SKKN hình học 10

ở đây tôi chỉ đề cập đến cách giải các bài toán thuộc phần đờng thẳng bằng phơng pháp toạ độ.. Trong phần lý thuyết SGK hình học 10 đã nói rõ hai dạng phơng trình đờng thẳng là: “Phơng t

Mục lục

A Đặt vấn đề

Trong chơng trình hình học 10 đa vào chơng “Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng” Đây là chơng mở đầu cho việc Đại số hoá hình học Nó giúp cho học sinh

có thể giải các bài toán hình học dễ dàng hơn, phục vụ tốt hơn cho việc xây dựng

và phát triển các bài toán hình học Đây cũng là chơng mở đầu quan trọng vì các

phần tiếp theo nh “Phơng pháp toạ độ trong không gian”, “Hình học afin” sau này

đều đợc mở rộng một cách tơng tự

Đây cũng là một phần quan trọng trong các đề thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, thi đại học Phần lý thuyết rất đơn giản nhng dạng bài tập thì nhiều, các bài tập có mối quan hệ với những kiến thức hình học trớc đây đòi hỏi học sinh phải có

t duy lôgíc, có sự liên hệ giữa lý thuyết và thực tế mới có thể giải đợc

Trong SGK hình học 10 có đa vào ba bài: “Phơng trình đờng thẳng”, “Phơng trình đờng tròn” và “Phơng trình đờng elíp” với nội dung đã đợc giảm tải khá

nhiều Các bài tập thuộc ba bài trên có liên quan với nhau và đa số là những bài toán hình học đã biết giờ đợc gắn các con số để giải theo cách số hoá Vấn đề đặt ra

là làm sao cho học sinh thấy đợc mối quan hệ đó để có thể tự giải các dạng bài tập tơng tự Các dạng bài tập tôi đa ra chủ yếu dựa trên những mối quan hệ hình học đã biết để giải

ở đây tôi chỉ đề cập đến cách giải các bài toán thuộc phần đờng thẳng bằng phơng pháp toạ độ Mối liên hệ giữa lý thuyết về đờng thẳng trong mặt phẳng và cách giải bằng số hoá Mục đích là làm sao cho học sinh hiểu rõ các mối liên hệ và các dạng bài toán cơ bản để có thể giải các bài toán khác

B Nội dung

1 Thực trạng của vấn đề.

Trong phần lý thuyết SGK hình học 10 đã nói rõ hai dạng phơng trình đờng thẳng là: “Phơng trình tham số” và “Phơng trình tổng quát” và đã nói rõ mối quan

hệ giữa các dạng phơng trình với véctơ chỉ phơng và véctơ pháp tuyến Ngoài các công thức trong SGK, điều học sinh cần nắm đó là: muốn viết phơng trình đờng thẳng bắt buộc phải biết véctơ chỉ phơng hoặc véctơ pháp tuyến của đờng thẳng và một điều kiện ràng buộc của đờng thẳng (thông thờng là đi qua một điểm)

Vấn đề là học sinh thờng không nắm vững lí thuyết và không liên hệ đợc giữa lí thuyết với phơng pháp giải các bài toán nên dẫn đến sự nhầm lẫn và lời giải sai

2 Giải pháp thực hiện.

Đối với giáo viên:

Xây dựng đợc một hệ thống bài tập nhằm phát triển t duy logic của học sinh

Tổ chức cho học sinh hoạt động trong các tiết bài tập đồng thời nhắc lại và củng cố các kiến thức trọng tâm

Đối với học sinh:

Ôn tập và ghi nhớ lí thuyết

Hoạt động theo nhóm dới sự hớng dẫn của giáo viên

3 Phạm vi thực hiện

Học sinh 3 lớp 10A1; 10A5; 10A7

Tổ chức thực hiện chuyên đề này sau khi học sinh học xong bài ‘Phơng trình đờng thẳng’

4 Nội dung chuyên đề

Dạng toán 1: Trắc nghiệm.

Mục đích: Học sinh nhận biết đợc véctơ chỉ phơng, véctơ pháp tuyến của đờng thẳng và xác định đợc dạng phơng trình đờng thẳng Biết xác định vị trí tơng đối của hai đợc thẳng, xác định toạ độ giao điểm, tính khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng và tính góc giữa hai đờng thẳng

Bài 1: Cho A(-3;2) và B(1;4)

a) Toạ độ véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng đi qua hai điểm A, B là:

b) Toạ độ véctơ pháp tuyến của đờng thẳng đi qua hai điểm A, B là:

c) Toạ độ véctơ chỉ phơng của đờng thẳng song song với AB là:

d) Toạ độ véctơ pháp tuyến của đờng thẳng vuông góc với AB là:

Bài 2: Cho đờng thẳng ( ) : x2y 30

a) Toạ độ véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng song song với  là:

b) Toạ độ véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng vuông góc với  là:

Bài 3: Cho đờng thẳng 1 2

( ) :

3 3

 



 

 



a) Toạ độ véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng song song với là:

b) Toạ độ véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng vuông góc với  là:

Bài 4: Toạ độ véctơ chỉ phơng của đờng thẳng song song với trục Ox là:

Bài 5: Toạ độ véctơ pháp tuyến của đờng thẳng song song với trục Oy là:

Bài 6: Toạ độ véctơ chỉ phơng của đờng phân giác góc xOy là:

Bài 7: Toạ độ véctơ pháp tuyến của đờng phân giác góc phần t thứ II và IV là:

Bài 8: Phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua hai điểm A(2;-1) và B(2;5) là:

6

x t











5 6







 



x

2

x

y t











2 6

x







 



Bài 9: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng đi qua hai điểm A(3;-1) và B(-6;2) là:

C 3x y10 0 D x y 20

Bài 10: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng đi qua điểm O(0;0) và song song với

đờng thẳng 6x 4y 1 0 là:

A 4x6y 0 B 3x 2y 0

C 3x 2y 10 D 6x 4y 10

Bài 11: Phơng trình tổng quát của đờng thẳng đi qua điểm I(-1;2) và vuông góc với

đờng thẳng 2x y 4 0 là:

C x2y 30 D  x2y 50

Bài 12: Côsin của góc giữa hai đờng thẳng 10 6

1 5





 



1 '

 





 



:

A 11

1

1

11 122

Bài 13: Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng 4x 3y 260 và 3x4y 7 0 :

Bài 14: Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng 1 2

7 5

 





 



và 1 4 '

6 3 '

 





 



:

Bài 15: Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng 22 2

55 5







và 2x3y 190:

Bài 16: Khoảng cách từ điểm M(1;3) đến đờng thẳng 3x  y 4 0 là:

Bài 17: Khoảng cách từ M(2;0) đến đờng thẳng 1 3

2 4

 





 



là:

10

5 2

Bài 18: Côsin của góc giữa hai đờng thẳng 2x3y 100 và 2x 3y 4 0:

A 13 B 5

13

C 5 13

D 6 13

Bài 19: Côsin của góc giữa hai đờng thẳng 3x4y 1 0 và 15 12

1 5





 



:

A 56

6

63

33 65

Bài 20: Chọn từ thích hợp từ các từ sau: Song song; Trùng nhau; Cắt nhau nhng

không vuông góc; Vuông góc để điền vào dấu ( ) về vị trí tơng đối của các cặp đ-ờng thẳng sau:

a) x 2y 1 0 và 3x6y 10 0

b) 11x 12y 1 0 và 12x 11y 9 0

x y

  và 6x 2y 80

x y

  và 3x4y 100

3 6

 





 



và 7 5 '

3 6 '

 





 



2 6

 





 



và 1 2 '

4 3 '

 





 



1 3

 





 



và 3x2y 140

h) 7x2y 10 và 4

1 5

 





 



Dạng toán 2: Cơ bản.

Mục đích: Học sinh hiểu và viết đợc phơng trình đờng thẳng Biết vận dụng những kiến thức liên quan để giải bài tập

Bài 1 : Cho hai điểm A(1;-3) và B(-2;6)

a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B

b) Viết phơng trình đờng trung trực của đoạn thẳng AB

Hớng dẫn:

- Đờng thẳng AB có véctơ véctơ chỉ phơng hay véctơ pháp tuyến đợc xác định nh thế nào? Từ đó suy ra phơng trình AB

- Đờng trung trực của AB có véctơ véctơ chỉ phơng hay véctơ pháp tuyến đợc xác

định nh thế nào và đi qua điểm nào? Từ đó suy ra phơng trình đờng trung trực của AB

Bài 2 : Cho tam giác ABC biết A(2;5), B(-1;4), C(3;2)

a) Viết phơng trình các đờng cao AH, BH, CH của tam giác ABC

b) Viết phơng trình các đờng trung tuyến trong tam giác ABC

Hớng dẫn:

- Tìm véctơ pháp tuyến của các đờng cao Từ đó suy ra phơng trình các đờng cao

- Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, AC Từ đó viết phơng trình các đờng trung tuyến

Bài 3 : Cho tam giác ABC Gọi M(1;2), N(3;-1), P(-4;-2) lần lợt là trung điểm của

AB, BC và CA Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC

Hớng dẫn:

- Các cạnh của tam giác có véctơ chỉ phơng hay véctơ pháp tuyến đợc xác định nh thế nào?

- Viết phơng trình các cạnh của tam giác đi qua trung điểm và có véctơ chỉ phơng

t-ơng ứng

Bài 4 : Cho ba điểm A(5;-1), B(3;7), I(-2;3) Lập phơng trình đờng thẳng qua I và

cách đều hai điểm A, B

Hớng dẫn:

- Đờng thẳng cách đều hai điểm A, B có tính chất gì?

- Căn cứ vào tính chất của đờng thẳng cần tìm, hãy chỉ ra véctơ chỉ phơng hoặc véctơ pháp tuyến của đờng thẳng?

Bài 5 : Cho đờng thẳng ( ) : 3d x 4y 1 0 Hãy viết các phơng trình đờng thẳng song song và cách (d) một khoảng bằng 1?

Hớng dẫn:

- Xác định dạng của đờng thẳng song song với (d)?

- Cách tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng song song?

- Dự đoán có bao nhiêu đờng thẳng thoả mãn bài toán?

- Gắn vào bài tập để viết các đờng thẳng cần tìm?

Bài 6 : Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC biết toạ độ các đỉnh A(-1;2), B(5;7),

C(4;-3)

Hớng dẫn:

- Trực tâm là giao của ba đờng nào trong tam giác?

- Cần viết mấy phơng trình đờng cao?

- Ngoài ra có thể dùng phơng pháp véctơ để tìm toạ độ trực tâm tam giác

Bài 7 : Cho điểm M(1;6) và đờng thẳng ( ) : 2d x 3y 3 0

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) đi qua M và song song với (d)

b) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) qua M và vuông góc với (d), xác định toạ độ hình chiếu của M lên đờng thẳng (d)

Hớng dẫn:

- Đờng thẳng (d1) song song với (d) có dạng nh thế nào? Và đi qua M suy ra phơng trình (d1)

- Đờng thẳng (d2) vuông góc với (d) có dạng nh thế nào? Và đi qua M suy ra phơng trình (d2)

- Toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên đờng thẳng (d) là giao điểm của hai đờng thẳng nào? Từ đó suy ra toạ độ hình chiếu của M

Bài 8 : Cho đờng thẳng ( ) : 2d x y 4 0 và hai điểm M(3;3), N(-5;19) Hạ MK(d) tại K và gọi P là điểm đối xứng của M qua (d)

a) Tìm toạ độ của K và P?

b) Tìm điểm A trên (d) sao cho AM+AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó?

Hớng dẫn:

- Xác định K là giao điểm của hai đờng thẳng nào? Từ đó suy ra cách tìm toạ độ

điểm K

- Xác định mối quan hệ giữa ba điểm M, K và P? Từ đó suy ra cách tìm toạ độ

điểm P

- Có nhận xét gì về vị trí của M và N so với (d)? (Đây là phần ứng dụng bất phơng trình bậc nhất hai ẩn)

- Sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đờng thẳng, so sánh AM+AN và

AP+AN Từ đó nhận xét tổng AP+AN nhỏ nhất khi nào?

- Điểm A là giao của hai đờng thẳng nào? Suy ra toạ độ điểm A

Bài 9 : Cho hai đờng thẳng ( ) : d1 x2y 3 0 và ( ) : 2d2 x y  3 0

Lập phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng (d1) và (d2)

Hớng dẫn:

- Những điểm nằm trên đờng phân giác có tính chất gì?

- Gọi M(x;y) nằm trên đờng phân giác thì khoảng cách từ M đến (d1) và (d2) bằng nhau Từ đó suy ra phơng trình đờng phân giác phải tìm

Bài 10 : Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) Lập phơng trình đờng thẳng qua P sao cho

khoảng cách từ Q đến đờng thẳng đó bằng 3

Hớng dẫn:

- Phơng trình đờng thẳng qua P có dạng nh thế nào (với điều kiện kèm theo)?

- áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm Q đến đờng thẳng bằng 3

- Giải phơng trình hai ẩn bằng cách chọn giá trị cho một ẩn và tìm giá trị của ẩn còn lại (giá trị của hai ẩn phải thoả mãn điều kiện)?

- Kết luận phơng trình đờng thẳng tìm đợc

Dạng toán 3: Tổng hợp.

Mục đích: Học sinh biế t duy lôgíc, liên hệ kiến thức đã biết để áp dụng giải bài tập

Bài 1 : Tam giác ABC biết A(2;-1) Phơng trình các đờng cao BH và CH lần lợt là:

2x y 1 0 và 3x  y 2 0

Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC và đờng cao thứ ba?

Hớng dẫn:

- Viết phơng trình cạnh AB qua A và vuông góc với CH

- Viết phơng trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH.

- Tìm toạ độ B, C Viết phơng trình cạnh BC

- Viết phơng trình đờng cao AH qua A và vuông góc với BC

Bài 2 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;-1) và phơng trình các cạnh AB:

4x y 150 và AC: 2x5y 3 0

a) Tìm toạ độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC

b) Tìm toạ độ đỉnh B và viết phơng trình cạnh BC

Hớng dẫn:

- Toạ độ đỉnh A là giao của AB và AC

- Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác để tìm toạ độ điểm M thông qua toạ độ đỉnh A

- Gọi toạ độ đỉnhB, C Dựa vào mối liên hệ với điểm M và giả thiết để tìm toạ độ B

- Viết phơng trình cạnh BC khi biết toạ độ B, C

Bài 3 : Cho tam giác ABC với đờng cao BH: x y 10, đờng cao CH:

3x y 1 0

    và cạnh BC: 5x y 50

Lập phơng trình các cạnh AB, AC và đờng cao AH của tam giác ABC

Hớng dẫn:

- Tìm toạ độ đỉnh B Viết phơng trình cạnh AB vuông góc với CH

- Tìm toạ độ đỉnh C Viết phơng trình cạnh AC vuông góc với BH

- Tìm toạ độ đỉnh A Viết phơng trình đờng cao AH vuông góc với BC

Bài 4 : Cho tam giác ABC biết đỉnh A(-1;0), hai đờng trung tuyến xuất phát từ B và

C lần lợt có phơng trình: 5x y 9 0 và 4x5y 100

a) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

b) Lập phơng trình ba cạnh của tam giác ABC

Hớng dẫn:

- Toạ độ trọng tâm G là giao của hai đờng trung tuyến

- Tơng tự bài 2 Tìm toạ độ trung điểm M của BC và từ đó tìm toạ độ B, C

- Viết phơng trình ba cạnh của tam giác khi biết ba đỉnh

Bài 5 : Cho tam giác ABC biết AB x y:   2 0 và AC: 2x y  7 0 Trực tâm

10 4

;

3 3

H  

Viết phơng trình các đờng cao trong tam giác và cạnh BC

Hớng dẫn:

- Tìm toạ đỉnh A và vhiết phơng trình đờng cao AH

- Viết phơng trình đờng cao BH qua H và vuông góc với AC Suy ra toạ độ đỉnh B

- Viết phơng trình đờng cao CH qua H và vuông góc với AB Suy ra toạ độ đỉnh C

- Viết phơng trình BC khi biết toạ độ B, C

Bài 6: Cho tam giác ABC biết phơng trình ba cạnh AC: 3x4y 6 0 ,

: 4 3  1 0

AB x y , BC y: 0

a) Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Viết phơng trình đờng phân giác trong góc A

Hớng dẫn:

- Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C

- Viết phơng trình đờng trung trực của AB và BC Giao của hai đờng trung trực là tâm đờng tròn ngoại tiếp phải tìm

- Viết phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi AB và AC

- Kiểm tra điều kiện B, C nằm về hai phía của đờng phân giác trong góc A ta đợc phơng trình đờng phân giác phải tìm (Dùng bất phơng trình bậc nhất hai ẩn)

Bài tập áp dụng

Bài 1 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai đờng trung

tuyến xuất phát từ B và C có phơng trình là: x 2y 1 0 và y 1 0

Bài 2 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(-4; 5) và hai đờng cao hạ

từ hai đỉnh còn lại có phơng trình 5x3y 4 0 và 3x8y13 0

Bài 3: Cho đờng thẳng ( ) : d x y  1 0 và ba điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4)

a) Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) sao cho AM+BM nhỏ nhất

b) Tìm điểm N thuộc đờng thẳng (d) sao cho AN+CN nhỏ nhất

Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh BC có phơng trình: 2x 3y 5 0 , cạnh AB có phơng trình: x y  1 0 Đờng thẳng AC đi qua điểm M(1;1) Tìm toạ độ đỉnh C

Bài 5 : Cho tam giác ABC có phơng trình hai cạnh là: 5 x 2y 6 0 và

4x7y 21 0 Viết phơng trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc toạ độ

Bài 6 : Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0; 2) và B( 3; 1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đờng tròn ngoaih tiếp tam giác OAB

Bài 7 : Tam giác ABC có phơng trình cạnh AB: 5x 3y 2 0 Các đờng cao qua

đỉnh A và B theo thứ tự là: 4x 3y 1 0 và 7x2y 22 0

Lập phơng trình hai cạnh AC, BC và đờng cao thứ ba.

Bài 8 : Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3), trọng tâm G(4;-2), dờng trung trực của

AB có phơng trình là: 3x2y 4 0 Xác định toạ độ đỉnh B, C ?

Bài 9 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), phơng trình đờng

cao qua A và đờng phân giác ngoài của góc C lần lợt có phơng trình là:

3x 4y27 0 và x2y 5 0

đáp án của các bài tập Dạng toán 1: Trắc nghiệm.

Bài 20:

a) x 2y 1 0 và 3x6y 10 0 song song

b) 11x 12y 1 0 và 12x 11y 9 0 cắt nhau nhng không vuông góc

x y

  và 6x 2y 80 cắt nhau nhng không vuông góc

d) 1

x y

  và 3x4y 100 vuông góc

3 6

 





 



và 7 5 '

3 6 '

 





 



cắt nhau nhng không vuông góc

2 6

 





 



và 1 2 '

4 3 '

 





 



.song song

1 3

 





 



và 3x2y 140 trùng nhau

h) 7x2y 10 và 4

1 5

 





 



cắt nhau nhng không vuông góc

Dạng toán 2: Cơ bản.

Bài 1:

a, Phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua 2 điểm A, B là 1

3 3

 





 



b, Phơng trình tổng quát của đờng trung trực của đoạn thẳng AB là

x- 3y+5 = 0 Bài 2:

a, Phơng trình tổng quát các đờng cao của tam giác ABC

AH: 2x - y + 1= 0 BH: x - 3y +13 = 0 CH: 3x + y -11 = 0

b, Phơng trình tham số của các đờng trung tuyến của tam giác ABC

5 2

 





 



y t BN:

1 7 4

 





 



y t CP:

3 2

 





 



Bài 3:

Phơng trình tham số của đờng thẳng chứâ cạnh AB là 1 7

2

 





 

