Đề thi Toán chuyên hà tĩnh

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Giải phương trình cos3x+2sin 2x−cosx=0.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm tr

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ TĨNH

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= x3−3x2+2 (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( )C có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với ( ) C tại M

song song với đường thẳng d y: =(m2+5)x+3m+1

Câu 2 (1,0 điểm)

a Giải phương trình cos3x+2sin 2x−cosx=0

b Giải phương trình 5x+51−x − =6 0

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:

1

2

0

I =∫ x+e xdx

Câu 4 (1,0 điểm)

3

2 log (4x− +3) log (2x+ =3) 2

b Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n1 =C n3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai 5

triển nhị thức Niutơn của (2+x) n

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC=a 3. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD )

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có N là trung ,

điểm của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là 13 x−10y+ =13 0; điểm M( 1; 2)−

thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC =4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C Tìm tọa độ

các đỉnh A B C D biết rằng 3, , , , AC=2AB và điểm H thuộc đường thẳng ∆: 2x−3y=0

Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , A( 2;1;5)− , mặt phẳng ( ) : 2P x−2y+ − =z 1 0 và đường thẳng 1 2

Tính khoảng cách từ A đến

( )P Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua A , vuông góc với ( ) P và song song với d

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3

x y R

 + − − + − + + =



∈



− − − − + =



Câu 9 (1,0 điểm) Cho a là số thực thuộc đoạn [1;2] Chứng minh rằng

(2a+ +3a 4 )(6a a+ +8a 12 )a <24a+1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ TĨNH

THI THỬ THPT QG LẦN 1 NĂM 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN

Ta có y=x3− 3x2 + 2

+) Tập xác định: R

+) Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: y' = 3x2− 6x, 





=

=

⇔

=

2

0 0

'

x

x y

0,25

Giới hạn, tiệm cận:

= −∞

−∞ → y xlim , = +∞ +∞ → y xlim Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 2), cực tiểu tại (2; 2)−
Hàm số đb trên mỗi khoảng (−∞;0); (2;+∞), nghịch biến trên (0; 2) 0,25
Bảng biến thiên: 0,25 1.a Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0; 2) (0; 2) 0,25 Ta có M( 1; 2).− − 0,25 Pttt của (C) tại M là ∆: y= y/( 1)(− x+ −1) 2 hay ∆: y=9x+7 0,25 1.b 2 2 5 9 / / 2 2 3 1 7 m m d m m m = ±  + =  ∆ ⇔ ⇔  ⇔ = − ≠ + ≠   0,5 2.a cos3x+2sin 2x−cosx= ⇔0 2sin 2 (1 sin )x − x =0 0,25 x −∞ 0 2 +∞

y' + 0 - 0 +

y 2 +∞

-2

−∞ y 2

2

O 1 x

-2

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học

2 2

x k x

x

π



=



=



⇔ ⇔ 

=

0,25

5x+5−x − = ⇔6 0 5 x −6.5x+ =5 0 0,25

2.b

0

x

x

x x

⇔

=

= 



0,25

1

2 1

1

I x e xdx x dx xe dx I I

x

I x dx

= = =

∫

0,5

Đặt

2 x

u x

dv e dx

=





=

 Ta có

2

2

x

du dx e v

=







=





0.25

3

1

1

2

12

e

I = +

0,25

4

x

x

−

4.a

2

⇔ − − = ⇔ = hoặc 3

8

x= −

Đối chiếu ĐK ta được nghiệm x=3 0,25

ĐK:n∈N*,n≥3.Ta có 5C1n =C n3 ⇔n2−3n−28= ⇔ =0 n 7 hoặc n= −4(Loại) 0,25

4.b

7

7 0

k

=

+ =∑ Sh chứa x5 ứng với k=5 Hệ số của x5 là C7522 =84 0,25

B

C

D A

S

H K J

Kẻ SH ⊥ AC H( ∈AC)

Do (SAC)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)

;

2

SA SC a

AC

2

2 2

ABCD

AC BD

3 2

S ABCD ABCD

0,5

5

2

a

AH = SA −SH = ⇒CA= HA⇒d C SAD = d H SAD

Do BC//(SAD)⇒d B SAD( , ( ))=d C SAD( , ( ))=4 (d H SAD, ( ))

Kẻ HK ⊥ AD K( ∈AD HJ), ⊥SK J( ∈SK)

0,5

www.DeThiThuDaiHoc.com

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học

Cm được (SHK)⊥(SAD) mà HJ ⊥SK ⇒HJ ⊥(SAD)⇒d H SAD( , ( ))=HJ

∆AHK vuông cân tại K 0 2

sin 45

4

a

2 7

HJ

7 7

269

+

(3 ; 2 )

H∈ ∆ ⇔ H a a

I

G

C D

H N

M

0,25

6

Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN Ta thấy G là trọng tâm ∆BCD

AM = AC⇒MG = AC⇒CG= MG

1

a

− +

19

a= −

Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên H(3; 2)

0,25

CM = = = = =CN =CH ⇒∆MHN vuông tại M

MH có pt y− =2 0⇒MN x: + =1 0⇒ N( 1;0)− ⇒C(1;1), D( 3; 1)− −

0,25

CM



= MA


⇒ A − ⇒I − ⇒ B

Vậy 5 7 7 13

( , ( ))

3

(P) có vtpt là n

p =(2; 2;1)−

, d có vtcp là u

d=(2;3;1)

, [n u

p,

d]=(−5;0;10)

0,25

7

Theo giả thiết suy ra (Q) nhận 1

[ , ]=(1;0;-2)

n= − n u







làm vtpt

ĐK: y2− ≥2 0; xy2−2x− ≥2 0

x + y − −y x + −y + + = ⇔y x + −y y + x + − =

2

0 2

2

y

≥



= + ⇔

= +

y + x + − > ∀x y)

0,5

8

Thay y2 =x2+2vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK: x≥ 3 2 0,25 www.DeThiThuDaiHoc.com

www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học

2

3

2

3

3

3

1

x x

x

− − − + = ⇔ − − + − = − −

=







Ta thấy

2

3

x

+ + + > ⇔ + − > − ⇔ + − > −

− +

⇔ + + − + > ∀

( )

3

3

3

x

+ + + < ⇔ − + − + >

− + − +

Đặt t = 3 x2−1,t >0 Khi đó (**) trở thành

t + + >t t + ⇔ t + +t > + ⇔ +t t t + t + >t Đúng∀ >t 0

Suy ra (*) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3; 11)

0,25

a a a

a a a

Do a∈[1;2]⇒2≤2a ≤4; 3≤3a ≤9; 4≤4a ≤16

Với x∈[2;16], ta có

− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ −

0,25

9

Từ đó suy ra 1 1 1

a a a

a + a + a < − + +

1 1 1 54 (2 3 4 )

a a a

a a a

− + +

⇔ + + <

Khi đó

24

a a a

a a a

+ + + + <

 + + + + + 

0,5

www.DeThiThuDaiHoc.com