Biến đổi tơng đơng, đánh giáBài 1.. Bất đẳng thức Côsi Bài 1... Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Bài 1.
Trang 1Biến đổi tơng đơng, đánh giá
Bài 1 CMR a2 +a+1+ a2 −a+1≥2 ∀a
Bài 2 CMR x2 +xy+ y2 + y2 + yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3(x+ y+z) ∀ x, y, z
Bài 3 CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x
Bài 4 Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1
CMR : abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0
Bài 5 Cho a, b, c > 0 CMR
1) nếu ab ≥ 1 thì
ab b
2 1
1 1
1
2 2
2) nếu a, b, c ≥ 1 thì
abc c
b
3 1
1 1
1 1
1
3 3
3
Bài 6 Cho a, b, c > 0 thoả mãn
b c a
2 1 1
=
2
−
+ +
−
+
b c
b c b a
b a
Bài 7 Cho a+b ≥ 0 CMR
3 3
3
2
+
≥
a
Bài 8 Cho a, b, c > 0 CMR
3 2
2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ + +
Bài 9 CMR 1+t + 1−t ≥1+ 1−t2 ≥2−t2 ∀t∈[ ]0;1
Bài 10 CMR a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e ) ∀a, b, c, d, e
a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a( b + c + d) ∀a, b, c, d
Bất đẳng thức Côsi
Bài 1 Cho a, b, c > 0 CMR
1) a4 + b4 + c4 ≥ ab3 + bc3 +ca3
2) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2
3) 2 a +33 b ≥55 ab
a
b b
5) 52 52 25 52 13 13 13 13
d c b a a
d d
c c
b b
6)
a
c c
b b
a a
c c
b b
Trang 2B i 2 à Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1 CMR 3 *
2
1 2
1 2
1
N n z
y
+ +
+ +
+
Bài 3 Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1
+
x
1 1
+
y
1
1 1 1≥64
+
z
b) Tìm GTNN của A =
+
x
3 2
+
y
3
+
z
3 2
Bài 4 Cho a, b, c, m, n, p > 0 CMR
a) (1+a) (1+b) ( ) ( 3 )3
1
1+c ≥ + abc
b)3 (a+m)(b+n)(c+ p) ≥3 abc +3 mnp
Bài 5 Cho a, b, c > 0 CMR
a)
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c
b
a
(Bất đẳng thức Nesbit n =3) b) nếu abc = 1 thì ( ) ( ) ( ) 2
3 2
2
+
+ +
+
ab a
c b
ca c
b a
bc
Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Bài 1 Cho a, b, c > 0 CMR
c b a c b a c b
+ + +
+
b) 3(a3 +b3 +c3)≥(a+b+c) (a2 +b2 +c2)
c) ( 3 3 3) ( )3
9a +b +c ≥ a+b+c
Bài 2 Cho a, b, c ≥
4
1
− thoả mãn a+b+c = 1 CMR
21 1 4 1 4 1 4
7 < a+ + b+ + c+ ≤
Bài 3 CMR
a) xy x y≥ − +1 y x−1 với x, y ≥ 1
b) ab ≥ c(a−c)+ c(b−c) với 0 < c≤ a, b
Bài 4 Cho a, b, c > 0 CMR
a) ( a + b )4 ≤ 8(a4 + b4)
b) a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) (2 + b+d)2
c)
17
98
2 2
2 + b ≥
a với 2a + 3b ≥ 7
d) 2 +2 2 + 2 +2 2 + 2 +2 2 ≥ 3
ca
c a bc
b c ab
a
Trang 3Bài 5 Cho x, y > 0 Tìm GTNN
a) A =
y
1
4+ với x + y = 1
b) B = x + y với 2+ 3 =6
y x
c) C = x+ 4 x− 2
d) D =
1
1
2 +
+
x x
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Bài 1 Cho x + y + z =10 CMR x−1+ y−2+ z−3 ≥4
Bài tập làm thêm
Bài 1 Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b = c CMR
4
3 4
3 4
3
c b
Bài 2 CMR 3a +3 a2 ≤1+a ∀a≥−1
Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức:
a) A = 2 12
x
x+ với x > 0 b) B = 3 12
x
x+ với x > 0
c) C = ( 2)2
2 1
1
x
x
+ +
z
z y
y x
x + + + + + biết rằng x, y, z > 0 và x + y + z ≤ 1
Bài 4 Cho x, y > 0 thoả mãn x2 + y3 ≥ x3 + y4 CMR x3 + y3 ≤ x2 +y2 ≤x+ y≤2
Bài 5 Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz( x + y + z) = 1 Tìm GTNN P = (x+y)(x+z)
Bài 6 Cho a, b, c > 0 CMR
a)
b a
c a
c
b c
b
a a
c
c c b
b b
a
a
+
+ +
+ +
<
<
+
+ +
+
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ≥ 16abc
b
a c a
c b c
b a ab
c ca
b
bc
2 2
2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
Bài 7 Cho a, b, c ∈[-1,1] thoả mãn a + b + c = 0 Tìm GTLN, GTNN của P = a2 + b4 + c6
Trang 4Bµi 8 Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1 T×m GTNN P =
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
2 2
2
Bµi 9 CMR
a) 1+x+x2 + 1+y+ y2 ≥ x2 +xy+y2
+
≥ + + + + +
2 3 1
y y x
x
c) 2(1+a2)(1+b2)≥(a+b + a−b)(1+ab +1−ab)
Bµi 10 CMR 3a2−4 +34a+8 ≥2 ∀a
Bµi tËp cñng cè
Bµi 1 CMR víi a, b, c > 0 bÊt k× ta cã
a)
2
c b a a c
ca c b
bc b
a
+
+ +
+
+
b
ca a
bc
c
ab
+ +
≥ + +
c) 32 2 23 2 32 2 12 12 12
z y x x z
z z
y
y y
x
x
+ +
≤ +
+ +
+ +
Bµi 2: T×m GTLN, GTNN ( nÕu cã ) cña biÓu thøc:
a) 6 6
x +y biÕt
+) x2 + y2 = 2
+) x4 + y4 = 3
b) ( 2 - x )3( 4 + 3x )4 biÕt x ∈ [−4 ; 2]
c) ( x + 2y )3( 2x - y) biÕt 0 < y < 2x vµ x + y = 10
Bµi 3: T×m GTNN cña biÓu thøc:
A = 2 12
x
x+ víi x > 0 ; B = 3 12
x
x+ víi x > 0 ; C = ( )2 2
2
1
1
x
x
+
+ ; D =
2
1 3
1
x
x
+ +
Bµi 4: Cho a,b,c > 0 CMR:
a)
2
2 2
b a
c a c
b c
b
+
+ +
+ +
b) nÕu abc = 1 th× : ( ) ( ) ( ) 2
3 2
2
+
+ +
+
ab a
c b
ca c
b a bc
Bµi 5: Cho x≠y vµ xy = 1.T×m GTNN: I =
y x
y x
− + 2 2