SKKN Hình Học

a , Hớng thứ nhất : Tạo một đờng thẳng song song với đờng thẳng MN bằng cách áp dụng tính chất đờng trung bình của tam giác , rồi chứng minh đờng thẳng đó song song với tia OZ.. Gọi M,N

B Nội Dung- Giải quyết vấn đề

Bài toán 1: Cho góc xOy khác 1800, OZ là tia phân giác của góc xoy Trên tia ox lấy lấy hai điểm A, B (A nằm giữa O và B) Trên tia Oy lấy hai điểm C và D ( C nằm giữa

O và D) Sao cho AB = CD và OA OC, gọi M,N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD

Chứng minh : MN // OZ

G/V : 1 Gọi HS nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song

2 Các hớng suy nghĩ áp dụng cụ thể ở bài toán này

a , Hớng thứ nhất : Tạo một đờng thẳng song song với đờng thẳng MN bằng cách áp dụng tính chất đờng trung bình của tam giác , rồi chứng minh đờng thẳng đó song song với tia OZ

b , Hớng thứ hai : Dùng tính chất đoạn chắn song song để kết nối hai đoạn thẳng bằng nhau AB = CD tạo thành tam giác cân rồi từ đó tìm đoạn thẳng song song với MN Sau đó chứng minh đoạn thẳng đó song song với OZ Để suy ra MN//OZ

c, Hớng thứ 3: Kết nối 2 đoạn thẳng bằng nhau đã cho thành 2 đoạn thẳng bằng nhau trung gian tạo thành tam giác cân Rồi từ đó chứng minh MN// OZ sẽ dễ dàng hơn Giải

Cách 1 (áp dụng hớng suy nghĩ thứ nhất)

hình 1a hình 1b

Trên tia đối của tia NA lấy điểm K sao cho NK= NA

Dễ thấy  NAB =  NKD ( c.g.c)  AB = DK mà AB = CD   DCK cân tại D

  D1 = 2 KCD ( góc ngoài tam giác cân)

Do tia OZ là tia phân giác của góc XOY   XOY = 2 O1

Dễ thấy OX// DK  XOY =  O1( đồng vị)

mà  O1 và KCD so le trong

Dễ thấy MN là đờng trung bình của tam giác ACK Suy ra MN//CK (2)

Từ (1) và (2), suy ra MN//OZ (đpcm)

GV: Ta có thể tạo ra:

+ MN là đờng trung bình của tam giác BK1D (Hình 1b)

+ MN là đờng trung bình của tam giác CAK2 (Hình 1c)

+ MN là đờng trung bình của tam giác DBK3 (Hình 1d)

Hình 1c Hình 1d

Cách 2 (áp dụng hớng suy nghĩ thứ hai)

Hình 2a Hình 2b

Vẽ hình bình hành ABKD , dễ thấy 3 điểm A,N,K thẳng hàng

có N là trung điiểm của AK  MN//CK

lại có M là trung điểm của AC

Tiếp tục chứng minh nh cách 1

Giáo viên: * Ta có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng hình bình hành ABDK (H2b)

Ta đợc tam giác CDK1 cân tại D

Lấy I là trung điểm của CK1 Dễ chứng minh đợc NMDI là hình bình hành

Suy ra MN//DI

Dễ c/m đợc OZ//DE  OZ // MN (đpcm)

* Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD

bằng cách dựng h.b.h ABK2C để

đợc  CDK2 cân tại C ( hình 2c)

lấy I là trung diểm của DK2

dễ c/m đợc NMIC là hình bình hành

 MN // CI

dễ c/m đợc OZ//CI

 OZ // MN (đpcm) Hình 2c

* Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng h.b.h ABK3C để

đợc  CDK3 cân tại C ( hình 2d)

dễ c/m đợc M là trung điểm của BK3

lại có N là trung điểm của BD  MN// K3D  OZ//MN (đpcm)

dễ c/m đợc OZ// K3D

Hình 2d Hình 2e

Cách 3: ( áp dụng hớng suy nghĩ thứ 3 )

Lấy E là trung điểm của AD

do N là trung điểm của BD  EN// = 1/2 AB

EM// = 1/2 CD   EMN cân tại E

 EMN = ENM

do EN// Ox  ENM = P ( so le trong)   OPQ cân tại O

ME//Oy  EMN = OQP ( so le ngoài)

 xOy = 2 P  O2 = P  Oz //MN (đpcm)

lại có  xOy =2 O2

Giáo viên: Từ cách giải 3 của bài toán 1 ta thấy MN tạo với Ox, Oy các góc bằng nhau

và kết hợp với nhận xét về độ dài các đoạn thẳng BP và DQ ta có bài toán mới.

Bài toán 2: Cho  ABC Hai diểm D và E trên 2 cạnh AB và AC sao cho BD = CE Gọi M,N thứ tự là trung diểm của BC và DE; gọi H,K thứ tự là giao điểm của đờng thẳng

MN với các đờng thẳng AB, AC.

a, Chứng minh  AHK cân.

b, Chứng minh BH = CK.

c, Xét bài toán trên khi D và E thứ tự trên các tia BA, CA và cũng thoả mãn

BD = CE.

Giải tóm tắt:

a, Theo cách giải 3 của bài toán 1

ta có ngay  AHK cân tại A

b, Qua C kẻ đờng thẳng // MH

cắt đờng thẳng AB tại P

lại có M là trung điểm của BC  BH = HF (1)

dễ thấy các  AHK;  ACF đều cân  HF = CK (2)

Từ (1) và (2)  BH = CK

c, Bài toán cũng đúng khi D và E ở bất kỳ trên các tia BA và CA những vẫn thoả mãn BD

= CE ( h/s tự chứng minh)

Giáo viên: Trở lại bài toán 1: Nếu thay đổi vị trí 2 điểm C,D cho nhau Hãy nhận xét về“ Nếu thay đổi vị trí 2 điểm C,D cho nhau Hãy nhận xét về

quan hệ của đờng thẳng MN với tia OZ là phân giác của  A Ta có bài toán 3.” Ta có bài toán 3

Bài toán 3: Cho góc xOy có tia Oz là tia phân giác Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B ( A nằm giữa O và B), trên tia Oy lấy 2 điểm C và D ( D nằm giữa O và C) sao cho

AB = CD Gọi M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.

Chứng minh rằng: MN  Oz.

Giáo viên: tơng tự Bài toán 1 ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các đờng phụ để giải bài toán này Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên.

Giải tóm tắt:

Lấy điểm K sao cho N là trung điểm của AK  MN// CK  MN  DH

dễ thấy  DCK cân tại D có đờng cao DH  CK

 MN  DH

dễ c/m đợc DH// Oz  MN  Oz ( đpcm)

Giáo viên: Trở lại bài toán 2: Chúng ta hãy xét bài toán ngợc của bài toán này khi tam giác AHK cân tại A hoặc đờng thẳng MNtạo với AB và AC các góc bằng nhau hoặc khi

có BH = CK thì hai đoạn thẳng BD và CE có bằng nhau hay không ? Ta có bài toán mới:

Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD không song song với nhau, hai

điểm M,N thứ tự là trung điểm của AD và BC.

a, Biết MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau Chứng minh AB = CD.

b, Gọi H, K thứ tự là giao điểm của MN với các đờng thẳng AB và CD Nếu có AH =

DK Hãy chứng minh AB = CD.

Giáo viên: Bài toán ngợc này chúng ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các phần phụ để chứng minh Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên.

Lời giải tóm tắt:

Lấy I là trung điểm của BD, lại có M là trung điểm của AD  MI// = AB

2

1

(1) Tơng tự ta có : NI // = CD

2

1

(2)

Do MI// AB  IMN = H1 ( so le trong)

Do NI //CD  INM = K1 ( đồng vị)  IMN = INM  IM = IN (3)

mà H1 = K1 ( giả thiết)

Từ (1), (2) và (3)  AB = CD ( đpcm)

b, Qua D kẻ đờng thẳng song song với MN cắt đờng AB tại E, lại có M là trung điểm của

AD nên suy ra H là trung điểm của AE  AH = HE  HE = CK ( vì cùng = AH)

Từ đó ta dễ chứng minh đợc MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau Sau đó chứng minh tơng tự nh câu a Ta đợc AB = CD

Giáo viên: Tơng tự nh bài toán trên các em hãy tìm bài toán đảo của bài toán 3 Ta có bài toán mới.

Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD có các đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại O, hai điểm M,N thứ tự là trung điểm của các đờng chéo AC và BD Kẻ Ox là tia phân giác của góc AOD Chứng minh Ox  MN khi và chỉ khi AB = CD.

( Học sinh tự giải )

Giáo viên: Trở lại Bài toán 2: Nếu ta cho 2 điểm D, E di động trên các cạnh AB và AC “ Nếu thay đổi vị trí 2 điểm C,D cho nhau Hãy nhận xét về

mà vẫn thoả mãn BD = CE Hãy nhận xét về đờng thẳng MN ? Ta có bài toán mới: ở ” Ta có bài toán 3

dạng tìm tập hợp điểm.

Bài toán 6: Cho  ABC có AB < AC, 2 điểm D, E thứ tự di chuyển trên các cạnh AB,

AC sao cho BD = CE.

a, Hãy tìm tập hợp các trung điểm N của DE ?

b, Xét bài toán khi D, E theo thứ tự di chuyển trên các tia BA và CA ?

c, Xét bài toán khi D, E thứ tự di chuyển trên các tia đối của các ta BA, CA ?

Lời giải ( Tóm tắt):

a, Lấy M là trung điểm của BC

Tơng tự Bài toán 1 ta có:

MN// Ax phân giác của  BAC

lại có M là điểm cố định 

Ax là đờng cố định

 M nằm trên đờng thẳng cố định đi qua M và //Ax

Gọi K là giao điểm đờng thẳng MN với AC

Dễ thấy khi D, E di chuyển trên các cạnh AB, AC thì N di chuyển trên đoạn thẳng MK Ngợc lại, lấy tuỳ ý điểm N thuộc đoạn thẳng MK

qua N kẻ đờng thẳng // AC

qua M kẻ đờng thẳng //AB Chúng cắt nhau tại I

Đờng thẳng CI cắt AB tại D, đờng thẳng DN cắt AC tại E Ta dễ c/m đợc 2 điểm D,E thoả mãn điều kiện bài toán là BD = CE, và N là trung điểm của DE

Vậy tập hợp các trung điểm N là đoạn thẳng MK

* Cách khác: Ta có khi D trùng B thì E trùng C Khi đó N trùng với trung điểm M của

BC

Trên CA lấy điểm Q sao cho CQ = AB Ta có khi D trùng A thì E trùng Q, khi đó N là trung điểm của AQ Lấy P là trung điểm của AC

Ta có: PK = AP – AK =

2 2

2 2 2

AB AB AC AC AQ AC









dễ thấy PM =

2

AB

(2)

Từ (1) và (2)   PMK cân tại P Lại dễ thấy  IMN cân tại I và 3 điểm M, I, P thẳng hàng, do đó ta suy ra 3 điểm M, N, K thẳng hàng Suy ra điểm N nằm trên đờng thẳng

MK cố định

Tiếp tục làm phần giới hạn và phần đảo nh trên

b, Học sinh tự giải: Tập hợp điểm N là tia MK

c, Học sinh tự giải : Tập hợp điểm N là tia đối của tia MK

Bài toán 7: Cho  ABC, điểm D di động trên tia AB, điểm E di động trên tia đối của tia CA sao cho AD = CE Hãy tìm quỹ tích các trung điểm N của DE ?

Giải sơ lợc:

Trên tia đối của tia AC

lấy điểm F sao cho AF = AD

lấy M là trung điểm của AC

dễ thấy M là trung điểm của EF

N là trung điểm của DE  MN // DF

dễ c/m đợc DF // Ax ( Ax là phân giác của góc BAC )

 MN // Ax cố định

lại có M là điểm cố định  đờng thẳng MN cố định

Vậy : Quỹ tích của điểm N là tia MN

Giáo viên cũng tơng tự nh các Bài toán 4, 5 ta có các bài toán sau:

Bài toán 8: Cho  ABC, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và DE.

a, Chứng minh MN  Ax ( Ax là tia phân giác của  BAC )

b, Tìm quỹ tích của điểm N khi các điểm D và E thay đổi nhng vẫn thoả mãn điều kiện trên.

Giải tóm tắt:

a, Tơng tự Bài toán 3 ta có : MN  Ax

b, Theo trên ta có:

MN  Ax cố định (1)

lại có điểm M cố định (2)

Từ (1) và (2)  N nằm trên đờng thẳng

đi qua trung điểm M của BC và 

với phân giác Ax của BAC

+ Giới hạn: Gọi F là giao điểm của MN với AC

dễ thấy M nằm trên đoạn thẳng MF

+ Ngợc lại: Lấy điểm N tuỳ ý thuộc đoạn thẳng MF

Qua N kẻ đờng thẳng // AB, qua M kẻ đờng thẳng //AC chúng cắt nhau tại I, đờng nối BI cắt AC tại E ,đờng nối NE cắt AB tại D Ta có D, E thoả mãn điều kiện bài toán ( h/s tự chứng minh) Vậy tập hợp điểm N cần tìm là đoạn thẳng MF

Bài toán 9: Cho  ABC có AB < AC, D, E là 2 điểm thứ tự di động trên 2 cạnh AB và

AC sao cho AD = CE.

a, Chứng minh: trung điểm N của DE luôn di động trên 1 đờng cố định.

b, Tìm quỹ tích của điểm N( trung điểm của DE.) ?

c, Xét bài toán khi D, E thứ tự di động trên các tia AB và CA ?

( h/s tự giải)

Giáo viên: ở các bài toán trên ta thấy có nhiều đoạn thẳng DE thoả mãn điều kiện bài toán Ta nghĩ rằng cần phải khống chế DE để DE đợc xác định Ta có bài toán sau ở dạng dựng hình.

Bài toán 10: Cho  ABC, xác định các điểm D, E thứ tự ở trên các tia BA, CA sao cho

BD = CE và DE song song với một đờng thẳng d cho trớc.

* Cách dựng:

- qua B dựng đờng thẳng // d

- qua C dựng đờng thẳng  với phân giác Ax của A

Gọi M là giao điểm của 2 đờng thẳng vừa dựng

qua M dựng đờng thẳng // AB cắt AC tại E

qua E dựng đờng thẳng // d cắt AB tại D

Ta có D, E là các vị trí cần tìm

* Chứng minh ( h/s tự chứng minh)

* Biện luận: Dễ thấy số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số điểm chung M.

- Bài toán không có nghiệm hình nếu d  Ax và AB khác AC

- Bài toán có 1 nghiệm hình duy nhất nếu d không vuông góc với Ax

- Bài toán có vô số nghiệm hình nếu d  Ax và tam giác ABC cân ở A

Bài toán 11: Cho  ABC, trên cạnh AB xác định điểm D, trên cạnh AC xác định điểm

E sao cho AD = CE và DE song song với 1 đờng thẳng d cho trớc.

Giải tóm tắt:

Cách dựng:

- qua A dựng Ay //d

- qua C dựng CZ //Ax

Ay cắt CZ tại M

- qua M dựng đờng thẳng // AB cắt AC tại E

- qua E dựng đờng thẳng // d cắt AB tại D

Ta có D, E là 2 điểm cần dựng

* Chứng minh: dễ thấy D, E thoả mãn điều kiện bài toán

* Biện luận: Số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm M

- Bài toán không có nghiệm hình nếu d //Ax

- Bài toán luôn có một nghiệm hình duy nhất nếu d không song song với Ax

Bài toán 12: Cho  ABC, trên các cạnh ABvà CA hãy dựng thứ tự các điểm D, E sao cho BD = CE = DE

Lời giải: * Phân tích: giả sử đã dựng đợc 2

điểm D, E thoả mãn điều kiện bài

toán BD = CE = DE Lấy điểm E’ tuỳ ý trên tia BE

Kẻ E’C’ // AC ( C’  BC)

Kẻ E’D’ // DE (D’  AB)

dễ thấy BD’ = D’E’= C’E’

 dễ dựng đợc BD’E’C’

 Ta dựng đợc các điểm E, D

* Cách dựng: Trên AB; AC dựng các điểm D’, M tuỳ ý sao cho BD’ = CM= m ( m > 0, chọn tuỳ ý)

- Dựng đờng tròn ( D’; m) cắt đờng thẳng qua M và // BC tại E’

- Tia BE’ cắt AC tại E

- Qua E đờng thẳng // D’E’ cắt AB tại D

Ta có: DE là đoạn thẳng cần dựng

* Chứng minh: dễ c/m DE thoả mãn điều kiện bài toán

* Biện luận: Do DE ta khống chế ở trên 2 cạnh AB, AC của  ABC nên dễ thấy bài toán

có một nghiệm hình duy nhất ( nếu cho DE ở trên 2 tia BA và CA thì dễ thấy số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm E’ của đờng tròn ( D’ , m) và đờng thẳng qua M và // BC )

GV: Từ cách dựng của bài toán trên chúng ta có thể đề xuất đợc bài toán tổng quát hơn hay không ? Ta có bài toán 13:

Bài toán 13: Cho  ABC, hãy dựng các điểm D, E thứ tự ở trên 2 cạnh AB, AC của tam giác sao cho:

a, BD = CE =

2

1

DE.

b, DE = 2 BD = 4 CE.

c, a BD = b CE = c DE ( với a, b, c > 0 cho trớc)

( học sinh giải tơng tự)

Giáo viên: Trở lại nhận xét bài toán 8 ta thấy khi hai điểm D, E thay đổi nhng tổng

AD + AE luôn bằng AB + AC không đổi Chúng ta có thể tìm đợc vị trí của các điểm D

và E để tam giác ADE có diện tích lớn nhất hay không ?; đoạn thẳng DE có độ dài ngắn nhất hay không ? Ta có một số các bài toán mới về cực trị:

Bài toán 14: Cho  ABCcó AB > AC, góc A < 90 0 , hai điểm D và E thứ tự di chuyển trên cạnh AB và tia đối của tia CA sao cho BD = CE

a, Tìm vị trí của D, E để diện tích tam giác ADE lớn nhất.

b, Tìm vị trí của D, E để độ dài đoạn thẳng DE ngắn nhất

Giải:

a, Ta có SADE = AD AE

2

1

sin A  AD AE sinA

2

2











(1)

dễ thấy AD + AE = AB + AC (2)

Từ (1) và (2)  SADE  AB AC sinA

2

2











(không đổi)

 SADE lớn nhất  AD = AE =

2

AC

AB 

b, Trên cạnh AB, trên tia đối của tia CA thứ tự lấy

hai điểm D và E sao cho AD = AE =

2

AC

AB 

Trên cạnh AB, trên tia đối của tia CA thứ tự lấy 2 điểm D’; E’

tuỳ ý sao cho BD’ = CE’ ( D’ D; E’ E )

Ta dễ chứng minh đợc D’E’ > DE

Vậy vị trí của D, E cần tìm thoả mãn AD = AE =

2

AC

AB  Giáo viên: Đối với những em nào yêu toán, các em hãy làm thêm bài toán sau

Bài toán 15: Cho  ABC, hai điểm D và E thứ tự di chuyển trên các tia AB và AC sao cho BD = CE.

a, Tìm vị trí của D và E để đoạn thẳng DE ngắn nhất.

b, Tìm vị trí của D, E để  ADE có diện tích lớn nhất

( Học sinh tự giải)

Giáo viên: trở lại các bài toán trên các em hãy nghiên cứu tính chất của đờng trung trực của đoạn thẳng DE khi các điểm D và E thay đổi nhng vẫn thoả mãn BD = CE ? Chúng

ta có các bài toán mới

Bài toán 16: Cho  ABC,2 điểm D, E thứ tự di động trên cạnh AB và AC sao cho

BD = CE Chứng minh rằng các đờng trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố

định.

Bài toán 17: Cho  ABC,2 điểm D, E thứ tự di động trên tia BA và tia đối của tia CA sao cho BD = CE Chứng minh rằng: Các đờng trung trực của DE luôn đi qua một

điểm cố định.

GV: Những bài toán ở dạng này giáo viên phải chỉ cho các em biết đợc các bớc đi tìm

điểm cố định rồi sau đó chứng minh Bài toán này sử dụng kiến thức ở lớp 9 chúng ta giải rất dễ Sau đây là lời giải để bồi dỡng cho học sinh lớp 7.

Lời giải:

Ta có: khi D P thì E  C lúc này đờng

trungtrực của DE là đờng trung trực d

của đoạn thẳng BC

Khi D  A vì E ở vị trí M trên Cx

sao cho CM = AB

Lúc này trung trực của DE là đờng thẳng d’

trung trực của đoạn thẳng AM

Gọi I là giao điểm của d và d’

Ta c/m I  đờng trung trực của

đoạn thẳng DE

Dễ c/m đợc:  IAB =  IMC (c,c,c)  ABI = ICM (1)

có (1) ta dễ c/m đợc  IBD = ICB ( c, g c)  ID = IE

 I  đờng trung trực của đoạn thẳng DE

mà I cố định  đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua điểm I cố định

Bài toán 18 : Cho  ABC, 2 điểm D, E thứ tự di động trên 2 cạnh AB và AC sao cho

AD = CE Chứng minh rằng: Các đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một

điểm cố định.

( học sinh tự giải tơng tự nh bài toán 17)

GV: ở những bài toán trên: giả thiết cho ta BD = CE 

CE

BD = 1 Phải chăng tỉ số này là trờng hợp đặc biệt của tỉ số

CE BD = k ( k > 0 cho trớc) Từ đó tự nhiên ta nghĩ rằng các

bài toán trên chỉ mới là trờng hợp đặc biệt khi các điểm D và E đã cho trong bài toán thoả mãn

CE

BD

= k.

Hãy đề xuất các bài toán mới ?

Bài toán 19: Cho ABCD có AB và CD không song song với nhau Trên cạnh BC và

AD thứ tự lấy 2 điểm M, N sao cho

AC

AB ND

NA MC

MB



a, Chứng minh: MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau.

b, Gọi H, K thứ tự là giao điểm của đờng thẳng MN với các đờng thẳng AB và AC Chứng minh AB CK = CD BH.

Lời giải tóm tắt:

a, Qua M kẻ đờng thẳng //CD cắt BD tại I 

ID

IB MC

MB

 mà

ND

NA MC

MB

  NI //AB

Do MI//CD 

AD

AN BD

BI BC

MB CD

MI







AD

AN CD

MI

 (1)

Do NI //AB 

AD

ND AB

IN

 (2)

ND

AN CD

AB IN

MI

( vì

ND

AN

CD

AB

 )  M1 = N1

Do MI //CD  M1 = K1  H1 = K1 

Do NI // AB  N1 = H1

 MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau (đpcm)

b, Gọi O là giao điểm của AB và CD

Do H1 = K1   OHK cân tại O (3)

Qua A kẻ đờng thẳng // MN cắt CD tại E

Dễ thấy  OAE cân tại O (4)

Từ (3) và (4)  AH = KE

Do NK //AE 

DK

AH KD

KE ND

NA



Do

CD

AB ND

NA

 ( giả thiết) (6)

Từ (5) và (6) 

DK

BH CD DK

AB AH CD

AB DK

AH









Bài toán 20: Cho  ABC; 2 điểm D và E thứ tự di động trên 2 cạnh AB và AC sao cho

k

CE

BD

 ( k > 0 cho trớc), N là điểm trên đoạn thẳng DE sao cho k

NE

ND

 .

a, Hãy tìm quỹ tích của điểm N ?

b, Hãy tìm quỹ tích của điểm N khi k =

AC

AB

?

c, Tìm quỹ tích các trung điểm M của DE ?

Lời giải tóm tắt :

a, Ta có: Khi D B thì E  C khi đó N ở vị trí M

thoả mãn k 

MC

MB

M là điểm cố định

Giải tơng tự nh bài 18 ta có : MN tạo với

AB và AC các góc bằng nhau  MN//Ax

là phân giác của góc BAC cố định

 N nằm trên đờng thẳng cố định đi qua M và //Ax

Giới hạn: N di động trên đoạn thẳng MK ( hình vẽ )

Ngợc lại: Lấy N là điểm tuỳ ý thuộc đoạn thẳng MK Qua N,M thứ tự vẽ các đờng thẳng song song với AC và AB chúng cắt nhau tại I, đờng nối CI cắt AB tại D, đờng nối DN cắt

AC tại E Ta dễ chứng minh đợc k

CE

BD NE

ND



Vậy quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng MK

b, ( Là trờng hợp riêng của câu a, học sinh tự giải)

c, Ta có: Khi D B thì E  C Khi đó O P là trung điểm của BC

Vẽ hình bình hành BCEF Lấy Q là trung của DF

Ta dễ chứng minh đợc  BPOQ là hbh

Suy ra PO //BQ (1)

Dễ thấy tia BF cố định

Trên các tia BF và BA ta lấy các điểm F’ và D’

cố định thoả mãn k

BF

BD

 '

'

Lấy Q’ là trung điểm của D’F’ Dễ thấy Q thuộc tia BQ’ cố định (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điểm O di động trên đờng

thẳng cố định đi qua P và song song với tia BQ’ cố định

Giới hạn: Dễ thấy O di động trên đoạn thẳng PH ( nh hình vẽ )

Ngợc lại: Lấy O là điểm tuỳ ý thuộc đoạn thẳng PH

Qua O kẻ đờng thẳng // BC, đờng thẳng này cắt BQ’ tại Q

Qua Q kẻ đờng thẳng // D’F’ cắt AB tại D Đờng nối DO cắt Ac tại E Ta dễ c/m đợc O là trung điểm của DE và k

CE

BD

 ( cho trớc) Vậy quỹ tích của điểm O là đoạn thẳng PH

Bài toán 21: Cho  ABC; điểm D di động trên cạnh AB, điểm E di động trên tia đối của tia CA.

a, Tìm quỹ tích trung điểm I của DE biết

AC

AB CE

BD

 ?

b, Tìm quỹ tích trung điểm I của DE biết k

CE

BD

 ? ( k >0 cho trớc)

GV: Tơng tự nh trên các em hãy tìm thêm và đề xuất các bài toán mới về dựng hình , cực trị

GV: Nh vậy, ở các bài toán trên nếu cho biết BD = CE chúng ta đã thu đợc nhiều kết quả hay Vấn đề thực tế cho thấy chúng ta lại thờng gặp những bài toán có hình thức khác với những bài toán cơ bản trên, giả thiết BD = CE bị chìm đi nhng chúng ta có thể chứng minh đợc.

Từ đó ta có tiếp một số các bài toán mới mang tính chất tổng hợp.

Bài toán 22: Cho  ABC nhọn ( AB < AC), kẻ đờng phân giác AD của góc BAC và trung tuyến AM( D, MBC ) Vẽ hai đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác ADM, hai đờng tròn cắt nhau tại điểm thứ hai là I, đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC thứ tự ở E và F Tia AD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J

a, Chứng minh : Ba điểm I, M, J thẳng hàng

b,Gọi K là trung điểm của EF, tia MK cắt AC và tia BA thứ tự tại P và Q Chứng minh tam giác PAQ cân