Đề cương môn giải tích 1 – MI1113

Nội dung: Chương 1, chương 2 đến hết tích phân bất định của các hàm phân thức hữu tỉ.. Tìm hàm ngược của hàm số 1... Chứng minh rằng bất kỳ hàm số fx nào xác định trong một khoảng đối xứ

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học

ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62

1) Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút

Nội dung: Chương 1, chương 2 đến hết tích phân bất định của các hàm phân thức hữu tỉ

2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút

Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến số 1.1-1.4 Dãy số, hàm số

1 Tìm tập xác định của các hàm số

a) y =plog(tan x)4

b) y = arcsin 2x

1 + x c) y =

√

x sin πx

d) y = arccos (sin x) e) y = arcsin(sin x) f) y = sin(arcsin x)

2 Tìm miền giá trị của hàm số

a) y = lg (1 − 2 cos x)

b) y = arcsinlg x

10



c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(ex)

3 Tìm f(x) biết

a) f



x+ 1

x



= x2 + 1

 x

1 + x



= x2

4 Tìm hàm ngược của hàm số

1

a) y = 2x + 3

b) y = 1 − x

2(e

x

− e−x)

5 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số

a) f(x) = ax+ a−x(a > 0)

b) f(x) = ln x +√

1 + x2

c) f(x) = sin x + cos x d) f(x) = arcsin x

6 Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f(x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ

7 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)

a) f(x) = A cos λx + B sin λx

b) f(x) = sin(x2)

c) f(x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x

d) f(x) = cos2x e) f(x) = cos x + cos x√

2 f) f(x) = sin x + sin x√

2

1.5-1.6 Giới hạn hàm số

8 Tìm giới hạn

a) lim

x →1

x100 − 2x + 1

(xn

− an

) − nan −1(x − a)

n∈ N

9 Tìm giới hạn

a) lim

x →+∞

q

x+px + √x

√

x+ 1 b) lim

x →+∞

3

√

x3 + x2 − 1 − x

c) lim

x →0

m

√

1 + αx − √n

1 + βx x

d) lim

x →0

m

√

1 + αx√n

1 + βx − 1

10 Tìm giới hạn

a) lim

x →a

sin x − sin a

x− a b) lim

x+ 1 − sin√x

c) lim

x →0

√ cos x −√3

cos x sin2x

d) lim

x →0

1 − cos x cos 2x cos 3x

11 Tìm giới hạn

a) lim

x →∞

 x2 − 1

x2 + 1

x−1x+1

b) lim

x →0 +(cos√

x)1x

c) lim

x →∞[sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)]

d) lim

n →∞n2(√n

x− n+1√

x) , x > 0

12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không?

α(x) =

q

x+√

x và β(x) = esin x

− cos x 1.7 Hàm số liên tục

13 Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

a) f(x) =







1 − cos x

x2 , nếu x 6= 0,

b) g(x) =







ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0,

acos x + b sin x, nếu x < 0

14 Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số

1 − 2cot x b) y = sin

1 x

ax

− ebx

(a 6= b) 1.8 Đạo hàm và vi phân

3

15 Tìm đạo hàm của hàm số

f(x) =















1 − x, nếu x < 1, (1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,

x− 2, nếu x > 2

16 Với điều kiện nào thì hàm số

f(x) =







xnsin 1

x, nếu x 6= 0,

(n ∈ Z)

a) Liên tục tại x = 0

b) Khả vi tại x = 0

c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0

17 Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số liên tục và ϕ(a) 6= 0, không khả vi tại điểm x = a

18 Tìm vi phân của hàm số

a) y = 1

a arctanx

a,(a 6= 0) b) y = arcsinx

a,(a 6= 0)

c) y = 1

2aln

x− a

x+ a

,(a 6= 0) d) y = ln

x+√

x2 + a

19 Tìm

a) d

d(x2)

 sin x

x



b) d(sin x)

d(x3) x

3 − 2x6 − x9

20 Tính gần đúng giá trị của biểu thức

a) log 11

b) r 2 − 0.027

2 + 0.02

21 Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số

a) y = x

2

1 − x, tính y

(8)

b) y = √1 + x

1 − x, tính y

(100)

c) y = x

2

1 − x, tính y

(8)

d) y = x2sin x, tính y(50)

22 Tính đạo hàm cấp n của hàm số

a) y = x

x2 − 1

x2 − 3x + 2

c) y = √3 x

1 + x d) y = eaxsin(bx + c)

1.9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng

23 Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ

24 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f(b) − f(a)

g(b) − g(a) =

f′(c)

g′(c) không

áp dụng được đối với các hàm số

f(x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1

25.Chứng minh bất đẳng thức

a) |sin x − sin y| ≤ |x − y| b) a− b

a < lna

b <

a− b

b ,0 < b < a

26 Tìm giới hạn

a) lim

x →+∞

q

x+px + √x −√x



b) lim

x →1



x

x− 1 −

1

ln x



c) lim

x →∞

e1x − cos1x

1 −

q

1 − x12

d) lim

x →0

exsin x − x(1 + x)

x3

e) lim

x →1tan πx

2 ln(2 − x)

f) lim

x →0 1 − atan2x

1

x sin x

g) lim

x →1 −

tan π2x ln(1 − x) h) lim

x →0(1 − cos x)tan x

5

27 Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0

f(x) = 1

sin3x − x13 − xa2 − xb

28 Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f′′(x) trên (a, b) Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f(x) − f(a) − f(b) − f(a)

b− a (x − a) =

(x − a)(x − b)

′′(c)

29 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

30 Chứng minh bất đẳng thức

a) 2x arctan x ≥ ln 1 + x2
với mọi x ∈ R

b) x − x2

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0

31 Tìm cực trị của hàm số

a) y = 3x

2 + 4x + 4

x2 + x + 1

b) y = x − ln(1 + x)

c) y = 3

p(1 − x)(x − 2)2

d) y = x23 + (x − 2)23 1.10 Giới thiệu các dạng đường cong

32 Khảo sát hàm số

a) y = 2 − x2

1 + x4

b) y =√3

x3 − x2 − x + 1

c) y = x

4 + 8

x3 + 1

d) y = x− 2

√

x2 + 1

e)







x = 2t

1 − t2

y = t

2

1 + t f)







x = 2t − t2

y = 3t − t3 g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b)

h) r = √ a

cos 3ϕ,(a > 0)

7

Chương 2 Phép tính tích phân hàm một biến số 2.1 Tích phân bất định

1 Tính các tích phân

a) R



1 − x12

 px√xdx b) R |x2 − 3x + 2|dx

x√

x2 + 1

(x2 − 1)3/2

(x + 2)(x + 5)

(x + a)2(x + b)2 g) R sin x sin(x + y)dx

h) R 1 + sin x

sin2x dx

2 Tính các tích phân

a) R arctan xdx

√

x2 − 5x + 6dx

√

x2 + x + 2

d) R x√

−x2 + 3x − 2dx

(x2 + 2x + 5)2 f) R sinn −1xsin(n + 1)xdx g) R e−2xcos 3xdx

h) R arcsin2xdx

3 Lập công thức truy hồi tính In

a) In = R xnexdx

b) In = R dx

cosnx 2.2 Tích phân xác định

4 Tính các đạo hàm

a) d

dx

y

R

x

dy

y

R

x

dx

x 3

R

x 2

dt

√

1 + t4

5 Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn

a) lim

n →∞



1

nα+ β +

1

nα+ 2β + · · · + 1

nα+ (n − 1)β

 ,(α, β > 0)

b) lim

n →∞

1

n

r

1 + 1

n +

r

1 + 2

n + · · · +

r

1 + n n

!

6 Tính các giới hạn

a) lim

x →0 +

sin x

R

0

√ tan tdt

tan x

R

0

√ sin tdt

b) lim

x →+∞

x

R

0

(arctan t)2dt

√

x2 + 1

7 Tính các tích phân sau

a)

e

R

1/e

|ln x| (x + 1) dx

b) Re

1

(x ln x)2dx

c)

3π/2

R

0

dx

2 + cos x

d) R3

0

sin2xcos x (1 + tan2x)2dx

e) R3

0

arcsin

r x

1 + xdx f)

π/2

R

0

cosnxcos nxdx

8 Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [0, 1] thì

a)

π/2

R

0

f(sin x)dx =

π/2

R

0

f(cos x)dx b) Rπ

0

xf(sin x)dx =

π

R

0

π

2f(sin x)dx.

9 Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b] Khi đó f2(x), g2(x) và

f(x).g(x) cũng khả tích trên [a, b] Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)

b

R

a

f(x)g(x)dx

!2

≤

b

R

a

f2(x)dx

!

b

R

a

g2(x)dx

!

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)

2.3 Tích phân suy rộng

10 Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau

9

a) R0

−∞

xexdx

b) +∞R

0

cos xdx

c) +∞R

−∞

dx (x2 + 1)2

d) R1

0

dx px(1 − x).

11 Xét sự hội tụ của các tích phân sau

a) R1

0

dx

tan x − x

b) R1

0

√

xdx

esin x − 1

c) R1

0

√

xdx

√

1 − x4

d) +∞R

1

ln (1 + x) dx

x

e) +∞R

1

dx

√

x+ x3

f) +∞R

0

x2dx

x4 − x2 + 1

12 Nếu +∞R

0

f(x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) → 0 khi x → +∞ không?

Xét ví dụ +∞R

0

sin x2
dx

13 Cho hàm f(x) liên tục trên [a, +∞) và limx

→+∞f(x) = A 6= 0 Hỏi

+∞

R

a

f(x)dx có hội tụ không

2.4 Ứng dụng của tích phân xác định

14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0

b) Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)

c) Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x, (y2 ≤ x)

d) Đường y2 = x2 − x4

15 Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y2 ≤ a2

và y2 + z2 ≤ a2,(a > 0)

16 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y2, các mặt

phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a 6= 0).

17 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 và y = 0

a) Quanh trục 0x một vòng b) Quanh trục 0y một vòng

18.Tính độ dài đường cong

a) y = lne

x+ 1

ex− 1 khi x biến thiên từ 1 đến 2.

b)







x= a

 cos t + ln tan t

2



y = a sin t

khi t biến thiên từ π

3 đến π

2 (a > 0).

19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau

a) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π2 quay quanh trục 0x

b) y = 1

3(1 − x)3,0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x

11

Chương 3 Hàm số nhiều biến số 3.1 Các khái niệm cơ bản

1 Tìm miền xác định của các hàm số sau

px2 + y2 − 1

b) z = p(x2 + y2 − 1) (4 − x2 − y2)

c) z = arcsiny − 1

x d) z = √

xsin y

2 Tìm các giới hạn nếu có của các hàm số sau

a) f(x, y) = x

2 − y2

x2 + y2, (x → 0, y → 0) b) f(x, y) = sin πx

2x + y, (x → ∞, y → ∞) c) f(x, y) = x3 − y3

x2 + y2, (x → 0, y → 0)

d) f(x, y) = 1 − cospx2 + y2

x2 + y2 , (x → 0, y → 0)

3.2 Đạo hàm riêng và vi phân

3 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau

a) z = lnx+px2 + y2

b) z = y2sinx

y c) z = arctan

s

x2 − y2

x2 + y2

d) z = xy 3

,(x > 0)

e) u = xy z

,(x, y, z > 0)

f) u = ex2+y2+z21

4 Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của hàm số f(x, y) sau

a) f(x, y) =







xarctany

x

2

, nếu x 6= 0,

b) f(x, y) =









xsin y − y sin x

x2 + y2 , nếu (x, y) 6= (0, 0),

5 Giả sử z = yf(x2 − y2), ở đây f là hàm số khả vi Chứng minh rằng đối với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn

1

xzx

′ + 1

yzy

′ = z

y2

6 Tìm đạo hàm riêng các hàm số hợp sau đây

a) z = eu 2

−2v 2

, u = cos x, v = px2 + y2

b) z = ln u2 + v2
, u = xy, v = x

y c) z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3

7 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

a) z = sin(x2 + y2)

b) z = ln tany

x

c) z = arctanx+ y

x− y d) u = xy 2 z

8 Tính gần đúng

a) A = 3

q

(1, 02)2 + (0, 05)2 b) B = ln √3

1, 03 +√4

0, 98 − 1

9 Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau

a) x3y − y3x = a4, tính y′

b) x + y + z = ez, tính zx ′, zy ′

c) arctanx+ y

a, tính y′

d) x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, tính zx ′, zy′

13

10 Cho u = x+ z

y + z, tính ux ′, uy ′ biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi phương trình zex = xex+ yey

11 Tìm đạo hàm của hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ







x+ y + z = 0

x2 + y2 + z2 = 1

12 Phương trình z2+ 2

x = py2 − z2, xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh rằng

x2zx ′+ 1

yzy

′ = 1

z.

13 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau

a) z = 1

3

q

(x2 + y2)3 b) z = x2ln(x + y) c) z = arctan y

x 3.3 Cực trị của hàm số nhiều biến số

14 Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau

2(x2 + y2)

15 Tìm cực trị của các hàm số sau

a) z = x2 + xy + y2 + x − y + 1

b) z = x + y − xey

c) z = x2 + y2 − e−(x2+y2) d) z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2

16 Tìm cực trị có điều kiện

a) z = 1

x + 1

y với điều kiện 1

x2 + 1

y2 = 1

a2

b) z = xy với điều kiện x + y = 1

17 Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số

a) z = x2y(4 − x − y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng

x = 0, y = 0, x + y = 6

b) z = sin x+sin y +sin(x+y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = π

2, y = 0, y =

π

2 3.4 Tích phân kép

18 Tính các tích phân sau

a) RR

D

xsin (x + y) dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 π

2,0 6 x 6 π

2 b) I =RR

D

x2(y − x) dxdy, D giới hạn bởi y = x2 và x = y2

19 Đổi thứ tự lấy tích phân

a) R1

−1

dx 1−x

2

R

−√1−x 2

f (x, y) dy

b) R1

0

dy

1+√

1−y 2

R

2−y

f (x, y) dx

c) R2

0

dx

√

2x

R

√

2x−x 2

f (x, y) dx

d)

√

2

R

0

dy

y

R

0

f (x, y) dx+

2

R

√ 2

dy

√

4−y 2

R

0

f (x, y) dx

20 Tính các tích phân sau

a) RR

D

dxdy

(x 2 +y 2 )2, trong đó D :







4y 6 x2 + y2 6 8y,

x 6 y 6 x√

3

b) RR

D

q

1−x 2 −y 2

1+x 2 +y 2dxdy trong đó D : x2 + y2 6 1

15

c) RR

D

xy

x 2 +y 2dxdy trong đó D :





















x2 + y2 6 12

x2 + y2 > 2x

x2 + y2 > 2√

3y

x > 0, y > 0

Chương Phép tính tích phân hàm biến số 2 .1 Tích phân bất định

1 Tính tích phân

a) R



1 − x1< /sup>2

 px√xdx b)...

dx (x2 + 1) 2

d) R1< /sup>

0

dx px (1 − x).

11 Xét hội tụ tích phân sau

a) R1< /sup>

0...

11

Chương Hàm số nhiều biến số 3 .1 Các khái niệm

1 Tìm miền xác