01 giải tích 12 chương i đồ thị hàm số

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO

SÁT HÀM SỐ

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y  2x24x5 b) 2 5

x

y  x c) y x 24x3 d) y x 32x2 x 2 e) y (4 x x)( 1)2 f) y x 33x24x1

g) 1 4 2 2 1

4

y  x  x  h) y  x4 2x23 i) 1 4 1 2 2

k) y  2x1 l) y x1 m)y 1 1

n) 2 2 26

2

y

x

 



1

x

   

3

y

x

Câu 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y 6x48x33x21 b) 22 1

4

x y x





1

y

 



  d) y 2x21

x



x y



  f) y x  3 2 2x g) y  2x 1 3x h) y x 2x2 i) y 2x x 2

k)      

sin2

sin2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x  D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

2) Nếu y'ax2bx c thì:





  



 



   

 



 



0 0 ' 0,

0 0

a b c



  



 



   

 



 



0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

2

b

a )

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c với số 0:

 



0

0



 



 



0

0

S  x1 0 x2 P 0

5) Để hàm số y ax 3bx2cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

 

 



0 0

 Biến đổi x1x2 d thành (x1x2)24x x1 2 d2 (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Câu 3 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) y x 35x13 b) 3 3 2 9 1

3

x

2

x y x







1

y

x



x m





Câu 4 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) y 5xcot(x1) b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Câu 5 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

a) y x 33mx2(m2)x m b) 3 2 2 1

x m





 d) y mx 4

x m





x m



2

y





Câu 6 Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y x  mx  mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3

3

y  x  m x  m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Câu 7 Tìm m để hàm số:

3

x

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 33(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +)

c) y mx m

x m4 ( 2)

 đồng biến trên khoảng (1; +)

d) y x m

x m





 đồng biến trong khoảng (–1; +)

2

y



 đồng biến trên khoảng (1; +)

f) 2 2 3

y

x



 nghịch biến trên khoảng 1 ;

2

 

 

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

 Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h

(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b)

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

Câu 8 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

6

x

x  x x với x  b) 2sin 1tan , 0

3 x3 x x với  x 2



2

2

x x x với  x 

Câu 9 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan , 0

2

a a b  b với   a b 

2

a a b  b với   a b 

Câu 10 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin 2 , 0

2

x

x với  x 

c) xsinx cosx 1,với 0 x

2



Câu 11 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) e x  1 x với x, 0 b) ln(1x)x với x, 0

1

x

 d) 1xlnx 1x2 1x2

Câu 12 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan550 1,4 b) 1 sin 200 7

HD: a) tan550 tan(45 10 )0 0 Xét hàm số ( ) 1

1

x

f x

x





 b) Xét hàm số f x( ) 3 x4x3

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

2 2



  và 1,sin 20 ,0 7

1 1;

2 2



 

c) Xét hàm số f x( ) log ( x x1) với x > 1

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x 0 của phương trình

 Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x 0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Câu 13 Giải các phương trình sau:

a) x x 5 5 b) x5x3 1 3 x 4 0

c) x x 5 x 7 x16 14 d) x215 3 x 2 x28

Câu 14 Giải các phương trình sau:

a) 5 x 1 5x 2 5x 3 0 b) ln(x4) 5 x

c) 3x4x 5x d) 2x3x 5x 38

Câu 15 Giải các bất phương trình sau:

a) x 1 35x 7 47x 5 513x 7 8 b) 2x x x 7 2 x27x 35

Câu 16 Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 1



    



2 2 2

    



    



c)



 d)

x y y x

x y

x y

tan tan

5

4 ,











x y

x y

5





 









x y

2





  





g) x x y y x y

x y







HD: a, b) Xét hàm số f t( )  t3 t2 t c) Xét hàm số f t( ) 6 t212 8t

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) < f(x 0 ), với x  (a; b) \ {x 0 }

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) > f(x 0 ), với x  (a; b) \ {x 0 }

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i =1,2 ,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Câu 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3x22x3 b) y x 32x22x1 c) 1 3 4 2 15

3

y  x  x  x

2

x

x

y  x 

2

y

x



1

y

x



3

y

x





Câu 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y(x2) (3 x1)4 b) 4 22 2 1

y



1

y



  d) y x x 24 e) y x22x5 f) y x  2x x 2

Câu 3 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3 2x 1 b) 3 2

x y x



 c) y e x4ex

d) y x 25x 5 2lnx e) y x 4sin2x f) y x ln(1x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f x 0 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d có cực trị   Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

+ y x( )0 ax03bx02cx0d + y x( )0 Ax0B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

 Hàm số 2

y

a x b



( )

P x

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân

biệt khác '

'

b

a



Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

0

( ) ( )

( )

P x

y x

Q x

 hoặc 0

0

0

'( ) ( )

'( )

P x

y x

Q x



 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–

et

Câu 4 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) y x 33mx23(m21)x m 3 b) y2x33(2m1)x26 (m m1)x1

c) y x2 m m( 2 1)x m4 1

x m



1

y

x m



 

Câu 5 Tìm m để hàm số:

a) y(m2)x33x2mx5 có cực đại, cực tiểu

b) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) có cực đại, cực tiểu

c) y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x = 2

d) y mx42(m2)x2 m 5 có một cực đại 1

2

x

e) y x2 2mx 2

x m



 đạt cực tiểu khi x = 2

1

y

x



 có cực đại, cực tiểu

g) 2

1

y

x

 



 có một giá trị cực đại bằng 0

Câu 6 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

a) y x 33x23mx3m4 b) y mx 33mx2(m1)x1

3

y

x



1

y

x





Câu 7 Tìm a, b, c, d để hàm số:

a)y ax 3bx2cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x=0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x=

1 3

b) y ax 4bx2c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x= 3

c) 2

1

y

x



 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1

d) y ax2 bx ab

bx a



 đạt cực trị tại x = 0 và x = 4

e) 2 22

1

y

x



 đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Câu 8 Tìm m để hàm số :

a) y x 32(m1)x2(m24m1)x2(m21) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

3

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1x2 8

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x2 1

Câu 9 Tìm m để hàm số :

1

y

x m



  có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu

1

y

x



 có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

4

y

x



 có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M m 4

2

y

x



 có y CĐy CT 12

Câu 10 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y  x3 mx24 có hai điểm cực trị là A, B và 2 900 2

729

m

b) y x 4mx24x m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

c) y x2 mx m 2

x m



 có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung Chứng minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành

d) 2

1

y

x





 có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10

1

y

x



 có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x f) y x2 2x m 3

x m



 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Câu 11 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất c) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):

3x2y 8 0

1

y

x



 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):

2x3y 1 0

Câu 12 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y x2 (m 1)x 2m 1

x m



 có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ

b) 2 2 (4 2 1) 32 2 2

2

y



 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ

c) y mx2 (m2 1)x 4m2 m

x m



 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ

1

y

x



 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung)

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:



( ) ( )

y f x Ax B

y f x Ax B

 Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

2) Hàm số phân thức     



2 ( ) ( ) ( )

P x ax bx c

y f x

Q x dx e

 Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì 0  0

0

'( ) '( )

P x y

Q x

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:



 '( ) 2 

'( )

P x ax b

y

Q x d

Câu 13 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y x 32x2 x 1 b) y3x22x3 c) y x 33x26x8

d)   



2

3

x x

y

x e   



2

x x y

x

Câu 14 Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

a) y x 33mx23(m21)x m 3 b)   



x mx y

x m c) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) d)    

 

1

x mx m y

x m

Câu 15 Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m1)x26(m2)x1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y2x33(m1)x26 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x 3mx27x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường

thẳng y = 3x – 7

d) y x 33x2m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ():

 1  5

2 2

y x

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

www.vmathlish.com

www.facebook.com / Van Luc 168

VanLucNN