Giáo trình: Giải tích 1

Ch ng minh:.

c ng ch ng trình đ c H c vi n Công ngh BC-VT thông qua n m 2007

Sách h ng d n h c toán cao c p A1 bám sát các giáo trình c a các tr ng đ i h c đang

gi ng d y chuyên ngành Qu n tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui c a H c vi n Công ngh BC-VT biên so n n m 2001 và kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính

vì th , tài li u này có th dùng đ h c t p và tham kh o cho sinh viên c a t t c các tr ng, các ngành đ i h c và cao đ ng

Cách trình bày trong sách thích h p cho ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c l c trong công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t, ng i đ c nên xem ph n gi i thi u

c a m i ch ng đ th y đ c m c đích, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i

n i dung, ng i đ c có th t đ c và hi u đ c thông qua các ví d minh ho Sau các ch ng,

ng i đ c ph i t tr l i đ c các câu h i ôn t p d i d ng tr c nghi m Nh các ví d minh ho

đ c đ a ra t đ n gi n đ n ph c t p, ng i đ c có th coi đó là bài t p m u đ t gi i các bài

t p có trong tài li u Ng i đ c có th t ki m tra, đánh giá ki n th c, kh n ng thu nh n d a vào ph n h ng d n và đáp s đ c cung c p nh ng trang cu i sách

C ng c n nh n m nh r ng, n i dung chính c a toán cao c p là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà n n t ng c a nó là phép tính gi i h n c a hàm s Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai ch ng đ u c a tài li u đ ng i h c t đ c c ng có th có đ c các ki n th c

v ng vàng đ đ c ti p các ch ng sau Trong quá trình t đ c và h c qua m ng, tu theo kh

n ng ti p thu, h c viên có th ch c n nh các đ nh lý và b qua ph n ch ng minh c a nó

Nhân đây tác gi c ng l u ý r ng b c trung h c ph thông c a n c ta, ch ng trình toán c ng đã bao hàm các ki n th c v vi, tích phân Tuy nhiên các n i dung đó ch mang tính

ch t gi i thi u do l ng th i gian h n ch , do c u t o ch ng trình Vì th n u không t đ c m t cách nghiêm túc các đ nh ngh a, đ nh lý c ng s v n ch n m đ c m t cách h i h t và nh v y

r t g p khó kh n trong vi c gi i các bài t p toán cao c p

Tuy r ng tác gi đã c g ng r t nhi u, song th i gian b h n h p.Vì v y các thi u sót còn

t n t i trong cu n sách là đi u khó tránh kh i Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý ki n

c a các b n đ ng nghi p, h c viên xa g n và xin c m n v đi u đó

Chúng tôi bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh BC-VT, Trung tâm ào t o BC-VT1, Phòng ào t o i h c t xa và các b n đ ng nghi p trong B môn Toán

c a H c vi n Công ngh BC-VT đã khuy n khích đ ng viên, t o đi u ki n cho ra t p tài li u này

Hà N i, ngày 7 tháng 6 n m 2006

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

7

M C ÍCH, YÊU C U

M i v t xung quanh ta đ u bi n đ i theo th i gian Chúng ta có th nh n th y đi u đó qua

s chuy n đ ng c h c c a các v t th : ô tô, máy bay; s thay đ i c a các đ i l ng v t lý: nhi t

đ , t c đ , gia t c; s bi n đ ng kinh t trong m t xã h i: Giá c phi u, lãi su t ti t ki m, T t

c các lo i hình đó đ c gán m t tên chung là đ i l ng hay hàm s , nó ph thu c vào đ i s

nào đó, ch ng h n là th i gian Xem xét hàm s t c là quan tâm đ n giá tr , tính ch t và bi n

thiên c a nó Vi c đó đ t ra nh m t nhu c u khách quan c a con ng i và xã h i

Trong ch ng này, chúng ta c n n m đ c các n i dung sau:

sinlim

x

x

x x

x

x x

→

11lim

11lim

3 Khái ni m liên t c, gián đo n c a m t hàm s Các tính ch t hàm s liên t c trên m t

∀ , ( )

2 Hàm s f (x) b ch n d i trong X n u t n t i s B sao cho: ∀ ∈x X B, ≤ f x( )

3 Hàm s f (x) b ch n trong X n u t n t i các s A,B sao cho:

x f

y = − Vì th trên cùng m t ph ng to đ Oxy, đ th c a hai hàm s f và f−1là

đ i x ng nhau qua đ ng phân giác c a góc ph n t th I và III

1.1.2 Các hàm s s c p c b n

A Hàm lu th a

Choα∈ Hàm lu th a v i s m α ,đ c kí hi u là Pα, là ánh x t *+ vào , xác

đ nh nh sau ∀ ∈x *+,P xα( )=xα

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

10

2 ∀x y, ∈ *+,

y x

y x

y x

xy

a a

a

a a

a

logg

lolog

loglog

a

ln

lnlog = , e = 2,718281828459045…,

nh n giá tr trên kho ng (−∞,+∞)

4 cotgx xác đ nh trên \{kπ,k∈ }, là hàm s l , tu n hoàn v i chu k T =π và nh n giá tr trên kho ng (−∞,+∞)

1,

th c a y = arctgx cho trên hình 1.6

4 Hàm arccôtang (đ c là ác-cô-tang) là ánh x ng c c a cotg: (0, )π → kí hi u:

arccotg

P X

x

0

)(

)()(,0)(,

x Q

x P x f x

Q X

G i

)(

)()(

x Q

x P x

f = là hàm h u t th c s khi và ch khi: degP(x) < degQ(x)

3 Hàm h u t t i gi n là các phân th c có d ng:

k

a x

A

)

q px x

C Bx

D i đây ta đ a ra các đ nh lí đ c ch ng minh trong lí thuy t đ i s

nh lí 1.1: M i đa th c b c n v i các h s th c đ u có th phân tích ra th a s trong d ng:

m m k

l k

i

1 1

=

<

−

=+ ∑

∑

=

=

,

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

14

t ng ng là: Q s =S p Q( ), d =D p( ), trong đó: p là giá hàng hóa, Q slà l ng cung (quantity supplied), t c là l ng hàng hóa mà ng i bán b ng lòng bán m i m c giá; Q dlà l ng c u (quantity demanded), t c là l ng hàng hóa mà ng i mua b ng lòng mua m i m c giá

T t nhiên, l ng cung và l ng c u hàng hóa không ch ph thu c vào giá c c a hàng hóa

đó, mà còn ch u nh h ng c a nhi u y u t khác, ch ng h n nh thu nh p và giá c a các hàng hóa liên quan Khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm c u d ng nêu trên ng i ta gi thi t

r ng các y u t khác không thay đ i Quy lu t th tr ng trong kinh t h c nói r ng, đ i v i các hàng hóa thông th ng, hàm cung là hàm đ n đi u t ng, còn hàm c u là đ n đi u gi m i u này có ngh a là, v i các y u t khác gi nguyên, khi giá hàng hóa t ng lên thì ng i bán s mu n bán nhi u h n và ng i mua s mua ít đi Các nhà kinh t g i đ th c a hàm cung và hàm c u là

đ ng cung và đ ng c u Giao đi m c a đ ng cung và đ ng c u g i là đi m cân b ng c a th

tr ng m c giá cân b ng pta có Q s =Q d =Q,t c là ng i bán bán h t và ng i mua mua

đ , th tr ng không có hi n t ng d th a ho c khan hi m hàng hóa

Chú ý: Trong các tài li u kinh t ng i ta th ng s d ng tr c hoành đ bi u di n l ng Q, tr c tung đ bi u di n giá p Cách bi u di n nh v y t ng ng v i vi c bi u di n hàm ng c c a hàm cung và hàm c u: p=S−1(Q s),p=D−1(Q d) Trong kinh t h c nhi u khi ng i ta v n g i các hàm này là hàm cung và hàm c u th c a chúng đ c cho trên H.1.8

Ng n h n là kho ng th i gian mà ít nh t m t trong các y u t s n xu t không thay đ i Dài

h n là kho ng th i gian mà t t c các y u t s n xu t có th thay đ i

Khi phân tích s n xu t, ng i ta th ng quan tâm đ n hai y u t s n xu t quan tr ng là v n (capital) và lao đ ng (labor), đ c kí hi u t ng ng là K và L

Trong ng n h n thì K không thay đ i, do đó hàm s n xu t ng n h n có d ng:

Q= f L( )

C Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l i nhu n

T ng doanh thu (total revenue), t ng chi phí (total cost) và t ng l i nhu n (total profit) c a nhà s n xu t ph thu c vào hàng hóa Khi phân tích s n xu t, cùng v i hàm s n xu t, các nhà kinh t h c còn s d nh các hàm s :

1 Hàm doanh thu là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng doanh thu, kí hi u TR vào s n

l ng Q:

TR = TR(Q)

Ch ng h n, t ng doanh thu c a nhà s n xu t c nh tranh là hàm b c nh t:

TR = pQ

trong đó p là giá s n ph m trên th tr ng

2 Hàm chi phí là hàm s bi u di n s ph thu c c a t ng chi phí, kí hi u TC vào s n l ng Q:

Ch ng minh:

1)( = không có gi i h n h u h n t i 0

f

a x

l x h

l x f a

x X

x

) (

) ( 0

:

⇒−ε < f(x)−l ≤g(x)−l≤h(x)−l<ε T c là g x l

a

→ ( )lim

Chú ý: nh lí đúng v i các tr ng h p a=+∞,a=−∞

: ,

) ( 0

: , , 0

η δ

δ

ε η

η ε

x x

l y g b

y y

nh lí 1.12 có th suy di n cho tr ng h p f x( )gi m trên (a,b).K t qu cho trên hình 1.9

x

x x

→

11lim

11lim (1.2)

C = +∞ + = −∞

→ +∞

−+

−+

3coscos

lim

x

x x

2 2

2

3sin22sin2)3cos1()1(cos3

coscos

x

x x

x

x x

x

B Tính ch t đ i s c a VCB

D a vào tính ch t đ i s c a hàm có gi i h n, nh n đ c tính ch t đ i s c a các VCB sau đây:

α c ng là VCB t i a

β

α β

α

a x a

β

α β

α

a x n

j j

m

i i

x A

1

)( là VCL t i a

)(lim)(

)(lim

1

1

x B

x A x

B

x A

a x a

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

24

)(

)(lim)(

)(

x A x

B

x A

a x n

j j

m

i i

x

x x

sinlim

1cos.sinlim

x x

x x

x

x

3 2 0

0sin4 , lim sin

2sin

lim

~sin,

~

2

14

2lim4

sin

2sinlim4

~4

sin

2

~2

sin

2 2 0 2

3 2 0 2

2 2 2

0 0

x x tg x

x x

x

tg

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

Ví d 7: Tìm

1

1lim ,2

1lim

,22

1

2 3

2 2

2

−

++

++

−

−+

x x x

x x

x x

x

Gi i:

2

12

lim2

2

1

2 2

x x

x x

2

=

=

=+

++

x x

x x

C Hàm liên t c trên m t kho ng

1 Hàm f (x) liên t c t i m i đi m x∈ thì nói r ng nó liên t c trên t p X X

2 Hàm f (x) liên t c trên kho ng m (a,b) và liên t c trái t i b, liên t c ph i t i a nói r ng

nó liên t c trên [a,b]

D i m gián đo n c a hàm s

1 N u f (x) không liên t c t i a, nói r ng f (x) có đi m gián đo n t i x= a

2 N u a là đi m gián đo n và f(a−),f(a+) là các s h u h n thì g i x= là đi m gián a

h f i u này suy ra t đ nh lí 1.13 c a hàm s đ n đi u

3 N u a là đi m gián đo n c a f (x) và không ph i là đi m gián đo n lo i 1 thì nói r ng

)

(x

f có đi m gián đo n lo i 2 t i x= a

Các đ nh ngh a trên đ c mô t trên hình 1.11

y y

Nói r ng hàm f liên t c t ng khúc trên [ ]a,b n u nh ch có m t s h u h n các đi m

gián đo n lo i 1 c a hàm s trên đo n đó

x g

x f

y x

a

a a

y x

log

1)1(loglim

1lim

y x

x y x

x

x x

x

)1ln(

)1ln(

lim)(lim11

lim

0 0

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

27

Ch ng minh: Th c hi n ph ng pháp chia đôi đo n [ ]a, b N u trong quá trình chia đôi tìm

đ c đi m c s d ng l i N u không tìm đ c c thì nh n đ c dãy các đo n l ng nhau ( [a , n b n] )

giác, hàm s l ng giác ng c, đa th c, hàm h u t Hàm s s c p

G Gi i h n c a hàm s s c p

Hàm s s c p xác đ nh t i x0 thì lim ( ) ( 0)

0

x f x f

sinlim

x

x x

→

11lim

11lim

3 = +∞ + = −∞

→ +∞

α c ng là VCB t i a

α β

α

a x a

β

α β

α

a x n

j j

m

i i

1)(

x A

1

)( là VCL t i a

3 N u A (x) là VCL t i a và f (x) gi nguyên d u t i a và lân c n c a nó thì

)()

)(lim)(

)(lim

1

1

x B

x A x

B

x A

a x a

4 N u A (x) là VCL c p cao h n B (x)t i a thì A+B~ A

)(

x A x

B

x A

a x n

j j

m

i i

1.N u f (x) không liên t c t i a, nói r ng f (x) có đi m gián đo n t i x= a

2.N u a là đi m gián đo n và f(a−),f(a+) là các s h u h n thì g i x= là đi m gián đo n a

)(

x g

x f

liên t c t i a

6 Cho f : X → a∈X, : g Y → và f(X)⊂Y. N u f (x)liên t c t i a

1.5. T ng ho c tích hai hàm s không có gi i h n h u h n t i a là hàm không có gi i h n t i a? úng ฀ Sai ฀

2 +

=

x x

g ,

c h x = x2 − x

) ( , d k ( x ) = 2 − x

(

x x

2 12 16

2lim

n x x

Ch ng 1: Hàm s m t bi n s

34

c

12

12

x , d ( )

2 1

)(

)(lim

a x

a x na a

+∞

x x x

x , b

12lim

4 3

+

++

+∞

x x x

x

11

.1lim

0

−++

→

β α

1.24 Tìm các gi i h n

a

a x

a x

lim , b

3 0

sin11

lim

x

x tgx

x

+

−+

c

x

x x x

3cos.2cos.cos1

3

0 sin

coscos

2

2

12

13

lim , b

1 1

2 2

1

1lim

e

β α

sinsin

3ln

2ln

f

1.31 Ch ng minh r ng m i ph ng trình đ i s b c l có ít nh t m t nghi m th c

ni m đ o hàm là m t trong nh ng t t ng quan tr ng nh t c a gi i tích Trong ch ng I, chúng

ta đã đ t v n đ xem xét hàm s , nh ng v n đ c t lõi c a hàm s là t c đ bi n thiên c a nó

ch a đ c xét đ n Nh vào khái ni m đ o hàm ng i ta có th kh o sát toàn di n m t đ i l ng

bi n thiên Khái ni m đ o hàm g n li n v i các đ i l ng v t lý: v n t c t i th i đi m t c a m t

v t chuy n đ ng, nhi t dung c a v t th nhi t đ to

, c ng đ dòng đi n,v.v ; g n li n v i các

hi n t ng hoá h c: t c đ ph n ng hoá h c th i đi m t; g n li n v i các bài toán kinh t xã

h i: t c đ t ng tr ng kinh t , ph ng án t i u trong giao thông, trong s n xu t kinh doanh, v.v

Các n i dung c b n c n n m v ng g m:

1 Phân bi t các khái ni m: đ o hàm, vi phân, tính kh vi c a hàm s Ý ngh a c a chúng

2 N m v ng các qui t c tính đ o hàm, vi phân c a hàm s d a vào: b ng đ o hàm các hàm s

s c p c b n; các tính ch t c a hàm s kh vi, đ c bi t công th c đ o hàm c a hàm s h p

3 Công th c đ o hàm và vi phân c p cao c a các hàm s s c p c b n, t đó nh n đ c công

th c Taylor c a chúng Ý ngh a c a công th c Taylor

4 ng d ng đ o hàm: kh các d ng b t đ nh (qui t c Lôpitan), xét s bi n thiên c a hàm s , tìm c c tr c a hàm s , tìm đi m u n và xét tính l i ho c lõm c a hàm s

h

)()(lim

0

−+

a f h a f

Δ

)()( + − = g i là t s c a các s gia hàm s và s gia đ i s

h

)()(lim

0

−++

h

)()(lim

0

−+

.)()

1 f có th liên t c t i a nh ng không kh vi t i a ch ng h n các hàm d i đây và đ th c a

chúng trên hình 2.1 mô t đi u đó

• f ∈ cho b i f(x)= x liên t c t i 0 nh ng không kh vi t i 0 vì

0,

1sin.)(

x

x x

x x f

h

1sin

1sin

1 2 1 2

)()(

t t

t r t r t t

V y v n t c t c th i c a ch t đi m chính b ng đ o hàm c a véc t bán kính theo th i gian t

2.1.1.5 Ý ngh a c a đ o hàm đ i v i các bài toán kinh t

ph m hi n v t gia t ng khi s d ng thêm m t đ n v lao đ ng

• i v i mô hình hàm doanh thu TR=TR Q( )thì TR Q/( 0) g i là doanh thu c n biên t i đi m

0

Q Doanh thu c n biên đ c kí hi u là MR(Marginal Revenue): MR=TR Q/( ) T i m i m c

s n l ng Q, MR cho bi t x p x l ng doanh thu t ng thêm khi xu t thêm m t đ n v s n ph m

i v i doanh nghi p c nh tranh ta có:TR= pQ⇒MR= p(p là giá s n ph m trên th tr ng)

• i v i mô hình hàm chi phí TC =TC Q( ) thì TC Q/( 0)đ c g i là chi phí c n biên t i đi m

0

Q Chi phí c n biên đ c kí hi u là MC (Marginal Ccst)): MC=TC Q/( ) T i m i m c s n

l ng Q, MC cho bi t x p x l ng chi phí t ng thêm khi s n xu t thêm m t đ n v s n ph m

• i v i hàm tiêu dùng C =C Y( )thì C Y/( )0 đ c g i là xu h ng tiêu dùng c n biên t i Y0

Xu h ng tiêu dùng c n biên đ c kí hi u là MPC (Marginal Propensity to Consume):

/

( )

MPC =C Y T i m i m c thu nh p Y, MPC là s đo x p x l ng tiêu dùng gia t ng khi có thêm $1 thu nh p

Ch ng2: Phép tính vi phân hàm s m t bi n s

41

Ch ng h n, hàm s n xu t c a m t doanh nghi p là Q=5 L m c s d ng L = 100 đ n v lao đ ng (ch ng h n 100 gi lao đ ng m t tu n), m c s n l ng t ng ng là Q = 50 s n ph m

S n ph m c n biên c a lao đ ng t i đi m L = 100 s là:

/ 5

0, 252

)(')

()()

(')

'

a g

a g a f a g a f a g

1)

(

' 1

a f a f

fg g f g

i

f

1 '

1

'

i f f f f f f

1

1

' 1 1 '

y y

ln

1ln

1'ln

x h

x h

cos1coshsinsin

h

cos2sin2sin

x x

x

x

2 2

2 2

'

1cos

1cos

sincos

cos

sin)'

1

1cos

1

1)'

(arccos

x y

cot(

x gx

arc

+

−

t y

t x

),()

(

)(

β α ψ

)('

t

t dx

'

++

=

v

v u

u f

u x

x x

1

1'

1,1arccos

x x

0

1sin)

(

2 1

x

x x

x x f

2 2

2 03

3 3

1 0 3

ln(

ln

x x

x x x

0)1(1'

x x

x x

y

-1 -1

1 1

21

11)1ln(

)(

'

2

2 2

t t

t

t t

d

arctgt t

d dx

−

=

=

1)( 2 g a df a f a dg a

a g

a g

2.2.2 Vi phân trên m t kho ng

Cho f ∈ X kh vi trên (a,b)⊆ X Vi phân c a hàm s trên ( b a, ) đ c xác đ nh theo công th c

df(x)= f'(x).h v i x∈( b a, )

T ng t nh đ nh lí trên, ta nh n đ c đ nh lí sau đây

nh lí 2.8: N u f , g kh vi trên ( b a, ) thì trên kho ng đó c ng tho mãn các hê th c sau

1)( 2 g x df x f x dg x

x g

x g

.40'

0,866 0,006 0,872

2702

123

270.60cos60

sin'4060sin

=+

=+