Chu.o.ng 1KH ˆ ONG GIAN TUYˆE´N T´INH D - I.NH CHUˆA’N Kh´ai niˆe.m khˆong gian tuyˆe´n t´ınh hay khˆong gian vecto.. Mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n tı´nh hay khˆong gian vecto... Cho B l`a m
Trang 1§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m
NGUYÔN HOµNG Vµ L£ V¡N H¹P
Gi¸o tr×nh
gi¶i tÝch hµm
HuÕ - 2014
Trang 2Va `o n˘ am 1932, Banach xuˆ a´t ba’n cuˆ o´n sa ´ ch “Ly ´ thuyˆ ´t toa e ´ n
tu ’ ”, nˆ o.i dung bao gˆo ` m nh˜ u.ng kˆ ´t qua’ d¯u.o e c biˆ´t va e `o th` o.i d ¯o ´ vˆ ` ly e ´
thuyˆ ´t ca e ´ c khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n, d¯˘a.c biˆe.t la` ca ´ c d ¯i.nh ly ´ cu’a Banach
d ¯a ˜ cˆ ong bˆ o´ trong ca ´ c ba `i ba ´ o t` u n˘ am 1922-1929 Cuˆ o´n sa ´ ch na `y la `m
cho Gia’i tı ´ch ha `m co ´ mˆ o.t ta ´ c d ¯ˆ o.ng nhu cuˆo´n sa´ch cu’a Van der Waerden
vˆ ` d¯a.i sˆo´, d¯u.o c xuˆa´t ba’n hai n˘am tru.´o.c d¯o´ Ca´c nha` gia’i tı´ch trˆen e
thˆ ´ gi´ e o.i b˘ a ´t d¯ˆ ` u nhˆ a a.n th´u c d¯u.o c s´u.c ma.nh cu’a phu.o.ng pha´p m´o.i va`
a
´ p du.ng chu ´ ng va `o ca ´ c lı ˜nh vu. c kha´ c nhau; ca ´ c ky ´ hiˆ e.u va` thuˆa.t ng˜u.
cu’a Banach d ¯u.o. c chˆa´p nhˆ a.n rˆo.ng ra ˜ i, khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n d¯ˆa ` y d¯u’
d ¯u.o. c go i la` khˆ ong gian Banach rˆ ` i ch˘ o a’ng bao lˆ au, ly ´ thuyˆ ´t na e `y tro ’
tha `nh mˆ o.t phˆa ` n b˘ a ´t buˆ o.c trong chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c
J Dieudonne´ (1981)
Gia’i tı´ch ha`m la` mˆo.t nga`nh cu’a gia’i tı´ch toa´ n ho.c nghiˆen c´u.u ca´c d¯ˆo´i tu.o ng
va` cˆa´u tru´ c toa´ n ho.c tr`u.u tu.o ng, tˆo’ng qua´t ho.n ca´c khˆong gian Rn thˆong thu.`o.ng
Ca´ c kˆ´t qua’ vae ` phu.o.ng pha´ p cu’a no´ thˆam nhˆa.p va`o nhiˆe` u nga`nh kha´ c nhau nhu
ly´ thuyˆ´t phu.o.ng trı`nh vi phˆe an thu.`o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ly´ thuyˆ´te
ca´ c ba`i toa´ n cu. c tri va` biˆ´n phˆe an, phu.o.ng pha´ p tı´nh, Ra d¯`o.i va`o nh˜u.ng n˘am
d¯ˆ` u cu’a thˆea ´ ky’ 20, d¯ˆe´n nay gia’i tı´ch ha`m tı´ch lu˜ y d¯u.o. c nh˜u.ng tha`nh tu. u quantro.ng va` no´ d¯a˜ tro.’ tha`nh chuˆa’n mu. c trong viˆe.c nghiˆen c´u.u va` trı`nh ba`y ca´c kiˆe´nth´u.c toa´ n ho.c
Gia´ o trı`nh na`y da`nh cho sinh viˆen ca´ c l´o.p Toa´ n D- a.i ho.c Su pha.m, d¯u.o c viˆe´t
ra trˆen co so.’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch ha`m d¯a˜ d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa´ n D- a.i ho.c Su.pha.m Huˆe´ trong nh˜u.ng n˘am v`u.a qua D- ˆay cu˜ ng la` ho.c phˆa` n b˘a´t buˆo.c cuˆo´i cu`ng
vˆ` mˆe on gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c trong chı´nh khoa´
Nˆo.i dung gia´ o trı`nh gˆ` m 5 chu.o.ng lyo ´ thuyˆ´t vae ` co´ phˆ` n hu.´a o.ng dˆa˜n gia’i ba`i
tˆa.p cu`ng phu lu.c Hai chu.o.ng d¯ˆa`u da`nh cho viˆe.c trı`nh ba`y nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c co.ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly´ quan trong cu’a gia’i
tı´ch ha`m tuyˆ´n tı´nh Cae ´ c chu.o.ng co`n la.i xe´ t ca´ c vˆa´n d¯ˆ` cu thˆe’ ho.n nhu ca´cekhˆong gian L p, khˆong gian Hilbert va` ca´ c vˆa´n d¯ˆ` liˆen quan d¯ˆee ´n toa´ n tu.’ tuyˆe´n
tı´nh Ca´ c nˆo.i dung na`y phu` ho p v´. o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n ha`nh cu’a nga`nh toa´ n ca´ c
Typeset by AMS-TEX
1
Trang 3tru.`o.ng su pha.m, d¯u.o c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆam tinh gia’n va` co ba’n giu´p sinhviˆen co´ d¯u.o. c ca´ i nhı`n thˆo´ng nhˆa´t d¯ˆo´i v´o.i nga`nh gia’i tı´ch.
Mˆon ho.c na`y kˆe´ th`u.a va` pha´t triˆe’n ca´c kiˆe´n th´u.c cu’a ca´c ho.c phˆa`n gia’i tı´chtru.´o.c d¯o´ Do d¯o´ sinh viˆen cˆ` n ˆa on la.i ca´ c kiˆ´n th´e u.c vˆ` khˆe ong gian mˆetric, tˆo pˆo,
ly´ thuyˆ´t d¯ˆe o d¯o, tı´ch phˆan cu˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ang tı´nh toa´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’
d¯iˆe’n D- ˆe’ giu´ p sinh viˆen tˆa.p vˆa.n du.ng kiˆe´n th´u.c d¯a˜ ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co´ mˆo.t sˆo´
ba`i tˆa.p tu.o.ng ´u.ng Phˆa`n cuˆo´i co´ hu.´o.ng dˆa˜n va` gia’i mˆo.t sˆo´ ca´c ba`i tˆa.p nhu la`nh˜u.ng go. i y´ d¯ˆe’ sinh viˆen co´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n
Ca´ c ta´ c gia’ xin d¯u.o. c ca´ m o.n ca´ c d¯ˆ` ng nghiˆe.p o.’ Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa´n,oTru.`o.ng d¯a.i ho.c Su pha.m Huˆe´ d¯a˜ d¯o´ng go´p y´ kiˆe´n va` ta.o d¯iˆe`u kiˆe.n d¯ˆe’ gia´o trı`nh
na`y ra d¯`o.i Chu´ ng tˆoi mong nhˆa.n d¯u.o c nh˜u.ng phˆe bı`nh, go´p y´ d¯ˆe’ nh˜u.ng lˆa`n insau gia´ o trı`nh d¯u.o. c bˆo’ sung va` ca’i tiˆ´n tˆe o´t ho.n
Trang 4Chu.o.ng 1
KH ˆ ONG GIAN TUYˆE´N T´INH D - I.NH CHUˆA’N
Kh´ai niˆe.m khˆong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆong gian vecto.) l`a mˆo.t trong nh˜u.ngkh´ai niˆe.m quan tro.ng v`a co ba’n cu’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i C´ac vˆa´n d¯ˆe` cu’a d¯a.i sˆo´tuyˆe´n t´ınh nhu l´y thuyˆe´t d¯i.nh th´u.c, ma trˆa.n, hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh,
d¯u.o. c ph´at biˆe’u v`a tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach nhˆa´t qu´an trˆen ngˆon ng˜u v`a cˆa´u tr´uc cu’akhˆong gian vecto Trong gia’i tı´ch, khi l`am to´an trˆen c´ac tˆa.p R hay Rn ch´ung takha´ quen thuˆo.c v´o.i cˆa´u tr´uc sˆo´ ho.c cu’a tˆa.p n`ay Tuy nhiˆen bu.´o.c v`ao c´ac l˜ınh
vu. c kh´ac, ch˘a’ng ha.n l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh vi phˆan, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan,khi pha’i thu.`o.ng xuyˆen l`am viˆe.c trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆo´, ta cˆa` n xˆay du. ng c´ac cˆa´utr´uc khˆong gian tuyˆ´n tı´nh d¯ˆe’ thu.e c hiˆe.n ca´ c phe´ p toa´ n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am
sˆo´ d¯´o D- ˆo` ng th`o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l`am to´an gia’i t´ıch d¯u.o. c trˆen c´ac khˆong gian ˆa´y mˆo.tc´ach tu. nhiˆen ch´ung ta pha’i d¯u.a cˆa´u tr´uc mˆetric v`ao cho ch´ung Tuy nhiˆen nˆe´unghiˆen c´u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´uc khˆong gian vecto v`a cˆa´u tr´uc khˆong gian mˆetric th`ı
ta s˜e khˆong thu d¯u.o. c d¯iˆ` u g`ı m´e o.i Chu´ ng ta hy vo.ng r˘a`ng v´o.i su kˆe´t ho p nhˆa´t
d¯i.nh gi˜u.a hai cˆa´u tr´uc n`ay th`ı c´ac vˆa´n d¯ˆe` nghiˆen c´u.u c`ung nh˜u.ng kˆe´t qua’ m´o.is˜e xuˆa´t hiˆe.n nhiˆe` u ho.n C´ac nˆo.i dung d¯´o s˜e d¯u.o c lˆa`n lu.o t tr`ınh b`ay qua c´acchu.o.ng cu’a gi´ao tr`ınh n`ay Mo.’ d¯ˆ` u, mu.c §1 da`nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ai niˆe.mav`a t´ınh chˆa´t d¯a˜ biˆe´t liˆen quan d¯ˆe´n khˆong gian vecto Ca´ c mu.c kha´ c la` nˆo.i dungm´o.i cu’a chu.o.ng na`y
§1 KH ˆONG GIAN TUYˆE´N T´INH
1.1 D- i.nh ngh˜ıa Mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n tı´nh hay khˆong gian vecto X trˆen
mˆo.t tru.`o.ng K l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac trˆo´ng X, c´o trang bi hai ph´ep to´an cˆo.ng (+)
v`a ph´ep nhˆan ngo`ai (nhˆan vˆo hu.´o.ng) nghiˆe.m d¯´ung c´ac tiˆen d¯ˆe` sau:
1) (X, +) l`a mˆo.t nh´om Abel, ngh˜ıa l`a: v´o.i mˆo˜i c˘a.p phˆa`n tu.’ (x, y) ∈ X × Xcho ´u.ng v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a X k´y hiˆe.u x + y, go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y, thoa’ m˜an
a x + y = y + x v´ o.i mo.i x, y ∈ X.
b (x + y) + z = x + (y + z) v´ o.i mo.i x, y, z ∈ X.
c Tˆ`n ta.i phˆao ` n tu.’ 0∈ X, go.i l`a phˆa`n tu.’ khˆong sao cho
∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x = x.
Trang 5d V´o.i mo.i x ∈ X tˆo`n ta.i mˆo.t phˆa` n tu.’ k´y hiˆe.u −x, go.i l`a phˆa ` n tu ’ d¯ˆ o´i cu’a x
sao cho x + ( −x) = 0.
2) X c`ung ph´ep nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X, t´u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X ´u.ng
v´o.i mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a X, k´y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an
a α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X.
b (α + β)x = αx + βx v´ o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X.
c α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X.
d ∀x ∈ X, 1x = x.
C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a X go.i l`a c´ac vecto., α ∈ K go.i l`a vˆo hu.´o.ng Trong gi´ao
tr`ınh n`ay ta chı’ l`am viˆe.c v´o.i tru.`o.ng K l`a R (tru.`o.ng c´ac sˆo´ thu c) ho˘a.c C (tru.`o.ng
2 Tˆa.p ho p c´. ac d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n thu c trˆ. enR, k´y hiˆe.u l`a P v´o.i ph´ep cˆo.ng hai
d¯a th´u.c, ph´ep nhˆan mˆo.t sˆo´ v´o.i d¯a th´u.c d¯u.o c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ngc˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto
3 Tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac h`am sˆo´ thu. c ho˘a.c ph´u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆa.p A kh´ac
trˆo´ng v´o.i c´ac ph´ep to´an
∀x ∈ A, (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(λf )(x) = λf (x),
l`a mˆo.t khˆong gian vecto., ta k´y hiˆe.u l`a F(A)
4 Tˆa.p ho p c´. ac d˜ay sˆo´ thu. c (ho˘a.c ph´u.c) v´o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan
vˆo hu.´o.ng d¯u.o. c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto., k´yhiˆe.u l`a s Thˆa.t ra, theo k´y hiˆe.u o ’ v´ı du 3, ta c´o s = F(N), v´o.i N l`a tˆa.p c´ac sˆo´ tu .
nhiˆen
Trang 61.2 D - ˆ o c lˆ a p tuyˆ e ´n t´ınh-Co so ’
1.2.1 Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a x1, x2, , x n l`a c´ac vecto.thuˆo.c X Tˆo’ng
Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X Ta go.i M l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh
nˆe´u mo.i tˆa.p h˜u.u ha.n ca´c phˆa`n tu.’ {x1, , x n } ⊂ M va` ca´c sˆo´ α1, , α n ∈ K,
i=1
α i x i = 0 th`ı α i = 0, i = 1, , n,
trong d¯´o n l`a sˆo´ tu. nhiˆen bˆa´t k`y
Tru.`o.ng ho. p M khˆong pha’i l`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l`a phu thuˆo.c
tuyˆ e´n t´ınh.
1.2.2 Cho B l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a khˆong gian vecto X Tˆa.p B
d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t co so.’ ( hay co so.’ Hamel ) cu’a X nˆe´u:
a) B l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh
b) B sinh ra X, ngh˜ıa l`a v´o.i mo.i x ∈ X, x l`a mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆ. e´n t´ınh cu’a
mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa`n tu.’ cu’a B :
Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ c´o hai c´ach biˆe’u diˆ˜n kh´ac nhau:e
x = α1x1+· · · + α n x n = β1y1 +· · · + β m y m ,
v´o.i α i = 0, β j = 0, i = 1, , n, j = 1 , m.
Trang 7Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’ α. j x j v`a β k y k o.’ hai vˆe´ nˆe´u α j = β k v`a x j = y k L´uc
d¯´o c´ac ha.ng tu’ α. j x j v`a β k y k c`on la.i o’ hai vˆe´ s˜e xa’y ra ho˘. a.c x j = y k ho˘a.c nˆe´u
x j = y k th`ı α j = β k Chuyˆe’n c´ac ha.ng tu’ d¯´. o vˆ` mˆe o.t vˆe´ v`a viˆe´t la.i th`anh
µ1v1 +· · · + µ r v r = 0, 0 < r ≤ n + m.
Do B l`a mˆo.t tˆa.p ho p d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µ r = 0 D- iˆe` u n`ay
vˆo l´y v`ı mˆo˜i µ k pha’i l`a α j ho˘a.c β k thı` kh´ac khˆong ho˘a.c α j − β k = 0.
Bˆay gi`o gia’ su.’ B l`a mˆo.t co so.’ cu’a khˆong gian vecto X v`a B l`a tˆa.p h˜u.u ha.n
c´o k phˆ` n tu.a ’ Khi d¯´o mo.i tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆo´i d¯a k phˆa` n tu.’(H˜ay ch´u.ng minh d¯iˆ` u d¯´e o nhu la` ca´ ch ˆon la.i kiˆe´n th´u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh!)L´uc n`ay ta n´oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha n chiˆ ` u, sˆ e o´ phˆ` n tu.a ’ cu’a B gˆ `m k phˆo ` n tu.a ’
d¯u.o. c go.i l`a sˆ o´ chiˆ ` u cu’a X v` e a k´y hiˆe.u l`a dim X = k Nˆe´u X khˆong pha’i l`a khˆong
gian h˜u.u ha.n chiˆe` u th`ı ta go.i n´o l`a khˆong gian vˆo ha.n chiˆe ` u v`a viˆe´t dim X = ∞.
Cho B l`a tˆa.p con cu’a X D - ˆe’ nhˆa.n biˆe´t B l`a co so.’ cu’a khˆong gian vecto X,
ta c`on c´o:
1.2.4 D- i.nh l´y Tˆa.p ∅ = B ⊂ X l`a co so.’ cu’a khˆong gian vecto X khi v`a
chı’ khi B l` a tˆ a p ho p d . ¯ˆ o c lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh tˆ o´i d ¯a i (ngh˜ıa l` a B d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a
nˆe´u M B th`ı M phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh).
Ch´ u.ng minh.
a D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n Cho M B Gia’ su.’ x ∈ M v`a x /∈ B Khi d¯´o theo d¯i.nh
ngh˜ıa co so.’ , pha’i c´o x1, , x n ∈ B, α1, , α n ∈ K sao cho
Hˆe {x1, , x n , x } phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.
b D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’ V´o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x Nˆe´u x / ∈ B th`ı do
B ∪ {x} phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆo`n ta.i mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n t´ınh
α1x1 +· · · + α n x n = 0sao cho tˆa´t ca’ c´ac α1, , α n khˆong d¯ˆ`ng th`o o.i b˘a`ng khˆong Trong c´ac vecto x i
n`ay pha’i c´o m˘a.t vecto x, ch˘a’ng ha.n x = x1 v`a khi d¯´o α1 = 0 v`ı nˆe´u khˆong pha’i
nhu vˆa.y th`ı B s˜e phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh Do d¯´o
x = x1 =−(α −1
1 α2x2+· · · + α −1
1 α n x n ).
Trang 8Vˆa.y B l`a mˆo.t co so.’ cu’a X.
1.2.5 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a M l`a mˆo.t tˆa.p ho p d¯ˆo.c
lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh trong X L´ uc d ¯´ o tˆ `n ta.i mˆo.t co so.’ B cu’a X sao cho B ⊃ M o Ch´ u.ng minh. K´y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac tˆa.p ho p N d. ¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh
trong X ch´ u.a M Khi d¯´o F = ∅ v`ı M ∈ F Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe th´u tu trˆen
F nhu sau: v´o.i N1, N2 ∈ F, N1 ≤ N2 khi v`a chı’ khi N1 ⊂ N2 Gia’ su.’ A ⊂ F l`a
mˆo.t tˆa.p con s˘a´p th˘a’ng cu’a F Ta d¯˘a.t N0 b˘a`ng ho. p cu’a tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆo.c
A L´uc d¯´o N0 l`a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆo’ d¯ˆe`Zorn nˆen trong F tˆo`n ta.i mˆo.t phˆa`n tu.’ tˆo´i d¯a.i B Vˆa.y B l`a co so.’ pha’i t`ım.
1.2.6 Hˆe qua’ Mo.i khˆong gian vecto X = {0} d¯ˆe`u tˆo`n ta.i co so.’.
Ch´ u.ng minh. Lˆa´y x ∈ X, x = 0 v`a d¯˘a.t M = {x} rˆo`i ´ap du.ng D- i.nh l´y 1.2.5
1.3 Khˆ ong gian vecto con.
1.3.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a M l`a mˆo.t tˆa.p con
kh´ac trˆo´ng cu’a X Gia’ su.’ c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X thu he.p la.i trˆen M c˜ung l`am cho M th`anh mˆo.t khˆong gian vecto Khi d¯´o ta go.i M l`a
mˆo.t khˆong gian vecto con (hay go.i t˘a´t la` khˆong gian con) cu’a X.
1.3.2 D- i.nh l´y Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a X D - iˆe ` u kiˆe.n cˆa ` n v` a
d ¯u’ d ¯ˆ e’ M tro ’ th` anh mˆ o t khˆ ong gian con cu’a X l` a:
a ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M.
b ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M.
Ch´ u.ng minh D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n hiˆe’n nhiˆen Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`anhˆan vˆo hu.´o.ng l`a k´ın trˆen M Ho.n n˜u.a, c´ac t´ınh chˆa´t cu’a c´ac ph´ep to´an n`ay vˆa˜nc`on d¯´ung khi ta l`am viˆe.c v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ cu’a M nˆen ta´m tiˆen d¯ˆe` cu’a mˆo.t khˆonggian vecto d¯u.o. c nghiˆe.m d¯u´ ng T`u d¯ˆay cho ph´ep ta suy d¯u.o. c d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u’.e
Ch´ u ´ y Trong thu. c h`anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆa.p Y n`ao d¯´o l`a khˆong gian
vecto., ngu.`o.i ta thu.`o.ng nh´ung n´o v`ao trong mˆo.t khˆong gian vecto d¯˜a biˆe´t rˆo`ikiˆe’m tra c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´y trˆen.e
Trang 92 Tˆa.p ho p c´. ac h`am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´y hiˆe.u C [a,b] l`a
mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian c´ac h`am sˆo´ F([a, b]).
3 Tˆa.p ho p l. ∞ = {x = (x n)n ⊂ K : sup
n∈N |x n | < ∞} c´ac d˜ay sˆo´ thu c ho˘a.c
ph´u.c x = (x n)n bi ch˘a.n c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto D- o´ la` khˆong gian con cu’akhˆong gian vecto s ca´ c da˜ y sˆo´
T`u D- i.nh l´y 1.3.2 ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` sau
1.3.4 Mˆ e.nh d¯ˆe` Giao mˆ o t ho tu` y ´ y c´ ac khˆ ong gian con cu’a X l` a mˆ o t khˆ ong gian con cu’a X.
Ch´ u.ng minh Gia’ su ’ (M i)i∈I l`a mˆo.t ho c´ac khˆong gian con cu’a X D- ˘a.t
M =
i∈I M i Ta c´ o M kh´ac trˆo´ng v`ı n´o c´o ch´u.a vecto 0 Nˆe´u x, y ∈ M, (t´u.c
l`a x, y ∈ M i , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ M i , αx ∈ M i v´o.i mo.i i ∈ I Do d¯´o
x + y ∈ M v`a αx ∈ M Vˆa.y M l`a khˆong gian con cu’a X.
1.3.5 D- i.nh ngh˜ıa Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian vecto X Luˆon
luˆon tˆ`n ta.i mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´u.a A (ch˘a’ng ha.n ba’n thˆan khˆong giano
X) Giao cu’a ho tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian con ch´u a A c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian con
ch´u.a A Khˆong gian con n`ay d¯u.o. c goi l`a khˆ ong gian con sinh bo ’ i A hay l` a bao
tuyˆ e´n t´ınh cu’a A v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a A ho˘a.c span (A) Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯ˆay
l`a khˆong gian con b´e nhˆa´t cu’a X ch´u.a tˆa.p A Ta c´o:
1.3.6 Mˆ e.nh d¯ˆe ` Bao tuyˆ e´n t´ınh cu’a tˆ a p A l` a tˆ a p ho p tˆ . a´t ca’ c´ ac tˆ o’ ho p tuyˆ e´n t´ınh cu’a c´ ac phˆ ` n tu a ’ thuˆ o c A.
Ch´ u.ng minh D - ˘a.t M = n
i=1 α i x i | α i ∈ K, x i ∈ A, n ∈ N Ro˜ ra`ng theo
D- i.nh l´y 1.3.2, M l`a khˆong gian con cu’a X Ho.n n˜u.a t`u A ⊂ M suy ra A ⊂ M.
M˘a.t kh´ac do x i ∈ A nˆen n
i=1 α i x i ∈ A v`ı A l`a mˆo.t khˆong gian vecto Do d¯´o
M ⊂ A v`a t`u d¯o´ M = A
1.3.7 D- i.nh nghı˜a Gia’ su.’ M v`a N l`a hai khˆong gian con cu’a X Ta ky´
hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N } L´uc d¯´o Z c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a X, d¯u.o. c go.i l`a tˆ o’ng cu’a M v` a N Ta dˆe˜ d`ang suy ra:
M + N = M ∪ N
Nˆe´u Z = M + N v` a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o c go.i l`a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a M
v`a N , k´y hiˆe.u Z = M ⊕ N Ta c´o:
Trang 101.3.8 D- i.nh l´y Cho M, N l`a c´ac khˆong gian vecto con cu’a X va` d¯˘a.t
Z = M + N D - iˆe ` u kiˆe.n ˘a´t c´o v`a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l`a v´o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o c biˆ e’u diˆ ˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng z = x + y v´o.i x ∈ M, y ∈ N e
Ch´ u.ng minh.
D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n Gia’ su.’ Z = M ⊕ N v`a z = x + y = x + y v´o.i x, x ∈
M ; y, y ∈ N L´uc d¯´o x − x = y − y V`ı x − x ∈ M, y − y ∈ N nˆen x − x =
y − y ∈ M ∩ N = {0} Vˆa.y x = x v`a y = y .
D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’ Ta c´o Z = M + N Gia’ su.’ x ∈ M ∩ N L´uc d¯´o ta viˆe´t
x = x + 0 = 0 + x Do t´ınh duy nhˆa´t cu’a biˆe’u diˆ˜n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l`ae
M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N.
1.4 Khˆ ong gian vecto t´ıch–Khˆ ong gian vecto thu.o.ng.
1.4.1 Cho X1, , X n l`a n khˆong gian vecto trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng K K´y
hiˆe.u X l`a t´ıch Descartes cu’a c´ac X i : X = X1 × × X n V´o.i c´ac phˆ` n tu.a ’
x = (x1, , x n ), y = (y1, , y n) thuˆo.c X v`a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa
x + y = (x1+ y1, , x n + y n ),
αx = (αx1, , αx n ).
L´uc d¯´o dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i hai ph´ep to´an trˆen, X tro.e ’ th`anh
mˆo.t khˆong gian vecto v`a X d¯u.o c go.i l`a t´ıch (hay t´ıch tru c tiˆe´p) cu’a n khˆong gian vecto X1, , X n
1.4.2 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a n´o.
Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe sau:
∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M) ⇔ x − y ∈ M.
R˜o r`ang d¯ˆay l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X Cho x ∈ X Nˆe´u y ≡
x (mod M ) th`ı y −x ∈ M hay y ∈ x +M Ngu.o c la.i nˆe´u z ∈ x +M th`ı z −x ∈ M
hay z ≡ y (mod M) Do d¯´o l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´y hiˆe.u x ch´ınh l`a tˆa.p
x + M = {x + m; m ∈ M} Ta k´y hiˆe.u tˆa.p thu.o.ng l`a X/M = {x : x ∈ X}.
Ch´u ´y r˘a`ng
x ≡ x (mod M ) ⇐⇒ x − x ∈ M,
y ≡ y (mod M ) ⇐⇒ y − y ∈ M,
Trang 11do d¯´o ta c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X/M nhu.
sau
x + y = x + y,
αx = αx,
trong d¯´o x, y l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ bˆa´t k`y trong c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y.
Theo ch´u ´y trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an n`ay l`a d¯´ung d¯˘a´n v`ı khˆong phu.thuˆo.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y.
Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i c´ac ph´ep to´an trˆen, X/M tro.e ’ th`anh mˆo.tkhˆong gian vecto., go.i l`a khˆong gian vecto thu.o.ng cu’a X theo khˆong gian con M.
Lu.u ´y r˘a`ng phˆa` n tu.’ 0 cu’a X/M ch´ınh l`a tˆa.p M.
1.5 ´ Anh xa tuyˆe´n t´ınh.
Cho X, Y l`a hai khˆong gian vecto trˆen tru.`o.ng K v`a mˆo.t ´anh xa A : X →
Y, x → Ax Ta go.i A l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh (hay to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u v´o.i
mo.i x, y ∈ X, α, β ∈ K ta c´o
A(αx + βy) = αAx + βAy.
Cho A l`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y , ta k´y hiˆe.u Im A = A(X) v`a KerA = A −1(0) lˆ` n lu.o.a t a’nh v`a ha.t nhˆan cu’a A Nˆe´u A l`a song ´anh ta n´oi A l`a
ph´ep d¯˘a’ng cˆa´u tuyˆe´n t´ınh v`a X, Y l`a hai khˆong gian vecto d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i nhau
Bˆay gi`o gia’ su.’ A, B : X → Y l`a hai ´anh xa tu`y ´y Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa
thˆong thu.`o.ng:
(A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx,
trong d¯´o α ∈ K, x ∈ X.
Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng nˆe´u A, B l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜ungel`a nh˜u.ng ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y
K´y hiˆe.u L(X, Y ) l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y Khi
d¯´o v´o.i hai ph´ep to´an v`u.a x´ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian vecto
Nˆe´u Y = K ( R hay C) l´uc d¯´o ´anh xa tuyˆe´n t´ınh A : X → K d¯u.o c go.i l`a phiˆe´m
h` am tuyˆ e´n t´ınh trˆ en X, c` on L(X, K) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a X v`a go.i la` khˆong gian liˆen
hiˆ e p d ¯a i sˆ o´ cu’a khˆ ong gian X.
Trang 12to´an tu.’ d¯ˆ`ng nhˆo a´t id.)
1.3 Cho f, f1, , f n l`a c´ac phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆong gian vecto X.
Gia’ su.’ Ker f ⊃ ∩ n
i=1 Ker f i Ch´u.ng minh r˘a`ng f l`a mˆo.t tˆo’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac
f1, , f n
§2 KH ˆONG GIAN TUYˆE´N T´INH D- I.NH CHUˆA’N
2.1 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa.
Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a · : X → R l`a mˆo.t ha`m sˆo´ Ta go.i
ha`m sˆo´ na`y la` mˆo.t chuˆa’n trˆen X nˆe´u no´ thoa’ ma˜ n 3 tiˆen d¯ˆ` sau:e
1 ∀x ∈ X : x ≥ 0; x = 0 khi v`a chı’ khi x = 0.
2 λx = |λ|x v´o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X.
3 x + y ≤ x + y, v´o.i mo.i x, y ∈ X v`a λ ∈ K (bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam
gi´ac)
Khi d¯´o c˘a.p (X, · ) d¯u o c go.i l`a mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n t´ınh d¯i.nh chuˆa’n hay
go.n ho.n khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.
Nˆe´u tru.`o.ng K = R (t.u , C) th`ı ta go.i (X, · ) l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
thu c (t.u , khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ph´u.c) Sˆo´ thu c x d¯u.o c go.i l`a chuˆa’n hay d¯ˆo.
d` ai cu’a vecto x ∈ X Nˆe´u khˆong c´o su nhˆa`m lˆa˜n vˆe` chuˆa’n trˆen X th`ı ta s˜e k´y
hiˆe.u t˘a´t l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.
Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n V´o.i x, y ∈ X ta d¯˘a.t
Trang 13v´o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K.
Ngu.o. c la.i cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a d l`a mˆo.t mˆetric xa´c d¯i.nh trˆen
X Gia’ su ’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n a) v`a b) Ta d¯˘a.te
x = d(x, 0)
th`ı r˜o r`ang · l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen X Do d¯´o nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh
chuˆa’n th`ı n´o c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric (v´o.i mˆetric sinh ra t`u chuˆa’n, t´u.cl`a d(x, y) = x − y) T`u d¯ˆay tˆa´t ca’ c´ac kh´ai niˆe.m cu’a khˆong gian mˆetric d¯ˆe`u
d¯u.o. c chuyˆe’n cho khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n D- ˆe’ ´y r˘a`ng c´ac t´ınh chˆa´t a) v`a b) ch´ınhl`a mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va` nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X v´o.i ha`m chuˆa’n
(mˆetric)
2.2 C´ ac v´ı du .
2.2.1. Tˆa.p ho p K. n c´ac bˆo n sˆo´ thu c (ho˘. a.c sˆo´ ph´u.c) x = (x1, , x n) l`a
mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n
chuˆa’n n`ay d¯u.o. c go.i l`a chuˆa’n Euclide trong K n va` K n d¯u.o. c go.i l`a khˆong gian
Euclide n chiˆ` u De - ˘a.c biˆe.t, khi n = 1 ta c´o K l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i
x = |x|.
2.2.2 Tˆa.p ho p C. [a,b] c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ngv`a nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng l`a mˆo.t khˆong gian vecto Ho.n n˜u.a, nˆe´u d¯˘a.t
x = max
t∈[a,b] |x(t)|
th`ı n´o tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
2.2.3 Tˆa.p ho p l. ∞ tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu. c hay ph´u.c bi ch˘a.n l`a mˆo.t khˆonggian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n
x = sup
n∈N |x n |.
Khˆong gian n`ay c`on k´y hiˆe.u l`a m.
D- ˆo.c gia’ tu kiˆe’m nghiˆe.m ba tiˆen d¯ˆe` vˆe` chuˆa’n cu’a c´ac v´ı du n`ay
Trang 142.2.4 K´y hiˆe.u l2 l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu. c hay ph´u.c x = (x n)n saocho
l´uc d¯´o l2 tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
Ch´ u.ng minh. Gia’ su.’ x = (x n)n , y = (y n)n ∈ l2 Ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c hiˆe’n
v´o.i mo.i n ∈ N nghı˜a la` x = 0.
Tiˆen d¯ˆ` 2 r˜e o r`ang V´o.i mo.i k ∈ N, ´ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz
Trang 152.3 Su hˆ o.i tu trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.
Nhu d¯˜a n´oi o.’ trˆen, khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric Tuynhiˆen do vai tr`o quan tro.ng cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n cu˜ ng nhu ta thu.`o.ng g˘a.p
d¯ˆo´i tu.o. ng na`y trong c´ac mˆon ho.c kha´ c va` ca´ c ´ap du.ng thu c tiˆ. ˜n nˆen o.e ’ d¯ˆay ta s˜etr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ kha´ i niˆe.m va` tı´nh chˆa´t thˆong du.ng ˆa´y theo ky´ hiˆe.u va` ngˆonng˜u cu’a chuˆa’n
Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
1 D˜ay (x n)n ⊂ X hˆo.i tu d¯ˆe´n x trong khˆong gian X, ky´ hiˆe.u lim n→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞) ngh˜ıa l`a
Thˆa.t vˆa.y, t`u tiˆen d¯ˆe` 3 cu’a chuˆa’n suy ra:
x = (x − y) + y ≤ x − y + y hay x − y ≤ x − y
Thay d¯ˆo’i vai tr`o cu’a x v` a y ta nhˆa.n d¯u.o c
y − x ≤ x − y
Nhu thˆe´ bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o. c ch´u.ng minh
T`u d¯ˆay ta c´o:
2 Nˆ e´u x n → x th`ı x n → x N´oi c´ach kh´ac, chuˆa’n l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen
tu.c trˆen X ´Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c v`u.a ch´u.ng minh ta c´o
x n − x ≤ x n − x → 0 khi n → ∞
v`a d¯iˆ` u n`e ay kh˘a’ng d¯i.nh kˆe´t qua’ 2
Tı´nh chˆa´t trˆen thu.`o.ng d¯u.o. c viˆ´t la.i la` lime n→∞ x n = lim
n→∞ x n d¯ˆo´i v´o.i mo.i
da˜ y (x n)n hˆo.i tu trong X.
Trang 163 Mo i d˜ ay hˆ o i tu th`ı bi ch˘ a n Thˆ a.t vˆa.y, nˆe´u (x n)n hˆo.i tu d¯ˆe´n x th`ı d˜ay
sˆo´ thu. c (x n ) n hˆo.i tu d¯ˆe´n x Do d¯´o d˜ay (x n ) n bi ch˘a.n D- iˆe` u n`ay c˜ung c´ongh˜ıa l`a d˜ay (x n)n bi ch˘a.n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.
4 Nˆ e´u x n → x0, y n → y0 th`ı x n + y n → x0 + y0 Nˆ e´u x n → x0 v` a
α n → α0, α n , α0 ∈ K th`ı α n x n → α0x0 N´oi c´ach kh´ac, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va`nhˆan vˆo hu.´o.ng X × X → X, K × X → X, (x, y) → x + y v`a (α, x) → αx la` ca´c
a
´ nh xa liˆen tu.c
Thˆa.t vˆa.y, t`u c´ac d¯´anh gi´a
(x n + y n)− (x0 + y0 ≤ x n − x0 + y n − y0 → 0
α n x n − α0x0 = (α n x n − α n x0) + (α n x0− α0x0
≤ |α n | x n − x0 + |α n − α0| x0 → 0
khi n → ∞, ta suy ra d¯u.o c d¯iˆe`u cˆa`n ch´u.ng minh.
D - i.nh nghı˜a Cho a ∈ X va` λ ∈ K, λ = 0 Ta go.i ca´c a´nh xa f, g : X → X
lˆ` n lu.o.a t xa´ c d¯i.nh bo’ i.
f (x) = a + x, g(x) = λx, v´o.i mo.i x ∈ X,
la` phe ´ p ti.nh tiˆe´n theo vecto a va` phe´p vi tu tı’ sˆo´ λ.
T`u 4) ta suy ra:
5 C´ ac ph´ ep ti.nh tiˆe´n theo vecto a v`a ph´ep vi tu tı’ sˆo´ λ = 0 l`a c´ac ph´ep d¯ˆo`ng phˆ oi t` u X lˆ en X.
Thˆa.t vˆa.y, ta thˆa´y ngay f, g l`a song ´anh v`a f −1 (x) = −a+x, g −1 (x) = λ −1 x
nˆen f, g c`ung v´o.i c´ac ´anh xa ngu.o c cu’a n´o f −1 , g −1 l`a liˆen tu.c
Nhˆ a n x´ et C´ac t´ınh chˆa´t 4 v`a 5 c˜ung nˆeu lˆen su. kˆe´t ho. p gi˜u.a cˆa´u tr´uc d¯a.i
sˆo´ v`a ph´ep to´an co ba’n cu’a gia’i t´ıch (ph´ep lˆa´y gi´o.i ha.n)
Ta c´o c´ac hˆe qua’ sau
a) Gia’ su. ’ A l` a tˆ a p mo ’ (t.u , d¯´ . ong) trong X th`ı x0+ A = A + x0 ={x0+ a :
a ∈ A}, λA = {λa : a ∈ A} l`a c´ac tˆa.p mo.’ (t.u , d¯´ong) trong X.
D- iˆe` u n`ay suy t`u a’nh cu’a mˆo.t tˆa.p mo’ (t.u , d¯´. ong) qua ´anh xa d¯ˆo`ng phˆoi (ca´ cphe´ p ti.nh tiˆe´n vecto a, vi tu tı’ sˆo´ λ = 0) th`ı mo.’ (t.u , d¯´ong).
Trang 17b) Cho A mo. ’ , B l` a tˆ a p tu` y ´ y trong X th`ı A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} l` a tˆ a p mo ’ Thˆ . a.t vˆa.y,
A + B =
b∈B
(A + b)
t´u.c l`a A + B b˘a`ng ho. p cu’a mˆo.t ho c´ac tˆa.p mo’ nˆen n´. o l`a tˆa.p mo’ .
2.4 Khˆ ong gian Banach.
2.4.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.
Nh˘a´c la.i r˘a`ng (x n)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy nˆe´u x n − x m → 0 khi m, n → ∞ Nˆe´u
v´o.i mˆetric sinh t`u chuˆa’n, X tro.’ th`anh khˆong gian mˆetric d¯ˆ` y d¯u’ th`ı X d¯u.o.a c go.il`a khˆ ong gian Banach N´oi c´ach kh´ac, X l`a mˆo.t khˆong gian Banach nˆe´u mo.i d˜ay
Cauchy trong X d¯ˆ` u hˆe o.i tu vˆe` mˆo.t d¯iˆe’m cu’a n´o
2.4.2 V´ı du C´ac khˆong gian K n , C [a,b] , l2, l`a c´ac khˆong gian Banach.Khˆong gian C [a,b] L khˆong pha’i l`a khˆong gian Banach
2.4.3 D - i.nh l´y vˆe ` bˆ o’ sung mˆ o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n.
Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (khˆong d¯ˆa` y d¯u’) B˘a`ng c´ach d¯ˆa` y
d¯u’ ho´a khˆong gian mˆetric (X, d) trong d¯´o d(x, y) = x − y ta d¯u.o c khˆong gian
mˆetric d¯ˆ` y d¯u’ ˜a X va ` X tru` mˆa.t trong ˜X Tuy nhiˆen trong ˜X cˆ` n xˆa ay du. ng c´acph´ep to´an d¯ˆe’ n´o tro.’ th`anh khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nhˆa.n X l`am khˆong gian vecto.
con
Lˆa´y x, y ∈ ˜ X V`ı X = ˜ X nˆen tˆ`n ta.i c´ac d˜ay (xo n)n , (y n)n trong X hˆo.i tu
lˆ` n lu.o.a t d¯ˆe´n x, y Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng (x n + y n)n , (λx n)n l`a nh˜u.ng d˜ay Cauchy
trong X ⊂ ˜ X nˆen ta d¯i.nh ngh˜ıa
λx = lim
n λx n , x + y = lim
n (x n + y n ).
C´o thˆe’ kiˆe’m nghiˆe.m la.i r˘a`ng, c´ac d¯i.nh ngh˜ıa n`ay x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯´ung
d¯˘a´n c´ac ph´ep to´an d¯a.i sˆo´ d¯ˆe’ biˆe´n ˜X th`anh khˆong gian vecto., nhˆa.n X l`am khˆong
gian con Ngoa`i ra ˜X tro.’ tha`nh khˆong gian Banach v´o.i chuˆa’n trˆen ˜X d¯u.o. c cho
bo.’ i cˆong th´u.c x = d(x, 0), trong d¯´o d l`a mˆetric trˆen ˜ X T´om la.i, ta c´o thˆe’pha´ t biˆe’u d¯i.nh l´y nhu sau:
D- i.nh l´y V´o.i mo.i khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n khˆong d¯ˆa`y d¯u’ X, bao gi`o c˜ung
tˆ `n ta.i mˆo.t khˆong gian Banach ˜ o X ch´ u.a X sao cho X tr` u mˆ a t trong X ˜
Trang 182.5 Chuˆ o ˜i trong trong khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n.
Trong d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh ta chı’ d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o c tˆo’ng h˜u.u ha.n c´ac vecto cu’a
mˆo.t khˆong gian vecto X Muˆo´n d¯u.a v`ao kh´ai niˆe.m “tˆo’ng vˆo ha.n” c´ac vecto hayc`on go.i l`a chuˆo˜i, ta cˆa` n pha’i x´et d¯ˆe´n gi´o.i ha.n cu’a nh˜u.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n D-iˆe`u n`ay
co´ thˆe’ thu. c hiˆe.n d¯u.o c d¯ˆo´i v´o.i khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`ı trong d¯´o d¯˜a xˆay du ngph´ep to´an gi´o.i ha.n
2.5.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.
Ta lˆa.p mˆo.t d˜ay m´o.i, x´ac d¯i.nh bo.’i
Ta c`on go.i s n l`a tˆ o’ng riˆ eng th´ u n cu’a chuˆo˜i, x n l`a ha ng th´ u.c tˆ o’ng qu´ at (th´ u n)
cu’a chuˆo˜i ˆa´y
Chuˆo˜i ∞
n=1 x n d¯u.o. c go.i l`a hˆ o i tu . nˆe´u d˜ay tˆo’ng riˆeng s n hˆo.i tu Khi d¯´o d¯˘a.t
s = lim
n→∞ s n v`a go.i s l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i: s = ∞
n=1 x n Nhu vˆa.y c`ung mˆo.t biˆe’u th´u.c
Phˆ` n l´a o.n c´ac t´ınh chˆa´t cu’a chuˆo˜i trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n giˆo´ng v´o.i
tı´nh chˆa´t cu’a chuˆo˜i sˆo´ thu. c va` ngay ca´ ch ch´u.ng minh cu˜ ng vˆa.y nˆe´u chu´ ng khˆongliˆen quan d¯ˆe´n th´u tu. nhu trong R Ta nˆeu la.i mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ thu.`o.ng d`ung.
a) Ta co´ thˆe’ d¯a´ nh sˆo´ mˆo.t chuˆo˜i t`u mˆo.t sˆo´ nguyˆen na`o d¯o´ ch´u khˆong nhˆa´tthiˆe´t la` t`u 1, ch˘a’ng ha.n
Trang 19b) Nˆe´u ∞
n=1 x n ,
∞
n=1 y n l`a hai chuˆo˜i hˆo.i tu., c´o tˆo’ng lˆa`n lu.o t l`a x v`a y c`on λ
l`a mˆo.t sˆo´ th`ı c´ac chuˆo˜i
c) Tiˆ eu chuˆ a’n Cauchy Nˆe´u chuˆo˜i ∞
n=1 x n hˆo.i tu th`ı v´o.i mo.i > 0 d¯ˆe`u tˆo`n ta.i n0 ∈ N sao cho nˆe´u n ≥ n0 v`a p ∈ N ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c.
Vˆa.y nˆe´u mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu th`ı ha.ng th´u.c tˆo’ng qu´at dˆa`n d¯ˆe´n 0 khi n → ∞.
e) Cho chuˆo˜i ∞
n=1 x n hˆo.i tu trong X Ky´ hiˆe.u r n = ∞
Trang 20b) Bˆay gi`o cho (x n)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy trong X ´Ap du.ng d¯i.nh ngh˜ıa, v´o.i
mˆo˜i k ∈ N ta cho.n x n k sao cho n k < n k+1 va`
x n k+1 − x n k ≤ 1
2k , k = 1, 2, C´ac bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng chuˆo˜i
D˜ay Cauchy (x n)n c´o mˆo.t d˜ay con (x n k)k hˆo.i tu vˆe` x th`ı (x n)n c˜ung hˆo.i tu vˆe` x.
Thˆa.t vˆa.y, cho > 0 s˜e c´o n0 d¯ˆe’x n − x m < /2 v´o.i mo.i m, n ≥ n0 M˘a.t kh´ac,
x n k → x nˆen c´o k0 d¯ˆe’ k ≥ k0 th`ıx n k − x < /2 Khi d¯´o nˆe´u n ≥ max (n0, n k0)th`ı
x n − x ≤ x n − x n k0 + x n k0 − x < /2 + /2 = .
Vˆa.y mo.i d˜ay Cauchy trong X d¯ˆe` u hˆo.i tu nˆen X l`a mˆo.t khˆong gian Banach.
2.6 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n con.
2.6.1 D- i.nh ngh˜ıa Cho (X, · ) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a
mˆo.t khˆong gian vecto con cu’a n´o L´uc d¯´o h`am · thu he.p lˆen Y c˜ung l`a mˆo.t
chuˆa’n v`a v´o.i chuˆa’n d¯´o, Y tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n Ta go.i Y l`a
khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n con (hay v˘a´n t˘a´t, khˆong gian con) cu’a khˆong gian d¯i.nh
chuˆa’n X.
Khˆong gian con cu’a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n c´o thˆe’ d¯´ong ho˘a.c khˆong.Tuy nhiˆen ta c´o
2.6.2 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a mˆo.t khˆong
gian con cu’a n´ o Khi d ¯´ o bao d ¯´ ong Y cu’a Y c˜ ung l` a mˆ o t khˆ ong gian con d ¯´ ong cu’a X.
Ch´ u.ng minh. Gia’ su.’ x, y ∈ Y , α, β l`a hai sˆo´ Ta cˆa`n kiˆe’m tra αx+βy ∈ Y
V`ı x y ∈ Y nˆen tˆo`n ta.i hai d˜ay (x n)n , (y n)n trong Y sao cho x n → x v`a y n → y.
L´uc d¯´o αx n + βy n ∈ Y v´o.i mo.i n ∈ N d¯ˆo`ng th`o.i αx n + βy n → αx + βy Vˆa.y
αx + βy ∈ Y
Trang 21Bˆay gi`o gia’ su.’ M l`a mˆo.t tˆa.p con trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X Ta thu.`o.ngquan tˆam d¯ˆ´n khˆe ong gian con M v`a go.i l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a X sinh
bo.’ i M
2.6.3 D- i.nh l´y Nˆe´u X l`a khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con
d ¯´ ong cu’a X th`ı ba’n thˆ an Y c˜ ung l` a mˆ o t khˆ ong gian Banach.
Ch´ u.ng minh V`ı Y d¯´ong trong khˆong gian d¯ˆ` y d¯u’ X nˆen Y d¯ˆa ` y d¯u’.a
2.7 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n tı´ch.
Cho (X, · 1) va` (Y, · 2) la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen cu`ng mˆo.ttru.`o.ng K Xe´ t ha`m sˆo´ · xa´c d¯i.nh trˆen khˆong gian vecto tı´ch Z = X × Y, cho
bo.’ i cˆong th´u.c:
2 Da˜ y (z n)n = (x n , y n)n trong Z hˆo.i tu vˆe` (x0, y0) khi va` chı’ khi x n → x0
va` y n → y0 lˆ` n lu.o.a t trong X va ` trong Y Nhu thˆ´ ta thˆe a´y ngay r˘a`ng khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n tı´ch Z = X × Y la` Banach khi va` chı’ khi ca’ X va` Y la` ca´ c khˆonggian Banach
2.8 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n thu o.ng.
Cho X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a Y
Khi d¯´o ta c´o khˆong gian vecto thu.o.ng X/Y Ta x´ac d¯i.nh chuˆa’n trong X/Y d¯ˆe’
n´o tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nhu sau
Gia’ su.’ ξ ∈ X/Y, l´uc d¯´o ξ s˜e c´o da.ng l`a ξ = a + Y v´o.i a ∈ X D- ˘a.t
ξ = inf
v`a kiˆe’m tra · l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen X/Y Ta c´o
1) ξ ≥ 0, ξ = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i inf
x∈ξ x = 0 Nhu vˆa.y tˆo`n ta.i x n ∈
ξ, x n → 0 nˆen 0 ∈ ξ v`ı ξ l`a mˆo.t tˆa.p d¯´ong trong X Do d¯´o ξ = 0 (t´u.c l`a ξ = Y ).
Trang 222) V´o.i ξ ∈ X/Y v`a sˆo´ λ th`ı
ngh˜ıa l`a tiˆen d¯ˆ` th´e u ba cu’a chuˆa’n d¯u.o. c ch´u.ng minh
Nhu vˆa.y ta d¯˜a xˆay du ng d. ¯u.o. c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X/Y , go.i l`a khˆong
gian d ¯i.nh chuˆa’n thu o.ng cu’a X theo khˆong gian con d¯´ong Y
B ` AI T ˆ A P
2.1 Ha˜ y kiˆe’m tra ca´ c tˆa.p va` ca´ c ha`m cho tu.o.ng ´u.ng la` ca´ c khˆong gian d¯i.nhchuˆa’n
a X = K n, v´o.i x = (x1, , x n)∈ X, ta d¯˘a.t x = max i=1, ,n x i .
b X = c l`a tˆa.p c´ac d˜ay sˆo´ thu c (ho˘. a.c ph´u.c) hˆo.i tu V´o.i x = (x n)n ∈ c d¯˘a.t
Trang 23e X = l1 l`a tˆa.p ho p c´. ac d˜ay sˆo´ thu. c (ho˘a.c ph´u.c) (x n)n sao cho
2.2 Gia’ su.’ (x n)n v`a (y n)n l`a hai d˜ay Cauchy trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
X Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay sˆo´ thu. c (α n)n v´o.i α n =x n − y n hˆo.i tu
2.3 Ch´u.ng minh r˘a`ng trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, bao d¯´ong cu’a h`ınh
cˆ` u mo.a ’ B(0, 1) l`a h`ınh cˆ` u d¯´a ong B (0, 1).
2.4 Cho A, B l`a hai tˆa.p con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X Ch´u.ng minhr˘a`ng nˆe´u A, B l`a tˆa.p compact th`ı tˆa.p A + B c˜ung l`a tˆa.p compact.
2.5 K´y hiˆe.u B(x0, r) l`a h`ınh cˆ` u mo.a ’ tˆam x0 b´an k´ınh r trong khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n X v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X Gia’ su ’ B(x. 0, r) ⊂ Y Ch´u.ng
minh X = Y.
2.6 Tˆa.p M trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X d¯u.o c go.i l`a tˆa.p lˆo`i nˆe´u
∀ x, y ∈ M, ∀ α ∈ [0, 1] th`ı αx + (1 − α)y ∈ M.
Ch´u.ng minh
a Nˆe´u M lˆ`i th`ı bao d¯´o ong M c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p lˆo`i
b H`ınh cˆ` u d¯´a ong (ho˘a.c mo’ ) trong X l`. a tˆa.p lˆo`i
2.7 Kiˆe’m tra c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n n`ao o’ b`. ai tˆa.p 2.1 l`a khˆong gianBanach
2.8 Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X l`a kha’ ly khi v`a chı’ khi tˆo`n
ta.i mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c M ch´u.a trong X sao cho X = M
2.9 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a
X Ch´u.ng minh khˆong gian thu.o.ng X/Y l`a Banach
§3 TO´AN TU’ TUYˆE´N T´INH LIˆEN TU.C..
3.1 D - i.nh ngh˜ıa v`a c´ac t´ınh chˆa´t co ba’n.
D- ˆe’ nghiˆen c´u.u mˆo´i quan hˆe gi˜u.a hai khˆong gian vecto., ta d¯˜a x´et d¯ˆe´n ca´c a´nh
xa (hay to´an tu’ ) tuyˆe´n t´ınh gi˜. u.a chu´ ng D- ˆo´i v´o.i c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nh`o
d¯u.a v`ao khoa’ng c´ach (x´ac d¯i.nh bo’ i chuˆ. a’n) ta nghiˆen c´u.u tı´nh chˆa´t liˆen tu.c cu’ac´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n n`ay v`ao khˆong gian d¯i.nh chuˆa’nkh´ac Nhu thˆe´ c´ac d¯i.nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa´t cu’a ´anh xa liˆen tu.c trong c´ac khˆong
Trang 24gian mˆetric d¯ˆ` u la.i d¯u.o c d`ung o.’ d¯ˆay Nh˘a´c la.i r˘a`ng, gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆongegian d¯i.nh chuˆa’n, to´an tu’ (´. anh xa.) A : X → Y l`a liˆen tu.c ta.i x0 ∈ X nˆe´u v´o.i mo.i
> 0 tˆ ` n ta.i sˆo´ δ > 0 sao cho mo.i x ∈ X ma` x − xo 0 < δ thı` Ax − Ax0 < .
D- i.nh nghı˜a na`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i tiˆeu chuˆa’n qua da˜y: A liˆen tu.c ta.i x0 khi va`
chı’ khi v´o.i mo.i d˜ay (x n)n ⊂ X, x n → x0 th`ı Ax n → Ax0.
3.1.1 D- i.nh l´y Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a
mˆ o t to´ an tu ’ tuyˆe´n t´ınh Khi d¯´ o c´ ac mˆ e nh d ¯ˆ ` sau d¯ˆ e ay l` a tu.o.ng d ¯u.o.ng.
a) A liˆ en tu c (t´ u.c l` a liˆ en tu c ta i mo i x ∈ X).
b) A liˆ en tu c ta i mˆ o t d ¯iˆ e’m x0 ∈ X.
c) A liˆ en tu c ta i d ¯iˆ e’m 0 ∈ X.
d) Tˆ `n ta.i mˆo.t sˆo´ M sao cho v´o.i mo.i x ∈ X ta c´o Ax ≤ Mx o
Ch´ u.ng minh.
a) ⇒ b) l`a hiˆe’n nhiˆen.
b) ⇒ c) Gia’ su.’ x n → 0 Khi d¯´o x n + x0 → x0 Do gia’ thiˆ e´t b), A liˆen tu.c ta.i
x0 nˆen A(x n + x0 → Ax0 hay Ax n + Ax0 → Ax0 Vˆ a.y Ax n → 0 = A(0).
c) ⇒ d) D`ung d¯i.nh ngh˜ıa vˆe` t´ınh liˆen tu.c theo ngˆon ng˜u , δ : v´o.i = 1 tˆo`n
ta.i δ > 0 sao cho nˆe´u x ∈ X, x < δ th`ı Ax < 1 Bˆay gi`o v´o.i mo.i x ∈ X ma`
Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay hiˆe’n nhiˆen d¯´ung khi x = 0 Vˆa.y t`u c) ta c´o d)
d) ⇒ a) Gia’ su.’ x n → x trong X Khi d¯´o t`u d) ta c´o
Ax n − Ax = A(x n − x) ≤ Mx n − x → 0 (n → ∞)
nˆen Ax n → Ax, ngh˜ıa l`a A liˆen tu.c ta.i x ∈ X.
Nˆe´u d¯iˆ` u kiˆe.n d) cu’a De - i.nh l´y 3.1.1 thoa’ m˜an, ta thˆa´y A biˆe´n mˆo.t tˆa.p bi ch˘a.n trong X th`anh mˆo.t tˆa.p bi ch˘a.n trong Y Do d¯´o khi to´an tu ’ tuyˆe´n t´ınh A thoa’.
m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n n`ay th`ı n´o d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh bi ch˘a.n Nhu vˆa.ye
d¯ˆo´i v´o.i c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, c´ac kh´ai niˆe.mliˆen tu.c v`a bi ch˘a.n l`a tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau
Trang 25Bˆay gi`o cho A l`a mˆo.t to´an tu’ tuyˆe. ´n tı´nh bi ch˘a.n t`u X v`ao Y D- ˘a.t
A = inf {K > 0 : ∀x ∈ X, Ax ≤ Kx.}
v`a go.i A l`a chuˆa’n cu’a to´an tu ’ A Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o:.
a Ax ≤ A x, ∀x ∈ X.
b Nˆe´u c´o K sao cho v´ o.i mo.i x ∈ X m`a Ax ≤ Kx th`ı A ≤ K.
T`u d¯i.nh nghı˜a ta thˆa´y viˆe.c tı´nh toa´ n chuˆa’n cu’a toa´ n tu.’ A la` kho´ Sau d¯ˆay
la` va`i cˆong th´u.c cho phe´ p tı´nh chuˆa’n mˆo.t ca´ ch cu thˆe’ ho.n
3.1.2 D- i.nh l´y Gia’ su.’ A l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u X v`ao Y
x ≤ α hay Ax ≤ αx Theo d¯i.nh ngh˜ıa th`ı A ≤ α.
V´o.i mo.i x = 0 d¯˘a.t y = x x th`ıy = 1 Nhu vˆa.y
α = sup
x=0
Ax
x = supx=0 A( x
x) = sup y=1 Ay ≤ sup y≤1 Ay
hay A ≤ α = β ≤ γ M˘a.t kh´ac
Ax ≤ A x ≤ A
v´o.i x ≤ 1 nˆen γ ≤ A T`u d¯´o A = α = β = γ.
3.1.3 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X, Y, Z l`a ba khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y ,
B : Y → Z l`a c´ac ´anh xa tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c Khi d¯´o ´anh xa C = B ◦ A : X → Z c˜ ung l` a tuyˆ e´n t´ınh liˆ en tu c, d ¯ˆ `ng th` o o.i C ≤ B A.
Ch´ u.ng minh. Hiˆe’n nhiˆen tı´ch ca´ c a´ nh xa tuyˆe´n tı´nh, liˆen tu.c la` a´ nh xa tuyˆe´n
tı´nh, liˆen tu.c Ngoa`i ra, v´o.i mo.i x ∈ X ta c´o:
Cx = B(Ax) ≤ B Ax ≤ B A x
Nhu vˆa.y C bi ch˘a.n v`a C ≤ A B.
Trang 26Ta ch´u.ng minh A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh bi ch˘a.n D- ˆe’ ´y r˘a`ng to´an tu.’ A biˆe´n
mˆo˜i h`am liˆen tu.c x(t) trˆen [0, 1] th`anh (Ax)(t) la` mˆo.t nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen [0, 1] tho’a (Ax)(0) = 0 Do d¯´o Ax ∈ C [0,1] v`a A tuyˆe´n t´ınh.
Vˆa.y A l`a to´an tu ’ bi ch˘a.n v`a A ≤ 1 M˘a.t kh´ac, x´et h`am x. 0(t) ≡ 1 v´o.i mo.i
t ∈ [0, 1] Ta c´o x0 = 1, v`a A ≥ Ax0 = max
t∈[0,1] |0t dτ | = 1 T`u d¯´o A = 1.
2 K´y hiˆe.u C [0,1]1 l`a tˆa.p ho p c´. ac h`am kha’ vi liˆen tu.c trˆen [0, 1] Ta xem C [0,1]1
l`a khˆong gian con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n C [0,1] v´o.i chuˆa’n “ max ” X´et to´an
tu.’ d¯a.o h`am
t∈[0,1] | cos nt| = 1 khˆong tiˆe´n vˆe ` A(0) = 0.
3.2 Khˆ ong gian c´ ac to´ an tu ’ tuyˆ e ´n t´ınh liˆ en tu c.
3.2.1 C´ ac d¯i.nh ngh˜ıa Cho hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, Y Tˆa.p ho p.
tˆa´t ca’ c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u X v`ao Y d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a L(X, Y ) Ta
d¯˜a k´y hiˆe.u L(X, Y ) l`a khˆong gian vecto c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u X v`ao Y Nhu.
thˆe´L(X, Y ) ⊂ L(X, Y ).
Trang 27V´o.i A, B ∈ L(X, Y ) v`a α ∈ K th`ı A + B v`a αA l`a c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh
liˆen tu.c t`u X v`ao Y , do
(A + B)x = Ax + Bx ≤ Ax + Bx ≤ (A + B)x)
v`a αAx = |α| Ax ≤ |α| A x, ∀ x ∈ X.
ngh˜ıa l`a A + B v` a αA thuˆ o.c L(X, Y ).
Vˆa.y L(X, Y ) tro’ th`. anh mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n t´ınh Ho.n n˜u.a, nˆe´u A ∈
L(X, Y ), theo d¯i.nh ngh˜ıa chuˆa’n cu’a to´an tu.’ A x´ac d¯i.nh o.’ mu.c 3.1, ta c´o
1 A ≥ 0, A = 0 ⇔ (∀ x ∈ X : Ax ≤ 0x = 0 ⇔ A = 0.
2 αA = |α| A r˜o r`ang v´o.i mo.i sˆo´ α ∈ K.
3 Do (A + B)x ≤ (A + B)x nˆen A + B ≤ A + B v´o.i mo.i
A, B ∈ L(X, Y ).
Nhu thˆe´L(X, Y ) tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a d¯u.o c go.i l`a khˆong gian c´ ac to´ an tu ’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u X v`ao Y
Cho (A n)n l`a mˆo.t d˜ay to´an tu’ tuyˆe. ´n tı´nh trong L(X, Y ) Ta goi d˜ay (A n)n
hˆ o i tu t` u.ng d ¯iˆ e’m (hay hˆ o i tu d ¯o.n) d¯ˆe´n A ∈ L(X, Y ), nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ X, d˜ay
(A n x) n hˆo.i tu d¯ˆe´n Ax trong khˆong gian Y.
Nh˘a´c la.i r˘a`ng (A n)n hˆo.i tu d¯ˆe´n A ∈ L(X, Y ) nˆe´u A n − A → 0 L´uc d¯´o ta
c`on nhˆa´n ma.nh r˘a`ng: d˜ay to´an tu’ tuyˆe´n t´ınh (A. n)n hˆ o i tu theo chuˆ a’n d¯ˆe´n to´an
tu.’ A trong khˆong gian L(X, Y ) d¯ˆe’ phˆan biˆe.t v´o.i kh´ai niˆe.m hˆo.i tu d¯o.n no´i trˆen.
T`u d¯´anh gi´a
A n x − Ax ≤ A n − A x
ta suy ra nˆe´u (A n)n hˆo.i tu theo chuˆa’n d¯ˆe´n A th`ı n´o c˜ung hˆo.i tu d¯o.n Tuy nhiˆen
d¯iˆ` u ngu.o.e c la.i khˆong d¯´ung (xem ba`i tˆa.p 3.11)
3.2.2 D- i.nh l´y Nˆe´u Y l`a khˆong gian Banach th`ı L(X, Y ) l`a mˆo.t khˆong
Trang 28T`u d¯´anh gi´a n`ay ta suy ra d¯u.o. c (A n x) n l`a d˜ay co ba’n trong Y V`ı Y l`aBanach nˆen A n x hˆo.i tu vˆe` mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a Y m`a ta k´y hiˆe.u l`a Ax D- ˘a.t
A n x − Ax ≤ x v´o.i mo.i x ∈ X v`a n ≥ n0 (3.2.)
Nhu thˆe´ A n0− A ∈ L(X, Y ) T`u d¯o´ A = A n0− (A n0− A) ∈ L(X, Y ), ngoa`i ra t`u.
(3.2) suy ra A n − A ≤ v´o.i mo.i n ≥ n0 t´u.c l`a A n hˆo.i tu vˆe` A trong L(X, Y ).
Vˆa.y L(X, Y ) l`a mˆo.t khˆong gian Banach.
3.3 To´ an tu ’ ngu.o c–Ph´ ep d ¯ˆ ` ng phˆ o oi.
Cho X, Y l`a hai khˆong gian vecto., A : X → Y l`a song ´anh tuyˆe´n t´ınh th`ı
tˆ`n ta.i ´anh xa ngu.o c Ao −1 : Y → X c˜ung l`a tuyˆe´n t´ınh L´uc d¯´o ta n´oi a´nh xa A
l`a kha’ nghi.ch Tru `o.ng ho p X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A ∈ L(X, Y ) v`a
A song ´anh th`ı n´oi chung A −1 chu.a ch˘a´c d¯˜a liˆen tu.c Bo.’i vˆa.y nˆe´u A song ´anh,
A ∈ L(X, Y ) v`a A −1 ∈ L(Y, X) th`ı A d¯u.o c go.i l`a mˆo.t ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh
t`u X lˆ en Y L´uc d¯´o ta n´oi hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, Y d¯ˆo `ng phˆ oi tuyˆ e´n t´ınh
v´o.i nhau Nˆe´u song a´ nh tuyˆ´n t´ınh A thoa’ m˜e an d¯iˆ` u kiˆe.n Ax = x v´o.i mo.ie
x ∈ X th`ı A d¯u.o c go.i l`a ph´ep d¯˘a’ng cu tuyˆe´n t´ınh t`u X lˆen Y v`a X, Y l`a hai
khˆong gian d ¯˘ a’ng cu tuyˆ ´n tı´nh v´ e o.i nhau Ro˜ ra`ng, nˆe´u A la` phe´ p d¯˘a’ng cu. tuyˆ´ne
tı´nh thı` no´ cu˜ ng la` phe´ p d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh gi˜e u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
Nhˆ a n xe ´ t Nˆe´u X d¯ˆ` ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh v´e o.i Y thı` ta ky´ hiˆe.u X Y D- ˆe’ y´ ,quan hˆe la` quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p ca´c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
3.3.1 D- i.nh l´y Gia’ su.’ to´an tu.’ A ∈ L(X, Y ) c´o to´an tu.’ ngu.o c A −1 : Y → X liˆ en tu c Khi d ¯´ o
(∀x ∈ X) Ax ≥ mx, v´o.i mo.i m ≤ A −1 −1 (3.3)
Ngu.o c la i, gia’ su ’ A to` . an ´ anh v` a tˆ `n ta.i m o 0 > 0 sao cho
(∀ x ∈ X) Ax ≥ m0x (3.4)
th`ı A −1 tˆ `n ta.i, liˆen tu.c v`a A o −1 ≤ m −1
0 .
Trang 29Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ to´an tu.’ A c´o to´an tu.’ ngu.o. c A −1 : Y → X liˆen tu.c,
khi d¯´o y = Ax tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i x = A −1 y Nhu vˆ a.y A −1 y ≤ A −1 y hay
x ≤ A −1 Ax Suy ra v´o.i mo.i m ≤ A −1 −1 th`ı ta c´o Ax ≥ mx.
Ngu.o. c la.i, cho (3.4) thoa’ m˜an, l´uc d¯´o nˆe´u v´o.i x, y ∈ X, Ax = Ay th`ı t`u.
0 = A(x − y) ≥ mx − y
suy ra x − y = 0 hay x = y t´u.c l`a A d¯o.n ´anh C`ung v´o.i gia’ thiˆe´t A to`an ´anh
th`ı A l`a song ´anh C˜ung t`u (3.4) ta c´o thˆe’ viˆe´t
∀y ∈ Y, m0A −1 y ≤ y,
hay A −1 y ≤ m −1
0 y Vˆa.y A −1 liˆen tu.c v`a A −1 ≤ m −1
0 .
Ta c´o mˆo.t hˆe qua’ tru c tiˆ. e´p nhu sau.
3.3.2 Hˆe qua’ Gia’ su ’ A : X . → Y l`a mˆo.t to`an ´anh tuyˆe´n t´ınh Lu´c d¯o´ A l` a mˆ o t ph´ ep d ¯ˆ `ng phˆ o oi tuyˆ e´n t´ınh khi v` a chı’ khi tˆ `n ta.i c´ac sˆo´ du.o.ng M, N sao o cho
∀x ∈ X : Nx ≤ Ax ≤ Mx.
K´y hiˆe.u Isom (X, Y ) l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac ph´ep d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh t`u X
lˆen Y Tˆa´t nhiˆen Isom (X, Y ) ⊂ L(X, Y ) Ho.n n˜u.a, ta c´o:
3.3.3 D- i.nh l´y Gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong gian Banach Nˆe´u A ∈ Isom (X, Y )
th`ı v´ o.i mo i B ∈ L(X, Y ) sao cho A − B < A −1 −1 th`ı B ∈ Isom (X, Y ).
N´oi c´ach kh´ac, Isom (X, Y ) l`a tˆa.p mo’ trong khˆ. ong gian d¯i.nh chuˆa’n L(X, Y ).
Ch´ u.ng minh. Gia’ su.’ B ∈ L(X, Y ) thoa’ A − B < A −1 −1 , ta ch´u.ng minh
B l`a song ´anh Lˆa´y y ∈ Y v`a x´et ´anh xa T : X → X,
Trang 30V`ı X Banach nˆ en T c´o mˆo.t d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng duy nhˆa´t, ngh˜ıa l`a tˆo`n ta.i mˆo.tv`a chı’ mˆo.t x ∈ X sao cho x = T x hay
x = A −1 y + A −1 (A − B)x.
Suy ra A −1 (y − Bx) = 0 hay y = Bx Vˆa.y B l`a song ´anh M˘a.t kh´ac
Bx = (A − (A − B))x ≥ Ax − (A − B)x
3.3.4 Chuˆ a’n tu.o.ng d ¯u.o.ng.
Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto v`a · 1, · 2 l`a hai chuˆa’n trˆen X (nhu.
vˆa.y ta c´o hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (X, · 1) v`a (X, · 2)) Ta goi hai chuˆa’n
n`ay l`a tu.o.ng d ¯u.o.ng nˆe´u ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t id : (X, · 1 → (X, · 2) l`a ph´ep
d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh
V`ı id l`a mˆo.t ´anh xa tuyˆe´n t´ınh nˆen theo Hˆe qua’ 3.3.2, d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’
d¯ˆe’ · 1 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i · 2 l`a tˆ`n ta.i hai sˆo´ du.o.ng co 1, c2 sao cho v´o.i mo.i
x ∈ X, ta c´o
c1x1 ≤ x2 ≤ c2x1. (3.5)Chu´ y´ r˘a`ng, trong thu. c ha`nh d¯ˆe’ kiˆe’m tra 2 chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng ta thu.`o.ngthiˆe´t lˆa.p bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c da.ng (3.5) na`y
V´ı du Trong Rn ta x´et chuˆa’n · d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa
3.1 Cho C [0,1] l`a khˆong gian c´ac h`am liˆen tu.c trˆen [0, 1] v´o.i chuˆa’n “max”
D- ˘a.t A : C [0,1] → C [0,1] , x → Ax x´ac d¯i.nh bo.’i
Trang 31a) (Ax)(t) = t2x(0).
b) (Ax)(t) = ϕ(t)x(t), trong d¯´o ϕ(t) ∈ C [0,1]
c) (Ax)(t) = x(0) − tx(t).
d) (Ax)(t) = x(t) − x(1 − t).
Ch´u.ng minh c´ac to´an tu.’ n`ay la` tuyˆ´n tı´nh, liˆen tu.c v`a h˜ay t´ınh A.e
3.2 Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a to´an tu’ tuyˆe´n.t´ınh liˆen tu.c Gia’ su. ∞
n=1 x n l`a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu (t.u , hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i) trong X,
hy˜ a ch´u.ng minh ∞
n=1 Ax n l`a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu trong Y (t.u , hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i).3.3 Gia’ su.’ A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X
v`ao khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n Y Ch´u.ng minh
A = sup
x<1 Ax.
3.4 Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a mˆo.t ´anh xa.
tuyˆe´n t´ınh Gia’ su.’ v´o.i mo.i d˜ay (x n)n trong X m`a lim
n x n = 0 th`ı d˜ay (A(x n))n
bi ch˘a.n o’ trong Y Ch´. u.ng minh to´an tu.’ A liˆen tu.c.
3.5 Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A ∈ L(X, Y ) Biˆe´t r˘a`ng
sup
H˜ay t´ınh chuˆa’n A.
3.6 Cho X, Y, Z l`a ba khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n Gia’ su’ u. n ∈ L(X, Y ) v`a
v n ∈ L(Y, Z) sao cho u n → u, v n → v lˆa`n lu.o t trong khˆong gian L(X, Y ) v`a L(Y, Z) Ch´u.ng minh v n ◦ u n → v ◦ u trong L(X, Z).
3.7 Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, Y l`a khˆong gian con cu’a X tr`u
mˆa.t trong X v`a Z l`a khˆong gian Banach Cho A ∈ L(Y, Z) Ch´u.ng minh r˘a`ng
tˆ`n ta.i duy nhˆa´t ˜o A ∈ L(X, Z) sao cho
Trang 323.10 Cho X, Y l`a hai khˆong gian Banach, A ∈ L(X, Y ) Gia’ su.’ c´o c´ac sˆo´
α, β ≥ 0, α < 1 sao cho v´o.i mo.i y ∈ Y th`ı tˆo`n ta.i x ∈ X d¯ˆe’ Ax − y ≤
|α| y, x ≤ βy Ch´u.ng minh r˘a`ng khi d¯´o v´o.i mo.i y ∈ Y th`ı phu.o.ng tr`ınh
Ax = y c´o nghiˆe.m x0 ∈ X thoa’ d¯iˆe ` u kiˆe.n x0 ≤ β
b Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i x ∈ X th`ı A n x → x trong X.
c A n c´o hˆo.i tu trong L(X) d¯ˆe´n to´an tu’ d¯ˆ. `ng nhˆo a´t id = I hay khˆong?3.12 Cho · 1, · 2 l`a hai chuˆa’n trong khˆong gian vecto X Gia’ su.’
X1 = (X, · 1) l`a mˆo.t khˆong gian Banach c`on X2 = (X, · 2) khˆong pha’i l`a
khˆong gian Banach Ch´u.ng minh r˘a`ng hai chuˆa’n n`ay khˆong tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.inhau
3.13 Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A : X → X l`a mˆo.t to´an
tu.’ tuyˆe´n t´ınh sao cho trong X tˆ `n ta.i mˆo.t d˜ay (xo n)n , x n = 1 v`a Ax n → 0.
Ch´u.ng minh r˘a`ng A khˆong tˆo`n ta.i to´an tu.’ ngu.o c bi ch˘a.n
3.14 Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X) Gia’ su’ tˆ. `n ta.i mˆo.t sˆo´o
c > 0 sao cho ∀ x ∈ X : Ax ≥ cx Ch´u.ng minh ImA = A(X) l`a khˆong
gian con d¯´ong cua’ X.
§4 KH ˆONG GIAN H˜U.U HA N CHI` U.Eˆ
Gia’ su.’ (X, · ) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, trong d¯´o khˆong gian vecto.
X c´o sˆo´ chiˆ` u h˜e u.u ha.n (dim X < ∞) L´uc d¯´o ta go.i X l`a khˆong gian h˜u.u ha.nchiˆ` u Mˆe o.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a loa.i khˆong gian n`ay cho bo’ i:.
4.1 D- i.nh l´y Hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K co´ cu`ng sˆo´ chiˆe`u
h˜ u.u ha n n la ` d ¯ˆ `ng phˆ o oi tuyˆ e´n t´ınh v´ o.i nhau.
Ch´ u.ng minh. T`u tı´nh chˆa´t quan hˆe d¯ˆo` ng phˆoi tuyˆ´n tı´nh lae ` quan hˆe tu.o.ng
d¯u.o.ng trˆen tˆa.p ca´ c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nˆen ta chı’ cˆa` n ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u
X l`a mˆo.t khˆong gian n - chiˆe ` u thı` X d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆ´n tı´nh v´e o.i khˆong gian Euclide
K n : v´o.i x = (ξ1, , ξ n)∈ K n th`ıx =n
i=1 |ξ i |21/2
.
Trang 33V`ı X l`a khˆong gian vecto n - chiˆ` u nˆen tˆe `n ta.i mˆo.t co so.’ {eo 1, , e n } trong
X v` a mo.i x ∈ X d¯u o c biˆe’u diˆe˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng x = n
i=1 ξ i e i .
Do d¯´o to´an tu.’ A : X → K n cho bo.’ i
x → x = (ξ1, , ξ n)l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh t`u X lˆen K n, d¯ˆ`ng th`o o.i v´o.i mo.i x ∈ X ta co´ :
Nhu vˆa.y A −1 liˆen tu.c
D- ˆe’ ch´u.ng minh A liˆen tu.c, ta k´y hiˆe.u m˘a.t cˆa`u d¯o.n vi {x ∈ K n : x = 1}
trong K n l`a S v`a x´et h`am sˆo´ f : S → R cho bo.’i
f (x) = x.
f l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen tu.c v`ı v´o.i mo.i x, y ∈ S,
|f(x) − f(y)| = x − y ≤ x − y ≤ Mx − y.
Ho.n n˜u.a S l`a tˆa.p compact trong K n nˆen f d¯a.t d¯u.o c gi´a tri b´e nhˆa´t f(x0) = α
trˆen d¯´o ta.i d¯iˆe’m x0 ∈ S V`ı x0 = 1 nˆen x0 = 0, nhu thˆe´ x0 = 0 Do d¯´o nˆe´u
x ∈ S thı` x = f(x) ≥ α > 0 Bˆay gi`o v´o.i x ∈ X, x = 0 th`ı Ax = x = 0 Ta d¯˘a.t
y = x
Ax , th`ı y =
Ax
Ax nˆen y = 1 Theo d¯iˆe` u v`u.a ch´u.ng minh ta c´o y ≥ α
hayx ≥ αAx t´u.c l`a Ax ≤ α −1 x v´o.i mo.i x = 0 Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay c˜ung
d¯´ung khi x = 0 nˆ en A liˆ en tu.c Vˆa.y A l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh
Nhˆ a n x´ et V´o.i ´anh xa tuyˆe´n t´ınh A x´ac d¯i.nh nhu trˆen, A luˆon luˆon l`a ph´ep
d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh t`u X lˆ en K n d`u cho trong X ta cho.n bˆa´t k`y chuˆa’n n`ao.
4.2 Hˆe qua’ Tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian n - chiˆe ` u X d¯ˆe ` u l` a khˆ ong gian Banach.
D- iˆe` u n`ay d¯u.o. c suy ra t`u khˆong gian Euclide K n l`a khˆong gian Banach v`a X
d¯ˆ`ng phˆo oi tuyˆe´n t´ınh v´o.i K n
Trang 344.3 Hˆe qua’ Gia’ su ’ X la . ` mˆ o t khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n tuy` y ´ va ` Y la ` mˆ o t khˆ ong gian con h˜ u.u ha n chiˆ ` u cu’a X Khi d¯o e ´ Y la ` mˆ o t khˆ ong gian con d ¯o ´ ng cu’a X.
Ch´ u.ng minh Vı` Y h˜u.u ha.n chiˆe` u nˆen Y la` khˆong gian Banach Gia’ su.’
(y n)n ⊂ Y sao cho y n → y ∈ X Lu´c d¯o´ thı` (y n)n la` da˜ y co ba’n trong Y nˆen pha’i
hˆo.i tu vˆe` phˆ` n tu.a ’ y ∈ Y Do tı´nh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a gi´o.i ha.n, suy ra y = y ∈ Y.
Vˆa.y Y la` tˆa.p d¯o ´ ng trong X.
4.4 Hˆe qua’ Hai chuˆa’n bˆa´t ky` trong mˆo.t khˆong gian vecto h˜u.u ha.n chiˆe`u
d ¯ˆ ` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´ e o.i nhau.
Ch´ u.ng minh. Gia’ su.’ X l` a n - chiˆ` u v`e a · 1, · 2 l`a hai chuˆa’n trong X K´y
hiˆe.u {e1, , e n } l`a mˆo.t co so.’ trong X v`a X1 = (X, · 1), X2 = (X, · 2) X´et
t`u X1 lˆen X2 Vˆ a.y hai chuˆa’n · 1 v`a · 2 l`a tu.o.ng d¯u.o.ng
Mˆo.t tı´nh chˆa´t d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian vecto h˜u.u ha.n chiˆe`u d¯u.o c d¯˘a.c tru.ng
bo.’ i tı´nh chˆa´t tˆo pˆo cho bo.’ i d¯i.nh ly´ 4.6 sau d¯ˆay Tuy nhiˆen tru.´o.c hˆe´t ta pha´tbiˆe’u va` ch´u.ng minh bˆo’ d¯ˆ` quan tro.ng:e
4.5 Bˆ o’ d ¯ˆ` (Riesz) Gia’ su.e ’ Y l` a mˆ o t khˆ ong gian con d ¯´ ong cu’a X va ` kha ´ c v´ o.i X Cho z0 ∈ X \ Y v`a > 0 L´uc d¯´o tˆo`n ta.i x0 ∈ Y ∪ {z0}