Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a= 3.
Trang 1www.DETHITHU.NET – FB.com/Dethithu.net 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 1 NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x = − 3 3 x2+2 (1)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( ) C có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến với ( ) C tại M
song song với đường thẳng d y : = ( m 2+ 5) x + +3 m 1
Câu 2 (1,0 điểm)
a Giải phương trình cos3 x + 2sin 2 x − cos x=0
b Giải phương trình 5 x + 5 1−x − =6 0
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân:
1
2
0 ( x)
I = ∫ x e + xdx
Câu 4 (1,0 điểm)
a Giải phương trình 3 1
3
2 log (4 x − + 3) log (2 x+ =3) 2
b Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5 C n 1 =C n3 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai 5
triển nhị thức Niutơn của (2 +x) n
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a; tam giác SAC
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a= 3. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAD)
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ O , xy cho hình bình hành ABCD có N là trung
điểm của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là 13 x − 10 y+ =13 0; điểm M( 1; 2)−
thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC =4 AM . Gọi H là điểm đối xứng với N qua C Tìm tọa độ
các đỉnh A B C D biết rằng 3 , , , , AC =2AB và điểm H thuộc đường thẳng ∆ : 2 x − =3 y 0
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , A( 2;1;5)− , mặt phẳng
( ) : 2 P x − + − =2 y z 1 0 và đường thẳng 1 2
Tính khoảng cách từ A đến
( ) P Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua A , vuông góc với ( ) P và song song với d
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
( , )
x y R
∈
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a là số thực thuộc đoạn [1;2] Chứng minh rằng
(2 a + + 3 a 4 )(6 a a + + 8 a 12 ) 24a < a+1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Họ và tên thí sinh : ……… ; Số báo danh :………
Group: Ôn Thi Đ i H c TOÁN - ANH Tham gia ngay!! www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 2www.DETHITHU.NET – FB.com/Dethithu.net 2
Môn: TOÁN
Ta có y = x3 −3x2 +2 +) Tập xác định: R
+) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y '= 3x2 −6x,
=
=
⇔
=
2
0 0
'
x
x y
0,25
Giới hạn, tiệm cận:
= −∞
−∞ → y xlim , = +∞ +∞ → y xlim Đồ thị hàm số không có tiệm cận Cực trị: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0; 2), cực tiểu tại (2; 2) − Hàm số đb trên mỗi khoảng ( −∞ ;0); (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2) 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 1.a Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại (1;0), cắt Oy tại (0; 2) (0; 2) 0,25 Ta có M( 1; 2).− − 0,25 Pttt của (C) tại M là ∆ : y y = − /( 1)( x+ −1) 2 hay ∆ : y = +9 x 7 0,25 1.b 2 2 5 9 / / 2 2 3 1 7 m m d m m m = ± + = ∆ ⇔ ⇔ ⇔ = − ≠ + ≠ 0,5 2.a cos3 x + 2sin 2 x − cos x = ⇔ 0 2sin 2 (1 sin ) 0x − x = 0,25 x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y 2 +∞
-2
−∞ y 2
2
O 1 x
-2
Group: Ôn Thi Đ i H c TOÁN - ANH Tham gia ngay!! www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 3www.DETHITHU.NET – FB.com/Dethithu.net 3
sin 1
2 2
x k x
x
π
=
=
=
0,25
2.b
0
5 1
x
x
x x
⇔
=
0,25
1 2
1
2 1
1
3 3
x
∫
0,5
Đặt
2 x
u x
dv e dx
=
=
Ta có
2
2
x
du dx e v
=
=
0.25
3
1
1
x x x x
2
3 7 12
e
0,25
4
(4 3) log (4 3) log (2 3) 2 log 2
2 3
x
x
−
4.a
2
8 x 21 x 9 0 x 3
8
x= −
Đối chiếu ĐK ta được nghiệm x=3 0,25
ĐK:n N n∈ *, ≥3.Ta có 5 C 1 n = ⇔ − − = ⇔ =C n3 n 2 3 n 28 0 n 7 hoặc n= −4(Loại) 0,25
4.b
7
7 0
(2 ) k 2 k k
k
=
+ = ∑ Sh chứa x5 ứng với k=5 Hệ số của x5 là C 75 2 2 =84 0,25
B
C
D A
S
H K J
Kẻ SH ⊥ AC H ( ∈AC)
Do ( SAC ) ( ⊥ ABCD ) ⇒SH ⊥( ABCD)
;
2
AC
2
2 2
ABCD
AC BD
3 2
S ABCD ABCD
0,5
5
Ta có 2 2 4 ( , ( )) 4 ( , ( ))
2
a
Do BC//(SAD)⇒d B SAD ( , ( )) = d C SAD ( , ( )) 4 ( , ( = d H SAD))
Kẻ HK ⊥ AD K ( ∈ AD HJ ), ⊥ SK J SK( ∈ )
0,5
Group: Ôn Thi Đ i H c TOÁN - ANH Tham gia ngay!! www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 4www.DETHITHU.NET – FB.com/Dethithu.net 4
∆AHK vuông cân tại K 0 2
sin 45
4
a
2 7
HJ
2 3 2 21 ( , ( ))
7 7
2 2
13( 1) 10.2 13 20
269
13 10
+ (3 ; 2 )
H ∈ ∆ ⇔H a a
I
G
C D
H N
M
0,25
6
Gọi I là tâm ABCD, G là giao điểm của AC và BN Ta thấy G là trọng tâm ∆BCD Suy ra 2 1
( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )
13.3 10.2 13 32
1
a
19
Vì H và M nằm khác phía đối với đường thẳng BN nên H(3; 2)
0,25
Ta thấy 3 2 2
MH có pt y − = 2 0 ⇒MN x : + = 1 0 ⇒ N( 1;0)− ⇒C(1;1), D( 3; 1)− −
0,25
3 ( ; ) ( ; ) ( ; )
Vậy 5 7 7 13
( ; ), ( ; ), (1;1), ( 3; 1)
3 3 3 3
2( 2) 2.1 1.5 1 2 ( , ( ))
3
2 ( 2) 1
(P) có vtpt là n p = −(2; 2;1)
, d có vtcp là u d=(2;3;1)
, [ , ]= 5;0;10n u p d (− )
0,25
7
Theo giả thiết suy ra (Q) nhận 1
[ , ]=(1;0;-2)
5 p d
n = − n u
làm vtpt Suy ra ( ) : Q x − + =2 z 12 0 0,25
ĐK: y 2 − ≥ 2 0; xy 2− − ≥2 x 2 0
x + y − − y x + − + + = ⇔ y y x + − y y + x + − =
2
2 2
0 2
2
y
≥
= +
(Do
2 2
2 1 0 ,
y + x + − > ∀ x y)
0,5
8
Thay y 2 = +x2 2vào PT thứ hai của hệ ta được pt sau với ĐK: x ≥ 3 2 0,25
Group: Ôn Thi Đ i H c TOÁN - ANH Tham gia ngay!! www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 5www.DETHITHU.NET – FB.com/Dethithu.net 5
2
3
2
3
3
3
1
x x
x
=
Ta thấy
2
3
3 9
2 5 ( ) ( 3) 5 0
x
+ +
− +
( )
2 2 3 2 3
2 2 3 2 3
3
( 1) 2 1 4
x
+
Đặt t = 3 x 2− 1, t >0 Khi đó (**) trở thành
t + + > t t + ⇔ + + > + ⇔ + + t t t t t t + >t Đúng∀ >t 0 Suy ra (*) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3; 11)
0,25
2 3 4
a a a
a a a
Do a∈ [1;2] ⇒2 2 ≤ ≤ a 4; 3 3 ≤ ≤ a 9; 4 4 ≤ ≤a 16
2 2 a 16; 2 3 a 16; 2 4 a 16
⇒ ≤ < < < < ≤ Với x∈[2;16], ta có
( x 2)( x 16) 0 x 18 x 32 0 x 18 0 18 x
0,25
9
Từ đó suy ra 1 1 1
32( ) 54 (2 3 4 )
2 3 4
a a a
a + + a a < − + +
1 1 1 54 (2 3 4 )
a a a
a a a
⇔ + + <
Khi đó
1 1 1 (2 3 4 )[54-(2 3 4 )]
1 [2 3 4 54-(2 3 4 )] 729
24
a a a a a a
a a a
a a a
a a a a a a
0,5
Group: Ôn Thi Đ i H c TOÁN - ANH Tham gia ngay!! www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan