giao điểm của đờng thẳng AO với đờng tròn O; R và điểm O thuộc đoạn thẳng AD.
Trang 1Trờng THCS: Yên Trờng
Đề thi môn:Toán Thời gian làm bài: 150p
Họ và tên ngời ra đề: Trịnh Thị Giang Các thành viên thẩm định đề(Đối với những môn có từ 2 GV trở lên):………
Đề thi
Câu1:
Cho biểu thức: A= (
x x
x
x x
x
x
−
+ + +
+
−
+
1
1 1 1
2
) :
2
1
−
x
Với x>0 và x≠ 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng: 0< A < 2
Câu2: Cho các đờng thẳng
(d1): y = mx -5
(d2): y = -3x +1
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2) khi m = 3
b) Xác định giá trị của m để M(3; -8) là giao điểm của (d1) và (d2)
Câu3: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 1+ 3 x− 16 = 3 x+ 3
b) xy – x – y = 5
yz - y- z = 5
zx –z –x =7 Câu4: Cho hai đờng tròn có chung tâm là điểm Ovà có bán kính lần lợt là R và
2
R
Từ một điểm A cách tâm O Một đoạn OA = 2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đờng tròn (O ; R) Gọi D là
Trang 2giao điểm của đờng thẳng AO với đờng tròn (O; R) và điểm O thuộc đoạn thẳng AD
a) Chứng minh đờng thẳng BC tiếp xúc với đờng tròn (O ;
2
R
) b) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều
c) Chứng minh rằng đờng tròn (O ;
2
R
) nội tiếp trong tam giác BDC
Câu5: Cho x> 0; y>0 và x+y ≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 5x + 3y + 12x +16y
Hớng dẫn chấm:
Câu1: Điểm = 4
a
2
1 :
1
1 1 1
2
3
−
−
− + +
+
−
+
x x
x
x x
x
−
− + +
+ + +
−
+
=
1
1 1 1
1
2
x x
x
x x
x x
x
2 1
1
1 1
2
− +
+
−
+ +
−
− +
+
=
x x
x x
x x x
x x
2 1
1
1 2
2
2
+ +
= + +
−
−
=
x x x
x
x
x
(0,5 đ)
b
Vì x> 0 nên x+ x+ 1 > 1
1
2 ⇒ >
+ +
x x
1
2 1
1
+ +
⇒
>
+ +
⇒
>
x x x
x
Từ (1) và (2) ta có: 0 < A< 2 (0,5 đ)
Câu2: Điểm = 4
a Với m= 3, ta có (d1): y = 3x− 5 (0,5 đ)
Gọi A(x, y), hoành độ điểm A là nghiệm của phơng trình
1 3
5
3x− = − x+
Trang 36 =
⇔ x
1
=
⇔ x
Thay x= 1 vào (d2); y= 3 1 − 5 = − 2
Vậy A(1;-2)
b Vì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2) tức M(3;-8) thuộc
đ)
Thay x= 3 ;y= − 8 ta có:
8
5
3
3 =
1
−
=
Vậy với m= − 1 thì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2)
Câu 3: Điểm =
a Đặt 3 x+ 3 =a; 3 x− 16 =b (0,25 đ)
19 16 3
3
Và 1 +b=ahay a−b= 1 (2)
Từ (1) và (2): (a−b) (a2 +ab+b2)= 19 ⇔a2 +ab+b2 = 19
0 6
3
=
⇔a hoặc a= − 2
Với a= 3ta có: 3 x+ 3 = 3 ⇔x+ 3 = 27 ⇔ x= 24 (0,25 đ)
Với a= − 2ta có: 3 x+ 3 = − 2 ⇔ x+ 3 = 8 ⇔x= − 11 (0,25 đ)
b
=
−
−
=
−
−
=
−
−
7 11 5
x
z
zx
z y
yz
y x
xy
Thêm 1 vào mỗi vế rồi phân tích thành nhân tử ta đợc hệ:
=
−
−
=
−
−
=
−
−
8 ) 1 )(
1 (
12 ) 1 )(
1 (
6 ) 1 )(
1 (
x z
z y
y x
(0,5 đ)
Dễ thấy x≠ 1 ;y≠ 1 ;z ≠ 1 Nhân từng vế các phơng trình trong hệ ta
đợc
( 1)( 1)( 1 ) 24
576 1
) 1 (
±
=
−
−
−
=
−
−
−
z y x
z y
x
Chia từng vế của phơng trình này lần lợt với các phơng trình của
hệ trên, đợc nghiệm là: (3;4;5) và (-1;-2;-3)
(0,5)
(0,5 đ) (0,5 đ) B
D A
C
F
E
I O
Trang 4a áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông vào tam giác OBA, vuông tại B và BE OA, ta có;
=> OE=
2 2
2
R
R OA
Vậy điểm E nằm trên đờng tròn (O;
2
R
) Mặt khác ta có: OE BC=> BC tiếp xúc với đờng tròn (O;
2
R
) tại
điểm E
b Trong tam giác vuông ABO, ta có
2 2 2 2 2
Trong tam giác vuông BEO, ta có:
4
3 2
2 2 2
2 2
R OE OB
−
=
−
3
2
R
EB=
Từ đây ta có: BC=AB=AC=R 3
Tam giác ABC là tam giác đều
Từ giác ABCD có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm
=> AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam giác BCD đều (0,25
đ)
c Tam giác BCD là tam giác đều: OE=
3
1
ED nên O là trọng tâm của tam giác đều (0,5 đ)
=> OE=OF=OI=
2
R
(0,5 đ)
3
R
AB=
⇒
(0,5 đ) (0,5 đ)
(0,5 đ) (0,5 đ)
Trang 5=> đờng tròn (O;
2
R
) nội tiếp trong tam giác BCD (0,5 đ) Câu 5: Điểm =
y
y x
x y
y x x y
x
P 2 3 12+ +16≥ 12 + 2 3 12 + 2 16
+ +
+
(0,5 đ)
32 8
12
12 + + =
Dờu “=” xảy ra
x
x 12
3 =
2
=
⇔ x và y= 4
Vậy min P= 32 khi và chỉ khi x= 2 ;y= 4 (0,5 đ)