Giáo trình Giải tích số pptx

8 2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn.. 8 2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục.. Ch-ơng 1Lý Thuyết Sai Số 1.1 Các loại sai số Trên thực tế khi đo một đại l-ợ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Giáo trình dùng cho sinh viên

Đại học, Cao đẳng )

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

LÊ MINH LƯU

1.1 Các loại sai số 3

1.2 Quy tắc thu gọn số 3

1.3 Chữ số chắc, không chắc 4

1.4 Hai bài toán về sai số 5

1.5 Sai số các phép toán 5

Ch-ơng 2 Xấp xỉ tốt nhất 8

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn 8

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục 12

2.3 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert 17

Ch-ơng 3 Xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy 19

3.1 Bài toán nội suy 19

3.2 Giải hệ đại số tuyến tính để xác định đa thức nội suy 21

3.3 Ph-ơng pháp nội suy Lagrange 22

3.4 Tr-ờng hợp các mốc nội suy cách đều 23

3.5 Sai số của p-ơng pháp nội suy Lagrange 24

3.6 Chọn mốc nội suy tối -u 26

Ch-ơng 4 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân 31

4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm 31

4.2 Tính gần đúng tích phân 32

Ch-ơng 5 Giải ph-ơng trình phi tuyến 37

5.1 Ph-ơng pháp đồ thị 37

5.2 Ph-ơng pháp chia đôi 37

5.3 Ph-ơng pháp lặp đơn 38

5.4 Ph-ơng pháp dây cung 40

5.5 Ph-ơng pháp tiếp tuyến 42

5.6 Giải đa thức 44

5.7 Giải hệ hai ph-ơng trình phi tuyến bằng ph-ơng pháp lặp đơn 46

Ch-ơng 6 Giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính 47

6.1 Một vài khái niệm cần thiết 47

6.2 Ph-ơng pháp Gauss 47

6.3 Ph-ơng pháp căn số 51

6.4 Ph-ơng pháp lặp đơn giải hệ đại số tuyến tính 53

6.5 Ph-ơng pháp Jacobi 53

6.6 Ph-ơng pháp Seidel 55

6.7 Ph-ơng pháp Gauss-Seidel 57

Ch-ơng 7 Giải gần đúng ph-ơng trình vi phân 59

7.1 Ph-ơng pháp xấp xỉ liên tiếp 59

7.2 Ph-ơng pháp chuỗi nguyên 61

7.3 Ph-ơng pháp Euler 62

7.4 Ph-ơng pháp Euler cải tiến 65

7.5 Ph-ơng pháp Runge-Kutta 66

Tài liệu tham khảo 68

Ch-ơng 1

Lý Thuyết Sai Số

1.1 Các loại sai số

Trên thực tế khi đo một đại l-ợng hoặc xác định một đại l-ợng mà ta ký hiệu là a ∗,

thông th-ờng không xác định đ-ợc giá trị đúng mà chỉ biết đ-ợc giá trị gần đúng a Vậy

ta đã gặp phải sai số Có nhiều loại sai số:

1 Sai số thực sự: Đại l-ợng

4 := |a − a ∗ |

gọi là sai số thực sự của a.

2 Sai số tuyệt đối: Nếu biết 4 a ≥ 0 sao cho

a − 4 a ≤ a ∗ ≤ a + 4 a

thì 4 a gọi là sai số tuyệt đối của a.

3 Sai số t-ơng đối: Đại l-ợng

Trong đó: β j bằng β j + 1 nếu 0, 5 ì 10 j < à < 10 j và bằng β j nếu 0 ≤ à < 0, 5 ì 10 j

Tr-ờng hợp à = 0.5 ì 10 j thì β j = β j nếu β j chẵn và β j = β j + 1 nếu β j lẻ Nh- vậysai số thu gọn là đại l-ợng Γa ≥ 0 thỏa

|a − a| ≤ Γ a

2 Sai số tuyệt đối cùng thứ nguyên với đại l-ợng đo.

3 Sai số t-ơng đối đặc tr-ng cho độ chính xác của phép đo và không có thứ nguyên

4 Sau khi thu gọn số thì sai số tuyệt đối tăng lên

Gọi a ∗ là giá trị đúng, a là giá trị gần đúng và gọi a là số sau khi thu gọn của a thì

• Một chữ số là chắc sau khi thu gọn số có thể nó không còn là chắc.

• Trong kỹ thuật, ng-ời ta th-ờng dùng ω = 1 và nếu chữ số là chắc thì sau thu gọn

nó vẫn là chắc (0, 56 ≤ ω ≤ 1).

• Khi tính toán, ta th-ờng giữ lại các chữ số chắc và lấy phụ thêm từ 1 đến 2 chữ số

không chắc và có ký hiệu riêng để chỉ các chữ số không chắc này

• Sai số t-ơng đối của một số không phụ thuộc vào vị trí dấu phẩy của nó (dấu chấm

Biết sai số t-ơng đối là δ a , tìm số chữ số chắc γ a Giả sử biết δ a > 0, ta viết

δ a = λ10 −m với 0.1 < λ < 1 và m là số nguyên Đặt a m là số a nh-ng dời dấu chấm

thập phân sao cho a m có m + 1 chữ số tr-ớc dấu chấm thập phân Ta có:

Cuèi cïng ta cã thÓ kÕt luËn, nÕu δ a = λ

Chó ý: Khi trõ hai sè gÇn nhau cÇn lÊy c¸c sè víi nhiÒu ch÷ sè ch¾c v× khi trõ hai

sè gÇn nhau kÕt qu¶ mÊt chÝnh x¸c

b Sai số phép toán nhân, chia:

Nếu δx m = maxi=1,n {δx i } và số chữ số chắc của x m là k thì δy ≥ δx m và số chữ

số chắc của y không v-ợt quá k Vì vậy khi làm phép toán nhân, chia ta chỉ cần lấy k + 1 hoặc k + 2 chữ số là đủ.

c Sai số phép lũy thừa, khai căn và nghịch đảo:

• Nếu α > 1 thì δy > δx tức là phép lũy thừa làm giảm độ chính xác.

• Nếu 0 < α < 1 thì δy < δx tức là phép khai căn làm tăng độ chính xác.

• Nếu α = −1 thì δy = δx và phép nghịch đảo có độ chính xác không đổi.

Ch-ơng 2 Xấp Xỉ Tốt Nhất

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn L ⊂ X là đa tạp tuyến tính đóng của

X và f ∈ X Bài toán đặt ra hãy tìm phần tử f ∗ ∈ L sao cho:

Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo một chứng minh khác sau đây khi (trong định lý

trên) đã biết cơ sở của không gian tuyến tính L để thấy rõ hơn ý nghĩa vấn đề.

Giả sử {g1, g2, , g n } là các phần tử độc lập tuyến tính trong X Đặt (bao tuyến tính

là tập các đa thức thực bậc không quá n và L là không gian con hữu hạn chiều của

L2[0, 1] Theo Định lý 2.1.1 với mọi f ∈ L2[0, 1] luôn tồn tại đa thức bặc không quá n

.

Định nghĩa 2.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn X đ-ợc gọi là lồi chặt (ngặt)

nếu ∀x, y ∈ X,

k x k=k y k= 1, k x + y k= 2, thì x = y.

Định lý 2.1.3 Nếu X là không gian lồi chặt và L là không gian con hữu hạn chiều

của X thì phần tử xấp xỉ tốt nhất f ∗ là duy nhất.

Chứng minh: Đặt

% = min

g∈L k f − g k,

có hai tr-ờng hợp xảy ra

1) Tr-ờng hợp % = 0 ⇒ f ∈ L và f ∗ = f Tức f ∗ là duy nhất

2) Tr-ờng hợp % 6= 0 thì f / ∈ L và % > 0 Giả thiết phản chứng, tồn tại f ∗

a Nếu X là lồi chặt thì với hai điểm khác nhau trên mặt cầu đơn vị, đoạn thẳng nối

hai điểm đó không có điểm chung nào khác với mặt cầu trừ chính hai điểm này (ý nghĩahình học của không gian lồi chặt)

b Không gian hữu hạn chiều R n và không gian Hilbert là lồi chặt

c Không gian C [0,1] (không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, 1]) không lồi chặt Thật vậy, chỉ cần lấy phần tử y1(x) = 1, y2(x) = x, ta có y1, y2 ∈ C [0,1] và ky1k = 1, ky2k = 1.

Hơn nữa, dễ thấy k y1 + y2 k= max x∈[0,1] |1 + x| = 2 nh-ng y1 6= y2, vậy không gian

C [0,1]]không lồi chặt.

d Nếu tồn tại phần tử xấp xỉ tối nhất f ∗ của f ta đặt kf − f ∗ k := En(f ).

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian các hàm liên tục C [a,b]

Ký hiệu C [a,b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] và L là tập mọi đa thức bậc không quá n.

Định lý 2.2.1 (Wallee' - Poussin) Giả sử f ∈ C [a,b] và Q n ∈ L Nếu tồn tại n + 2

điểm phân biệt

a ≤ x0 < x1 < < x n+1 ≤ b, sao cho

Điều này là mâu thuẫn và định lý đ-ợc chứng minh.

Định lý sau đây là khá quan trọng về phần tử xấp xỉ tốt nhất trong C [a,b]vì rằng ngoài

việc nó chỉ ra đ-ợc phần tử xấp xỉ tốt nhất của f liên tục mà nó còn cho ta cách xác định

đa thức xấp xỉ tốt nhất Q n (x).

Định lý 2.2.2 (Chebyshev) Điều kiện cần và đủ để Q n là đa thức bậc không quá n xấp xỉ tốt nhất của f ∈ C [a,b] là tồn tại (n + 2) điểm phân biệt,

a ≤ x0 < x1 < < x n+1 ≤ b, sao cho

Tức là Q n là đa thức xấp xỉ tốt nhất f

b Điều kiện cần Ta xây dựng n + 2 điểm Chebyshev nh- sau

xây dựng các dãy phù hợp ng-ời ta chứng minh đ-ợc rằng tr-ờng hợp này không xảy

ra Vậy m ≥ n + 2 Khi đó ta chỉ cần lấy {y0, y1, , y n+1 } làm dãy điểm Chebyshev và

Định lý đ-ợc chứng minh

Ta đã biết không gian C [a,b] không lồi chặt nên vấn đề đặt ra là liệu định lý duy nhất

về phần tử xấp xỉ tốt nhất còn đúng trong C [a,b]không? Câu trả lời là vẫn đúng Điều đó

đ-ợc chỉ ra trong định lý sau:

Định lý 2.2.3 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f ∈ C [a,b] trên L là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử P n ∈ L, Q n ∈ L đều là các đa thức xấp xỉ tốt nhất của f và

§iÒu nµy suy ra ®a thøc P n +Q n

2 còng lµ ®a thøc xÊp xØ tèt nhÊt f trªn L Gi¶ sö d·y

§Þnh lý 2.2.4 XÊp xØ tèt nhÊt cña mét hµm ch¼n (lÎ) còng lµ mét hµm ch¼n (lÎ).

Chøng minh: Gi¶ sö f lµ ch¼n th× khi thay x bëi −x ta nhËn ®-îc

Bởi Q0(x) là đa thức bậc không tức là hàm hằng nên ta lấy Q0(x) = M +m

Theo Định lý Chebyshev, Q0 là xấp xỉ tốt nhất của f trên [a, b].

b Xấp xỉ tốt nhất đa thức bậc một Q1(x)

Xét hàm f (x) lồi liên tục trên [a, b] Nếu f (x) là tuyến tính thì đa thức xấp xỉ tốt nhất cũng là f (x) Giả sử f (x) không là hàm tuyến tính và Q1(x) = px + q là đa thức xấp xỉ tốt nhất f (x) Đặt U(x) := f (x) − (px + q) thì U(x) cũng là hàm lồi nên đạt cực trị tại điểm c ∈ [a, b] duy nhất Theo Định lý Chebyshev thì có ba điểm Chebyshev luân phiên, vậy hai điểm đầu và cuối phải là a và b Điểm còn lại là điểm c ∈ (a, b) mà tại đó

Điều này chỉ ra chuỗi Pn i=1 c2

i hội tụ và có bất đẳng thức Bessel

∞

X

i=1

c2i ≤k x k2 .

Chúng ta đã biết là chuỗi FourierP∞ i=1 c i e i hội tụ và hơn nữa x =P∞ i=1 c i e i

Bây giờ, giả sử H0 là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x ∈ H Bài toán đặt ra là tìm h0 ∈ H0 sao cho

k x − h0 k= inf

h∈H k x − h0 k= d(x, H0).

Giả sử h0 = arg min h∈H0 k x − h0 k và cố định phần tử h ∈ H0 bất kỳ Với α ∈ R xét

Bởi vậy F 0 (0) = 0, tức là < x − h0, h >= 0 với mọi h ∈ H0 Điều này chỉ ra phần tử

x − h0 trực giao với H0, (x − h0)⊥H0 Hơn nữa,

Tức là h0 = arg min h∈H0 k x − h0 k Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi h = h0

Dễ thấy rằng nếu không gian H0 có số chiều hữu hạn thì phần tử xấp xỉ tốt nhất

h0 = arg min h∈H0 k x − h0 k tồn tại và duy nhất.

Ch-ơng 3 Xấp Xỉ Hàm Bằng Đa Thức Nội Suy

Cho [a, b] ⊂ R Gọi f (x), x ∈ [a, b] là hàm cần xấp xỉ, φ0(x), φ1(x), , φ n (x) là hệ

3.1 Bài toán nội suy

Cho f (x) ∈ R, x i ∈ [a, b], (i = 0, n) là các điểm phân biệt trên [a, b] Tức là

i=0 đ-ợc gọi là hệ Chebyshev, nếu với mọi dãy

c0, c1, c2, , c n không đồng thời bằng không thì hàm xác định bởi P (x) :=Pn i=0 c i φ i (x)

có không quá n nghiệm trên [a, b].

Ví dụ: Xét hệ hàm {φ i (x)} n

i=0 , φ i (x) = x i thì hệ {φ i (x)} n

i=0 là Chebyshev vì theo

định lý Taylor, các đa thức bậc không quá n có không quá n nghiệm trên tr-ờng số thực.

n + 1 trên [a, b] và với mọi k = 0, 1, 2, , n có định thức Wronskian:

Định lý 3.1.3 Với mọi dãy điểm {x i } n

i=0 là các mốc nội suy, với mọi hàm f (x) thì, Tồn tại đa thức nội suy khi và chỉ khi hệ hàm {ϕ i } n

b Với mỗi hàm f , với mỗi {x i } n

i=0 , x i 6= x j , i 6= j mà tồn tại đa thức nội suy, ta

chứng minh hệ {ϕ i } n

i=0 là hệ Chebyshev Giả sử ng-ợc lại rằng hệ {ϕ i } n

i=0 không là hệ

Chebyshev, từ đó tồn tại hàm P (x) =Pn i=0 c i ϕ i (x) có n + 1 nghiệm trên đoạn [a, b] mà

ta có thể sắp xếp các nghiệm đó sao cho

3.2 Giải hệ đại số tuyến tính xác định đa thức nội suy

Từ hệ đại số xác định đa thức nội suy, nếu ma trận hệ số có định thức

Chú ý: Cần quan tâm đến các vấn đề sau:

1 Trong các bài toán thực tế khác nhau, cần chọn các hệ Chebyshev φ i thế nào chophù hợp?

2 Độ lệch giữa hàm nội suy và đa thức nội suy?

3 Chọn mốc nội suy nào để có lợi nhất?

4 Độ ảnh h-ởng của sai số và phép đo?

3.3 Đa thức nội suy Lagrange

Trong bài toán nội suy nếu lấy hệ Chebyshev là hệ hàm {φ i (x)} n

Để xác định đa thức P i (x) bậc n thỏa P i (x j ) = δ ij Khi đó P i (x) có dạng

P i (x) = A(x − x0)(x − x1) (x − x i−1 )(x − x i+1 ) (x − x n ).

Do 1 = P i (x i ) = A(x i − x0)(x i − x1) (x i − x i−1 )(x i − x i+1 ) (x i − x n), suy ra

P i (x) = (x − x0)(x − x1) (x − x i−1 )(x − x i+1 ) (x − x n)

(x i − x0)(x i − x1) (x i − x i−1 )(x i − x i+1 ) (x i − x n).Vậy

Đa thức nội suy P n (x) xác định nh- trên gọi là đa thức nội suy Lagrange.

Ví dụ: Xét hàm f cho d-ới dạng bảng sau

x 0 2 3 5

f (x) 1 3 2 5

Tìm đa thức nội suy Lagrange của f

3.4 Tr-ờng hợp các mốc nội suy cách đều

Trong nội suy Lagrange nếu các mốc nội suy cách đều nhau, tức là

= (−1)

n t(t − 1) (t − n) n!

Nhận xét:

a Hệ số (−1) n−i C n i

t−i không phụ thuộc vào hàm y = f (x) Nên ta có thể tính sẵn và lập

thành bảng để tính

b Nếu thêm mốc nội suy mới thì phải tính lại từ đầu

Ví dụ 1: Tìm đa thức nội suy trùng với y = 3 x tại các điểm x0 = −1; x1 = 0; x2 = 1

(x + 1)x (1 + 1).1 .

3.5 Sai số của công thức nội suy Lagrange

Cho f ∈ C [a,b] (n+1) Xác định sai số R(x) = f (x) − P n (x) Giả sử

Dễ thấy rằng ϕ(z) = 0 tại (n + 2) điểm là x0, x1, , x n , x Từ đó suy ra:

Đạo hàm bậc 1, ϕ(1)(z) = 0 tại (n + 1) điểm;

Đạo hàm bậc 2, ϕ(2)(z) = 0 tại n điểm;

Đạo hàm bậc n, ϕ (n) (z) = 0 tại 2 điểm;

Cuối cùng sẽ tồn tại điểm ξ = ξ(x) ∈ [a, b] sao cho ϕ (n+1) (ξ) = 0 Từ đạo hàm cấp

k = f (x) − P n (x)

ω(x) .

Nh- vậy

f (n+1) (ξ) (n + 1)! =

n i=0 (x − x i ).

Ví dụ 2: Trong Ví dụ 1, ta đã xác định đ-ợc đa thức nội suy hàm y = 3 xtại các mốc

3.6 Chọn mốc nội suy tối -u

Cho hàm f (x) ∈ C [a,b] (n+1) vấn đề đặt ra là chọn các mốc nội suy nh- thế nào để sai sốtrong công thức nội suy là bé nhất?

1 Đa thức Chebyshev

Xét đa thức bậc n xác định bởi

T n (x) = cos[n arccos(x)], trong đó n = 0, 1, 2, , và x ∈ [−1, 1].

Để thấy đ-ợc dạng hiện của đa thức ta đặt θ = arccos(x) t-ơng đ-ơng cos θ = x.

Thay vào biểu thức ta có:

Nhận xét: Đa thức T n (x) là đa thức bậc n có hệ số đầu là 2 n−1

Định lý 3.6.1 Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu là 1 thì đa thức T n (x)

2n−1 có

độ lệch so với 0 nhỏ nhất trên [−1, 1] (hệ số đầu hiểu là hệ số của số hạng bậc cao nhất trong đa thức), tức là với mọi đa thức

P (x) = x n + a1x n−1 + + a n , thì

k P k≥k T n

2n−1 k= 1

2n−1

Chứng minh: Theo cách xác định của đa thức Chebyshev ta có

2 Nghiệm của đa thức Chebyshev

Xét điểm x k là nghiệm của T n (x) nghĩa là T n (x k ) = 0 Bởi T n (x) = cos[n arccos(x)]

và theo cách đặt θ k = arccos(x k ) nên x k = cos(θ k ), suy ra θ k = (2k+1)π 2n Vậy

x k = cos(2k + 1

2n )π, k = 0, 1, , n − 1.

3 Nghiệm của đa thức Chebyshev trên đoạn [a, b]

Bây giờ xét x ∈ [a, b] Từ công thức nghiệm của đa thức Chebyshev x k ở trên ta suy

ra công thức của đa thức Chebyshev trên đoạn [a, b] bằng phép đổi biến

4 Chọn mốc nội suy tối -u

Từ công thức sai số của ph-ơng pháp nội suy

Khi đó, sai số cho bởi công thức

Xét hàm f (x) = √ x + 1, Tìm đa thức nội suy Q3 của f trên [0, 1] với các mốc nội

suy tối -u Nh- vậy, theo kết quả ở trên ta có 4 mốc nội suy tối -u là:

x i = 1

2{cos(

2i + 1

4 π) + 1}, i = 0, 1, 2, 3.

§a thøc néi suy

Ch-ơng 4 Tính Gần Đúng Đạo Hàm Và Tích Phân

4.1 Dùng nội suy Lagrange tính gần đúng đạo hàm

Ta phải tính đạo hàm của một hàm dạng bảng hoặc một hàm ở dạng giải tích phứctạp thì thông th-ờng ta dùng ph-ơng pháp tính gần đúng Chẳng hạn ta có thể thay hàm

f (x) bằng đa thức nội suy nào đó của f (x) là P (x) với phần d- R(x):

R(x) = f

(n+1) (ξ) (n + 1)!

VÝ dô trong tr-êng hîp sö dông néi suy Lagrange cÊp 1, Q1(x) ta cã:

Q1(x) = y0 x − x1

x0− x1 + y1

x − x0

x1− x0, R(x) = f ”(ξ)

Thay diÖn tÝch h×nh thang cong b»ng diÖn tÝch h×nh thang trªn ®o¹n [x i−1 , x i], ta cã

Trªn mçi ®o¹n [x 2i−2 , x 2i ], i = 1, 2, , n, ta thay f (x) b»ng ®a thøc néi suy bËc hai

Q2(x) víi c¸c mèc néi suy x 2i−2 , x 2i−1 , x 2i C«ng thøc cô thÓ :

f (x) = Q2(x) + R2(x).

Ch-ơng 5 Giải Ph-ơng Trình Phi Tuyến

Ch-ơng này trình bày một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình f (x) = 0 trong đó

c = a + b

2 Nếu f (c) = 0, thì c = ξ Nếu f (c) 6= 0, xảy ra hai tr-ờng hợp:

a Nếu f (c)f (a) < 0, thì chọn đoạn [a1, b1], a1 = a, b1 = c.

b Nếu f (c)f (b) < 0, thì chọn đoạn [a1, b1], a1 = c, b1 = b.

Khi đó f (a1) và f (b1) trái dấu Tiếp tục quá trình nêu trên, cuối cùng hoặc có c để

f (c) = 0, hoặc ta xây dựng đ-ợc dãy đoạn thắt lại [a n , b n ], n ∈ N, mà b n − a n = b − a

2n

thỏa f (a n ) < 0 < f (b n ) Theo nguyên lý dãy đoạn thắt lại sẽ tồn tại ξ, a n < ξ <

B-ớc 2 Nếu |b − a| < ε thì nghiệm gần đúng là c Nếu không quay lại b-ớc 1.

Ví dụ: Dùng ph-ơng pháp chia đôi giải gần đúng f (x) = x4+ 2x3− x − 1 trên đoạn