )d sao cho ∆PMN cân đỉnh P

2 Tìm điểm Q∈( )d sao cho ∆QMN vuông đỉnh Q

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ biết A 3;1 , ( )

B 1; 3( − trọng tâm G của ABC) ∆ nằm trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích ∆ABC bằng 3

Vậy, C 2; 2 hoặc ( ) C 3; 2 là tọa độ cần tìm ( )

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD biết

A 3;1 , B( ) (−2; 4) và giao điểm I của 2 đường chéo nằm trên Ox Hãy xác định tọa độ điểm C và D

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho tứ giác ABCD có A(−2;14 , B 4; 2 ,C 6; 2 , D 6;10) ( − ) ( − ) ( ) Tìm tọa độ M giao điểm 2 đường chéo AC và BD

2 Cho ∆ABC với A 3; 5 , B( ) (−5;1 ,C 5; 9) ( − Tính góc ) BAD , AD là trung tuyến

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A a; b và ( )

b 0; a 3( −b) với a, b≠ Tìm điểm C trên trục Ox sao cho ABC0 ∆ cân tại C Khi

đó chứng tỏ ABC còn là tam giác đều

Vậy ∆ABC là tam giác đều

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho 4 điểm A(− −2; 6 , B 4; 4 ,C 2; 2 , D) ( − ) ( − ) (− − Chứng minh rằng tam giác ABC 1; 3)

vuông và tứ giác ABCD là hình thang

2 Cho M 1;1 cosa , N 3; 4( − ) ( ) Tính OM,MN Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

y= cos a 2 cosa 22 − + + cos a 6 cosa 132 + +

Lời giải

OM 1 1 cosa cos a 2 cosa 2

MN 3 1 4 1 cosa cos a 6 cosa 13

Vì 0 1 cos a≤ − ≤ nên M di động trên 2 M M với 1 2 M 1; 0 ,M1( ) 2( )1; 2 và

y=OM MN ON+ ≥ ⇒min y=ON= 32+42 = khi : O,M,N thẳng hàng 5

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho ABC∆ có các đỉnh A 2; 6 , B( ) (− −3; 4 ,C 5; 0) ( ) Xác định tọa độ chân đường phân giác AD

2 cho ABC∆ có A 5; 4 , B( ) (−1;1 ,C 3; 2 ,M) ( − ) là điểm di động thỏa αMA
+ βMB 0
=
(α + β >2 2 0) Xác định M để MA MC
+
nhỏ nhất

5 21

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng

( )d : 2x y 2− + = và 2 điểm 0 A 4; 6 , B 0; 4( ) ( − Tìm trên đường thẳng ) ( )d điểm M sao cho vectơ : AM BM
+
có độ dài nhỏ nhất

Bài tập 1 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho A 1; 2 , B 3; 1( ) ( − và hình vuông ABCD theo chiều dương Tìm tọa độ đỉnh )

C, D

b Cho 2 điểm A 4; 3 , B 2; 5 Tìm trong mặt phẳng một điểm C để tam giác ABC ( ) ( )

là tam giác vuông cân

Bài tập 2 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho tam giác ABC có A 1; 1 ,( − ) B 5; 3( − và C Oy) ∈ , trọng tâm G của tam giác ở trên Ox Xác định tọa độ C và G

b Cho 4 điểm A 3; 2 , B 7; 4 ,C 4; 5 , D 2; 4 Chứng minh ABCD là hình thang ( ) ( ) ( ) ( )

vuông Tính chu vi và diện tích ABCD

Bài tập 3 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm

( )

A −3; 2 , B 4; 3 ( )

a Tìm điểm M Ox∈ sao cho ∆MAB vuông tại M

b Gọi C là điểm nằm trên Oy và G là trọng tâm ABC∆ Tìm tọa độ điểm C , biết G nằm trên Ox

Bài tập 4 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 2 điểm B 2;1 ,C 6;1 ( ) ( )

a Tìm điểm A x; y , x( ) ( >0, y>0) sao cho tam giác ABC đều

b Tìm A' đối xứng với A qua C

c Tìm tọa độ điểm D sao cho AD 3BD 4CD
− 
+ 
=0

d Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành Xác định tâm của nó

Bài tập 5 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tứ giác ABCD có

a Tìm tọa độ đỉnh của tam giác ABC

b Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ; chứng mình G cũng là trọng tâm của tam giác MNP

Bài tập 7 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 3 điểm

( ) ( )

A 1; 2 , B 2; 3 ,− C(− − Tìm điểm D trên Oy sao cho ABCD là hình thang có 1; 2)

cạnh đáy là AD Tìm giao điểm I của 2 đường chéo

Bài tập 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 4 điểm A(− −2; 3 ,)

( )

B 4; 1 ,− C 2;1 , D( ) (−1; 0)

a Chứng minh ABCD là hình thang

b Tìm giao điểm của AB với Ox

c Tìm điểm M trên đường thẳng CD , biết yM= Khi đó ABMD là hình gì ? 2

d Tìm giao điểm của AC và BD

Bài tập 9 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ , biết A 4; 6 , ( ) ( ) ( )

B −4; 0 ,C − − 1; 4

a Tìm tọa độ trực tâm H , trọng tâm G , tâm I và bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC

∆

b Kẻ đường cao AD Tìm tọa độ D

c Tìm độ dài trung tuyến BE

Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A(−2; 3 ,) B 2; 5 ( )

Đỉnh C nằm trên đường thằng x 3y− = Tâm 5 I 1; 2 đường tròn ngoại tiếp tam ( )

a Chứng minh A, B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b Tìm tọa độ chân đường cao A' xuất phát từ A

c Tính tọa độ trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của tam giác ABC Có nhận xét gì

về điểm G,H,I ?

Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A 0; 4 , và ( )

đường thẳng y= Tìm trên đường thẳng y 08 = điểm B x ; 0 và trên đường thẳng ( B )

y= điểm 8 C x ; 8 sao cho AB AC( C ) = và tam giác ABC có diện tích bằng 24

Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, 3 điểm

( ) ( ) ( )

A 3; 5 , B 1; 2 ,C 5;1

a Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tìm chân đường cao A' của AA'

b Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Chứng minh G,H,I thẳng hàng

Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 3 điểm A 3;1 , ( ) ( )

B − −1; 1 , C 6; 0 Tìm tọa độ đỉnh D của hình thang cân cạnh đáy AB,CD ( )

Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho 2 điểm A a; 0 ,C 2a; 3a Đường thẳng đi qua ( ) ( ) A và vuông góc với AC cắt đường thẳng x 2a+ = tại điểm B Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân 0

b Cho 2 đường thẳng 3x 4y 6− + = và 4x 3y 9 00 − − = Tìm một điểm M trên trục

Oy cách đều 2 đường thẳng ấy

c Cho ∆ABC với A 1; 3 , B 0;1 ,C( ) ( ) (− − Tìm tọa độ chân đường cao H kẻ từ A 4; 1)

d Tìm tọa độ A, B , biết đường thẳng ( )d đi qua M(−4; 3) và cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B thỏa AM : MB

=3 : 5

Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho 3 điểm A 2; 3 , B( ) (−1; 4 ,C x; 2) ( − Xác định hoành độ của điểm C để tổng )

a Tìm trên ( )∆ một điểm M để tổng MA MB+ có độ dài nhỏ nhất

b Tìm trên ( )∆ một điểm N để tổng NA NC+ có độ dài nhỏ nhất

Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Trên đường thẳng x 2y 10 0− + = , tìm điểm M sao cho AM BM
+
có độ dài nhỏ nhất, với A 6; 5 , B( ) (−4; 5)

b Cho A 1; 2 , B 2; 4 Tìm trên trục hoành điểm ( ) ( ) P sao cho (AP PB+ ) nhỏ nhất

c Cho đường thẳng ( )d : x 2y 2− + = và 0 A 0; 6 , B 2; 5 Tìm trên ( ) ( ) ( )d điểm M sao cho MA MB− lớn nhất; (MA MB+ ) nhỏ nhất

Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A 1; 6 , B( ) (− − và 3; 4)

đường thẳng ( )∆ : 2x y 1 0− − = Tìm điểm M trên ( )∆ sao cho vectơ : AM BM
+
có

độ dài nhỏ nhất

Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ( )∆ : 2x y 1 0+ + = ,

( ) ( )

M 0; 3 ,N 1; 5

a Tìm I ∈ ∆ sao cho : (IM IN min+ )

b Tìm J ∈ ∆ sao cho : JM JN max−

Bài tập 22 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng

a Tìm trên ( )T điểm D sao cho 4 điểm A, B,C, D lập thành hàng điểm điều hòa

b TÌm điểm M trên ( )T sao cho EM FM
+
có độ dài nhỏ nhất

Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho 2 điểm A 1; 3 , B 5; 1( − ) ( − Tìm M trên Ox sao cho AM BM) + ngắn nhất

b Tìm trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm A 1; 2 , B 3; 4 là ( ) ( )

a Tìm tọa độ chân đường phân giác trong AD của góc A Tính độ dài AD

b Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

a Cho tam giác ABC với A 1; 5 , B( ) (− −4; 5 ,C 4; 1) ( − Tìm tọa độ chân đường phân )

giác trong và ngoài góc A Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC∆

b Cho điểm A 4; 3 , B 3;1( − ) ( ) Tìm điểm M trên trục Ox sao cho AMB

4

π

=

c Cho các điểm A 2;1 , B 0;1 ,C 3; 5 , D( ) ( ) ( ) (− − Tính tọa độ các đỉnh hình vuông 3; 1)

có 2 cạnh song song đi qua A và C , 2 cạnh song song còn lại đi qua B và D , biết rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dương

Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ có A(−3; 6 ,)

( )

B 1; 2− Đỉnh C có tọa độ thỏa xC−2yC = Tâm đường tròn ngoại tiếp là 0 I 1; 3 ( )

Tìm tọa độ đỉnh C và bán kính nội tiếp ABC∆

Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC, A 1; 6 ,( )

* ∆ABC vuông cân tại B⇔C 0; 3 ,C' 4; 7( ) ( )

Bài tập 2 a Gọi G x; 0 ,C 0; y Trung điểm ( ) ( ) I của AB : ⇒I 3; 2( − )




33y y y y 0 2 3 y y 5

2A'

y yy

Gọi I là tâm hình bình hành ABCM khi I là trung điểm AC

x 4 x 1 y 4 y 6 0 y 3 xAD.CD 0

Cách khác : Do ∆ABC vuông tại B , nên D≡ B

c E là trung điểm BC nên E 3;1 ; E I

2 7

3 G ;

7 3 3y

Trực tâm H : ( )

( HH ) ( H )

6 y 3 0AH.BC 0

4 x 2 4 y 5 0BH.AC 0

4 7

y y y 7 3 3y

AB x ; 4 , AC x ; 4 S 24 x x 24

x 42

B C

B' 6; 0C' 6; 8

23x