⇔ Bn An≥ Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có 2 cuối cùng hiển nhiên đúng.. Do đó kết luận 1 luôn đúng.
Trang 1Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ “>”; “≥”;
”<”; “≤” thì ta bảo có một bất đẳng thức:
Khi đó ta viết:
• A>B ⇔A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.
• A≥B⇔ A−B≥ 0 (đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ: ∀a∈R:a≤a
2 Tính bắc cầu: ∀a,b,c∈R:a≤b và b≤c⇒a≤c
3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực
m b m a b a R
m
b
Hệ quả:
Chuyển vế đổi dấu: a≥b+c⇔a−c≥b
Cộng hai BĐT cùng chiều: a c b d
d c
b a
+
≤ +
⇒
≤
≤
Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau
4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực m≠ 0
<
≥
>
≤
≤
∈
∀
0
;
0
; :
,
m bm am
m bm am b a R b a
<
≥
>
≤
∈
0
;
0
; :
,
m m
b m a
m m
b m
a R b a
5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b
b a b
a≤ ⇔ 1 ≥ 1
6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều
≥
≥
∈
d c
b a R d c b
a, , , :
Trang 2Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau.
Hệ quả:
*
;
≥
≥
⇒
>
b a
b a b
a
n n
n n
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý Chứng minh rằng
x
a/ 2 1 + 2 + 2 1 + 2 + 2 1 + 2 ≥ 6
b/ + + 2 ≥ 3 + +
Giải:
a/ Ta luôn có:
2 2
0
1 2
0
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
xyz y
x z xy
z
xyz x
z y zx
y
xyz z
y x yz
x
≥ +
⇔
≥
−
≥ +
⇔
≥
−
≥ +
⇔
≥
−
Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều phải chứng minh:
b/ Ta có: (x+ y+z)2 =x2 + y2 +z2 + 2(xy+ yz+zx)
Ngoài ra ta luôn có:
yz z
y z
y
xy y
x y
x
2 0
2 0
2 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
≥ +
⇔
≥
−
≥ +
⇔
≥
−
≥ +
⇔
≥
−
Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
z y
x2 + 2 + 2 ≥ + +
Do đó:
(x+y+z)2 ≥ xy+yz+zx+ 2(xy+yz+zx)
Vậy: (x+y+z)2 ≥ 3(xy+ yz+zx)
4/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 Chứng minh rằng:
2
1 , x2 + y2 ≥
a
8
1 , x4 + y4 ≥
b
Bài 2: Cho x+y=2 Chứng minh rằng x4 +y4 ≥ 2
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì
3
1
2 2
x
Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý Chứng minh rằng:
2 2
2 2
3
+ +
≥ +
x
Trang 3Bµi 5: Cho ba sè d¬ng x,y,z vµ x+y+z=4 Chøng minh r»ng:x+ y≥xyz
Bµi 6: Cho hai sè d¬ng x,y vµ x3 +y3 =x−y
Chøng minh r»ng: x2 +y2 < 1
Bµi 7: Cho ba sè d¬ng x,y,z tháa m·n ®iÒu kiÖn
3
5
2 2
Chøng minh r»ng:
xyz z y x
1 1 1
1 + − <
Trang 4ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:
1/ Đ ờng lối chung:
Để chứng minh đẳng thức A≥B là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng
đ-ơng ta biến đổi:
B
1
A ≥
⇔
⇔
Bn
An≥
Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên đúng Do đó kết luận (1) luôn đúng
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho hai số x, y sao cho xy≥ 0 Chứng minh rằng: (x2 −y2)2 ≥(x−y) ( )4 1
Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:
( )1 ⇔(x2 −y2)2 −(x−y)4 ≥ 0 ⇔(x−y) (2 x+y) (2 − x−y)4 ≥ 0
⇔ x y x y x y x y x y
Do xy≥ 0 nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng Vậy (1) luôn đúng
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
y x xy y
x
a/ 2 + 2 + 1 ≥ + + b/ x4y4 ≥xy3 +x3y
Bài 2: Cho hai số dơng x,y
Chứng minh rằng:
3 3
3
2
+
≥ +y x y x
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ
Chứng minh rằng: ac−bd ≤ (a2 +b2)(c2 +d2)
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho a+b+c≥ 0
Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ≥ 3abc
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
a e d c b
a2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ + + +
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:
c b a b a a c c
b+ + + + + > + +
3 1
1 1
Bài 7: Cho ab≥ 1
Chứng minh rằng:
ab b
2 1
1 1
1
2 2
Trang 5Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số x≥ 0 , y≥ 0 ta có BĐT Côsi sau: x+ y ≥ xy
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y
Ta có thể cm nh sau:
Vì x≥ 0 , y≥ 0 nên:
( x+ y) ≥ ⇔x+ y− xy ≥ ⇔ x+y ≥ xy
2 0
2 0
2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x− y = 0 ⇔ x= y
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho ba số x, y, z không âm Chứng minh rằng:
zx yz xy z y
Giải:
Vì x≥ 0 ,y≥ 0 ,z≥ 0 nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:
zx x z yz z y xy y
2
, 2
, 2
Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zx yz xy x z z y y
2 2
2
Vậy: x+y+z≥ xy+ yz+ zx
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm Chứng minh rằng:
(a+b)(b+c)(c+d)(d +a)≥ 16abcd
Bài 2: Với x≥ 0 ,y≥ 0 Chứng minh đẳng thức:
( x+ y)2 ≥ 2 2(x+ y) xy
Bài 3:Cho x≥ 1 , và y≥ 1 Chứng minh rằng:
xy x
y y
x − 1 + − 1 ≤
iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:
Trang 61/ Ph ơng pháp chung:
Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác
( ) ( ) ( )
+
<
+
<
+
<
⇔
3 2 1
b a c
a c b
c b a
Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra đợc ba bất đẳng thức
về hiệu hai cạnh:
( ) ( ) ( )6 5 4
b a c b
a
c
a c b a
c
b
c b a c
b
a
<
− +
<
<
−
⇒ +
<
<
− +
<
2/ Ví dụ áp dụng:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có:
c b
a2 + 2 + 2 < 2 + +
Giải:
áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta:
2 1
2 2
2 2
2 2
b a c b
a
c
a c b a
c
b
c b a c
b
a
<
−
⇔
<
−
<
−
⇔
<
−
<
−
⇔
<
−
Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta:
a b c a c c b b
c b a
ca bc ab c
b a
c b a a ca c
c bc b
b ab a
+ +
<
+ +
⇔
<
+ +
− + +
⇔
+ +
<
+
− + +
− + +
−
⇔
2
0 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
Vậy BĐT đã đợc chứng minh
3/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: (a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)≤abc