Đẳng thức cosi

Đó là bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm.. Vận dụng bất đẳng thức Cô-si ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số biểu thức.. Nhận xét về phương pháp giải

Chuyên đề:

VẬN DỤNG ĐẲNG THỨC COSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

Chúng ta đã biết với a≥0; b≥0 thì a + b ≥ 2 ab (1) (dấu “=” xảy ra ⇔ a=b) Đó là bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm Bất đẳng thức này còn được mở rộng đối với n số không âm: với a1, a2, , an ≥ 0 thì a1 + a2 + + an ≥ nn a1a2 a n (dấu “=” xảy ra ⇔

a1=a2= =an) –Với hai số dương a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra:

• Nếu ab = k (không đổi) thì min (a+b) = 2 k (khi và chỉ khi a = b)

• Nếu a + b = k (không đổi thì max (ab) =

4

2

k (khi và chỉ khi a = b)

Kết quả trên được mở rộng đối với n số không âm:

Nếu a1 a2 an = k (không đổi) thì

min (a1 + a2 + + an) = nn k (khi và chỉ khi a1 = a2 = =an)

Nếu a1 + a2 + + an = k (không đổi) thì

Max (a1a2 a n) = 











n

k n

(khi và chỉ khi a1 = a2 = =an)

Vận dụng bất đẳng thức Cô-si ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số biểu thức Ta hãy bắt đầu bằng một thí dụ đơn giản

Thí dụ 9:

Cho x > 0; y > 0 thõa mãn điều kiện 1+1 =21

y

x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x+ y

Giải

Vì x > 0; y > 0 nên 1 > 0

x ; 1 > 0

y ; x > 0; y > 0 Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương 1x và 1y ta được x⋅y ≤ x + y

1 1 2

1 1 1

suy ra 1 ≤41

xy ⇒ xy ≥ 4 Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương x và y ta được:

A = x + y ≥ 2 x y ≥ 2 4 = 4 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4).

Vậy min A = 4 (khi và chỉ khi x = y = 4)

Nhận xét về phương pháp giải:

Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cô-si theo hai chiều ngược nhau Lần thứ nhất

ta đã “làm trội” 1x⋅1y bằng cách vận dụng ab ≤a2+b

để dùng điều kiện tổng 1+1 =12

y

đó được xy ≥ 4

Lần thứ hai ta đã “làm giảm” tổng ( x+ y) bằng cách vận dụng bất đẳng thức Cô-si theo chiều a+b≥ 2 ab để dùng kết quả xy ≥ 4

Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si đối với các số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức Cô-si rồi tìm cực trị của nó

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó.

Thí dụ 10:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3x− 5 + 7 − 3x

Giải:

ĐKXĐ: 35 ≤x≤37

A2 = (3x− 5) (+ 7 − 3x)+ 2 (3x− 5)(7 − 3x)

A2 ≤ 2 +(3x− 5 + 7 − 3x)= 4 (dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2)

Vậy max A2 = 4 ⇒ max A = 2 (khi và chỉ khi x = 2)

Nhận xét về phương pháp giải:

Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức Cô-si: 2 ab ≤a+b

Biện pháp 2: Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0.

Thí dụ 11:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x5x−9

Giải:

ĐKXĐ: x≥ 9 A=

30

1 10

3

9 9 5

3 3

9 2 1 5

3 3 9 5

9

=

+

−

=











 − +

≤

⋅

−

=

−

x

x x

x x

x x

3

9

=

⇔

=

−

x x

) Vậy max A= 301 (khi và chỉ khi x = 18)

Nhận xét về phương pháp giải:

Trong cách giải trên, x− 9 được biểu diễn thành 3

3

9 ⋅

−

x

và ta đã gặp may ở chỗ khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si, tích 3

3

9 ⋅

−

x

được “làm trội” thành nửa tổng x x

3

1 3 3

9 + =

−

có dạng

kx có thể rút gọn cho x ở dưới mẫu, kết quả là một hằng số Con số 3 ở trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9 này có trong đề bài (bạn đọc tự giải thích)

Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích cảu

chúng là một hằng số.

1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau

Thí dụ 12:

Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

x

x

3

4

16

3 +

Giải:

A = 3 3 4 163

4 16 16

3

x x

x

x x x x

x x

x+ = + + + ≥ ⋅

A ≥ 4 2 = 8 (dấu “=” xảy ra ⇔ x=163⇔x= 2

Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2)

Nhận xét:

Hai số dương 3x và

x3

16

có tích không phải là một hằng số Muốn khử được x3 thì ở tử phải có

x3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bất đẳng thức Cô-si với 4 số dương

2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tủ chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số)

Thí dụ 13:

Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 29x x+2x

−

Giải:

2

9

+

− +

x x

x

2

9

2 ⋅ − + = + =

−

⋅

≥

x

x x

x

x x

−

2 2

2

1

=

Vậy min A = 7 (khi và chỉ khi x=21 )

Nhận xét về phương pháp giải:

Trong cách giải trên ta đã tách x2 thành tổng 2− + 1

x

x

Hạng tử 2−x x nghịch đảo với 2−x x nên khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si ta được tích của chúng là một hằng số

Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

Thí dụ 14:

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điểu kiện x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P =

y x x z z y

z y x

+

+ +

+ +

2 2

2

Giải:

Aùp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương y x z

+

2 và y4+z ta được:

x x z y z y

z y z y

x

+

≥ + +

2 2

(1)

x z

y

≥ + +

2

(2)

z y x y

x z + + ≥

2

(3)

y x x z z

















+ + + +

2 2 2

2+ =

+

− x y z (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 32 ) Vậy min P = 1 (khi và chỉ khi x = y = z = 32 )

Nhận xét về phương pháp giải:

Ta đã thêm y4+z vào hạng tử thứ nhất y x z

+

2 có trong đề bài, để khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si có thể khử được (y + z) Cũng như vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2), (3) khi và chỉ khi x = y = z = 32

Nếu ta lần lượt thêm (y + z), (z + x), (x + y) vào y x z

+

2 ;

x z

y

+

2

; x z y

+

2

thì ta cũng khử được (y + z), (z + x), (x + y) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trị của x, y, z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm được giá trị nhỏ nhất của P

Sau khi đọc xong bài này bạn hay tiếp tục download bài

“Bài tập về đẳng thức Cô-si” để nắm rõ hơn về đẳng thức này