Khi đó hãy tìm đa thức thương.. Vẽ đường tròn tròn tâm A bán kính AH.. a/ Tính diện tích tứ giác BMNC b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA.
Trang 1
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn : Toán
Thời gian : 120phút
( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : ( 4 điểm )
a/ Chứng minh rằng : A = 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n chia hết cho 24 với mọi n ∈ N b/ Tìm các hệ số a, b để đa thức x4 + ax2 + b chia hết cho đa thức x2 - 3x + 2
Khi đó hãy tìm đa thức thương
Bài 2 : ( 4 điểm )
a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 +
+ +
+ +
+
+
−
=
y x y
x xy
y x y x xy
xy
y x
) (
2 2
1
1 1
b/ Giải phương trình : + = x2 - 10x + 27
Bài 3 : ( 4 điểm )
a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng : + - <
b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ?
M = x -
Bài 4 : ( 4 điểm )
Cho a, b, clà độ dài 3cạnh của ∆ ABC Gọi m, n, k là độ dài các đường phân giác trong của 3góc của ∆ ABC Chứng minh rằng :
+ + > + +
Bài 5 : ( 4 điểm )
Cho ∆ ABC vuông tại A , đường cao AH , HB = 20 cm , HC = 45 cm Vẽ đường tròn tròn tâm A bán kính AH Kẻ các tiếp tuyến BM , CN với đường tròn ( M , N là các tiếp điểm , khác điểm H )
a/ Tính diện tích tứ giác BMNC
b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA Tính các độ dài AK , KN
c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB Tính các độ dài IM , IB
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1 : ( 4 điểm )
a/ Với mọi n ∈ N, tacó :
A = 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n = n ( 3n3 - 14n2 + 21n - 10 )
= n ( 3n3 - 3n2 - 11n2 + 11n + 10n - 10 ) = n ( n - 1 ) ( 3n2 - 11n + 10 )
= n ( n - 1 ) ( 3n2 - 6n - 5n + 10 ) = n ( n -1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 5 )
= n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 9 + 4 )
= 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 4n ( n - 1 ) ( n -2 )
* Vì n - 2 , n - 1 , n là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số + 2 và 1 số + 3
Mà ( 2, 3 ) = 1 ; 2 3 = 6 nên n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 6
⇒ 4n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 24 (1)
* Mặt khác : n , n - 1, n - 2 , n - 3 là 4số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và do
đó có 1số + 2 và số còn lại + 4
Nên n ( n - 1) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 8 ⇒ 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 24 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A = 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n + 24 với ∀n ∈ N
b/ Chia x4 + ax2 + b cho x2 - 3x + 2 được thương là x2 + 3x + a + 7 dư là
( 3a + 15 ) x + b - 2a - 14
Tacó phép chia hết ⇔
=
−
=
⇔
=
−
−
= +
4
5 0
14 2
0 15 3
b
a a
b
a
Vậy đa thức thương là : x2 + 3x + 2
Bài 2 : ( 4 điểm )
a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 +
xy
y x
xy xy xy
y x
y x xy
y x xy
xy
y x
y x xy
xy y
x xy xy
y x
y x xy y
x xy
y x xy
xy
y x
xy
y x y
x y
x xy
y x xy xy
y x
y x
y x xy
y x y x xy
xy
y x A
−
=
−
=
+
+
−
=
+
+ +
−
=
+
+ +
+
−
=
+
+ +
+
−
=
+ +
+ +
+
+
−
=
1 :
) (
:
) (
2 :
) (
2 )
( :
) (
2 )
(
1
:
1 1 ) (
2 2
1
1 1 :
2 2 2
2 2
3 2
3
Trang 3Tacó :
xy
xy y
x
=
) 3 2 )(
3 2 (
) 3 2 )(
3 2 ( 2 3 2 3 2
+
−
+
−
− + +
−
=
A
Suy ra A = - ( vì x < y )
b/ + = x2 - 10x + 27
Đk : 4 ≤ x ≤ 6
Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được :
+ = + ≤ + = 2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 5
1 6
1 4
=
⇔
=
−
=
−
x x
x
Mặt khác : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 )2 + 2 ≥ 2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x - 5 = 0 ⇔ x = 5
Do đó : + = x2 - 10x + 27 ⇔ x = 5
Vậy nghiệm của pt là + x = 5
Bài 3 : ( 4 điểm )
a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng : + - < Tacó : ( a + b - c )2≥ 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac ≥ 0
⇒ 2ab - 2bc - 2ac ≤ a2 + b2 + c2
Mà a2 + b2 + c2 = < 2 nên 2ab - 2bc - 2ac < 2
⇒ < ( a , b, c > 0 )
⇒ + - <
b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ?
M = x - = ( x - 2009 ) - + + 2009 -
= ( - )2 + 2008 ≥ 2008
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ - = 0 ⇔ x - 2009 = ⇔ x = 2009
Vậy GTNN của M là 2008 ⇔ x = 2009
Bài 4 : ( 4 điểm )
Trang 41
1 M
D
A
Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M ⇒ A1 = M1 ; A2 = C1
Mà A1 = A2 ( AD là tia phân giác của góc A )
Nên M1 = C1 ⇒ AM = AC
Xét ∆ AMC : MC < AM + AC = 2AM
Xét ∆ BMC ta có : AD // MC ⇒ = =
Nên AD = < ⇒ > ( + )
⇔ > ( + )
Tương tự : > ( + ) ; > ( + )
Vậy + + > + +
Bài 5 : ( 4 điểm )
Trang 5A
B M
N
a/ Tính diện tích tứ giác BMNC
Tacó : M, A, N thẳng hàng , tứ giác BMNC là hình thang
SBMNC = SABM + SABH + SAHC + SANC = 2SABH + 2SACH = 2SABC
Áp dụng hệ thức về đường cao và ình chiếu trong tam giác vuông ABC :
AH2 = HB HC = 20.45 = 900
⇒ AH = 30 cm
Vậy SBMNC = 2SABC = 2 AH BC = 30 65 = 1950 cm2
b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA Tính các độ dài AK , KN
Tacó : ∆NKA ∽ ∆HKC ( g - g )
⇒ = =
⇒ = =
⇒ 45NK = 30KA + 900 ⇒ 3NK - 2KA = 60 ⇒ 6NK - 4KA = 120 45KA = 30KN + 1350 2KN - 3KA = - 90 6NK - 9KA = - 270 ⇒ 5KA = 390 ⇒ KA = 78 ⇒ KN = 72
Vậy AK = 78cm và KN = 72cm
c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB Tính các độ dài IM , IB
Tacó ∆HKC = ∆NIC ( cgv - gn kề cạnh ấy )
⇒ KC = IC = 72 + 45 = 117 ⇒ IB = IC - BC = 117 - 65 = 52
KH = IN = 78 + 30 = 108 ⇒ IM = IN - MN = 108 - 60 = 48
Vậy IM = 48 cm và IB = 52 cm