Đáp án đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc và cách giải đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Tài liệu hữu ích cho các các bạn sinh viên đang theo học môn này và những ai quan tâm đến môn học này dùng làm tài liệu tham khảo
Trang 1Câu 1 +) Điều kiện xác định: − ≤1 2x 1 1+ ≤ , +) ⇔ − ≤ ≤1 x 0 Tập xác định D = −[ 1, 0]
1 cos2x
x f x x
x
−
= = +) Hàm số liên tục tại x =0
0
(0) lim ( ) 2
x
→
Câu 3 Khi x→0+: +) ( )α x = x3+x2 ~x, +) β( )x =(esinx− + −1) (1 cos2x), s inx
1 ~ s inx ~
2
1 cos2x ~ 2x− ⇒β( ) ~x x Vậy α( ) ~x β( )x
x
− −
+) Xét dấu f '( )x ta có f x( ) đạt cực đại 1 tại x = −1
∫ ∫ ,+) I = −ln |x+2 | 2 ln |+ x+3 |+C
Câu 6 +) '
3
3
3
x
x f
x
+
−
'
3
(2 )(3 )
3
x
f
x
−
(3) (3) (3) 1
Câu 7 +) lim 3( 2) ln( 2) 3 lim 3( 2) ln( 2)2 3,
I
' 3
ln( 2) 1 lim
2( 3) 2
L x
x x
→
−
−
Câu 8 +)
2
arcsin arcsin
1
xdx
x
−
Câu 9 +) Xét g x( ) f 1 ,x (0,1]
x
, (0) : lim ( )0 lim ( ) (1) (0) (1)
x x
→+∞
→
+) g x( ) thỏa mãn định lí Rolle trên [0,1] nên ∃ ∈x0 (0,1) | g x'( 0)=0,đặt
0
1
c x
= ta có f c ='( ) 0
Câu10.+)∀ ∈ ℝx0 , f x( )− f x( 0) ≤ −x x0 sin(x−x0) ,∀ ≠x x0
x x
+ ) f '≡ ⇒ =0 f const
(thỏa mãn)
Thang điểm: mỗi dấu +) là 0,5 điểm
Trang 2Câu 1 +) Điều kiện xác định: − ≤ −1 1 2x≤1, +) ⇔ ≤ ≤0 x 1 Tập xác định D =[0,1]
1 cos4x
x f x x
x
−
= = +) Hàm số liên tục tại x =0
0
(0) lim ( ) 8
x
→
Câu 3 Khi x →0: +) ( )α x = 3x4+x3 ~x, +) tan x
( )x (e 1) (1 cos4x)
1 ~ tan x ~
2
1 cos4x ~ 8x− ⇒β( ) ~x x Vậy α( ) ~x β( )x
x
+
+) Xét dấu f'( )x ta có f x( ) đạt cực tiểu −2 tại x = −2
∫ ∫ ,+) I = −ln |x+3 | 2 ln |+ x+4 |+C
Câu 6 +) '
4
4
4
x
x f
x
+
−
'
4
(3 )( 4)
4
x
x x f
x
−
Câu 7 +) lim 2( 1) ln( 1) 2 lim 2( 1) ln( 1)2 2,
I
' 2
ln( 1) 1 lim
2( 2) 2
L x
x x
→
−
−
Câu 8 +)
2
arccos arccos
1
xdx
x
−
arccos 1
Câu 9 +) Xét g x( ) f 1 2 ,x [ 1, 0)
x
, (0) : lim ( )0 lim ( ) (1) (0) ( 1)
x x
→−∞
→
+) g x( ) thỏa mãn định lí Rolle trên [ 1,0]− nên ∃ ∈ −x0 ( 1, 0) | g x'( 0)=0, ta có
0
1 '( 2) 0
f
0
0
x x
x x
−
→
+ ) f '≡ ⇒ =0 f const
(thỏa mãn)
Thang điểm: mỗi dấu +) là 0,5 điểm
Trang 3Câu 1 +) 5, 2x 3 3 5 , 1
y
y
,
x
x
Câu 2
) lim ( ) 0, lim ( ) 1
lim ( ) lim ( )
2
π
Câu 3 +) ( 3x)(5) 3x (5) 1 3x (4)
5 ( ) ( ) '( )
3 xe 5.3 e
( ) 2 arctan ln(1 ), 0
f x = x x− +x x≥ , f '( )x =2 arctanx>0,∀ >x 0
+) ⇒ f x( ) đồng biến khi x ≥0 ⇒ f x( )≥ f(0)= ∀ ≥0, x 0
Câu 5 +) cot cot ln cos lim cot ln cos 0
lim(cos ) x lim x x x x x
+)
'
2
1
t anx
cos
L
x
−
2
arctan(2 ) arctan(2 ) , ) arctan(2 ) ln(1 4x )
+
Câu 7 +)
2
Câu 8 +) 2x 2 1 - 2 + 1 2 , ) - 1 -2ln|x+2|- 1 +2ln|x+3|+C
d
dx
1
x
−
(1 x ) ''y xy' n 0 (1 x )y n+ n.2x.y n+ n n( 1)y n x y n+ ny n 0
Câu 10
+) Phản chứng, giả sử có x >0 0 sao cho f'(x0)>0 Do f ''( )x ≥0 nên f'( )x ≥ f '(x0),∀ >x x0 +) Theo Lagrange: ( , ) | ( )0 ( )0 '( )( 0) ( )0 '( )(0 0) 1
x
→+∞
Thang điểm: mỗi dấu +) là 0,5 điểm
Trang 4Câu 1 +) 6, 3x 4 4 6 , 3
y
y
,
x
x
−
Câu 2
) lim ( ) 0, lim ( ) 1
x + f x x − f x
lim ( ) lim ( ) 0
x + f x x − f x x
Câu 3 +) ( 2x)(6) 2x (6) 1 2x (5)
6 ( ) ( ) '( )
2 xe 6.2 e
Câu 4 +) Xét hàm số x−ln(x+1),x≥0 '( ) 1 1 0
x
f x
+) ⇒ f x( )đồng biến, f x( )≥ f(0)= ∀ ≥0, x 0.
2
lim(sin ) x x
π
→
lim tan ln sin tan ln sin
2
x x
x x x
π
π
→
→
2
1 cotx
sin
L
x
2
arctan(3 ) arctan(3 ) , ) arctan(3 ) ln(1 9x )
+
Câu 7 +)
i
3
n
− −
Câu 8 +) 2x 2 1 - 2 + 1 2 , ) - 1 -2ln|x+3|- 1 +2ln|x+4|+C
d
dx
1
x
−
(1 x ) ''y xy' n 0 (1 x )y n+ n.2x.y n+ n n( 1)y n x y n+ ny n 0
Câu 10
+) Phản chứng, giả sử có x <0 0 sao cho f'(x0)<0 Do f ''( )x ≥0 nên f'( )x ≤ f '(x0),∀ <x x0
+) Theo Lagrange: ( , 0) | ( ) ( )0 '( )( 0) ( )0 '( )(0 0) 1
x
→−∞
Thang điểm: mỗi dấu +) là 0,5 điểm