Giao trinh giai tich ham

Cantor Giả sử {Sn[an, rn]} là dKy các hình cầu đóngbao nhau trong không gian mêtric đầy đủ X: ⇒ {an} là dKy Côsi trong X.. Bây giờ ta chỉ ra rằng không gian ˆX, ˆρ đ−ợc xác định duy nhấ

Lời nói đầu

Lý thuyết giải tích hàm đẹp đẽ và là chìa khoá để hiểu được cácmôn học khác về giải tích toán học Đối tượng chính của giảitích hàm cổ điển là các không gian và các toán tử tuyến tính liêntục Các kết quả nền tảng của giải tích hàm là các nguyên lý cơbản của giải tích hàm bao gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý

bị chặn đều Banach-Steinhauss, nguyên lý ánh xạ mở và định lý

đồ thị đóng

Giáo trình này trình bày các kiến thức cơ bản nhất của giải tíchhàm Chương I trình bày các kiến thức cơ bản về không gianmêtric Các chương II và III trình bày ngắn gọn về không gian

định chuẩn, không gian Banach và lý thuyết toán tử tuyến tínhliên tục Chương IV trình bày các nguyên lý cơ bản của giải tíchhàm Chương V trình bày về tôpô yếu, toán tử liên hợp và toán

tử compăc Cuối cùng chương VI trình bày lý thuyết không gianHilbert và các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert.Sau mỗi chương đều có các bài tập nhằm củng cố và nâng caonội dung kiến thức đK trình bày

Để hiểu được giáo trình này, bạn đọc cần có một số kiến thức tốithiểu về không gian tôpô và đại số tuyến tính Chúng tôi hy vọngrằng giáo trình này giúp bạn đọc trang bị được những kiến thứccần thiết của giải tích hàm

Các tác giả

Chương IKhông gian mêtric1.1 Sự hội tụ

Định nghĩa 1.1. Không gian mêtric là một cặp (X, ρ), trong đó

Các điều kiện 1), 2), 3) được gọi tương ứng là tiên đề đồng nhất,

đối xứng, tam giác;ρ(x, y) là khoảng cách giữa các điểm x, y

Ví dụ 1.1 Cho X = {a1, , an} ⊂ R2 Ta xác định mêtric trong

Thật vậy, hiển nhiên ρ thoả mKn các tiên đề 1), 2) Ta kiểm tratiên đề 3) Lấy x = (ξ1, , ξk) ∈ Rk, y = (η1, , ηk) ∈ Rk và

Ví dụ 1.4 C[a, b] là tập các hàm thực liên tục trên [a, b] Ta có

C[a, b] là một không gian mêtric với:

ThËt vËy, víi mäi n, ta cã :

ρ(a, b)
ρ(a, xn) +ρ(xn, yn) + ρ(yn, b)

⇒ ρ(a, b) − ρ(xn, yn)
ρ(a, xn) + ρ(yn, b)

Đó là sự hội tụ trong giải tích cổ điển.

Ví dụ 1.6 Trong Rk, giả sử xn = (ξ1(n), , ξk(n)) (n = 1, 2, ) và

xo = (ξ1(o), , ξk(o)) Khi đó,

Vì thế, sự hội tụ trong Rk là hội tụ theo tọa độ

Ví dụ 1.7 Trong không gian C[a, b], lim

b) Tập S[xo, r] = {x ∈ X : ρ(x, xo)
r} đ−ợc gọi là hình cầu

đóng tâm xo, bán kính r

Định nghĩa 1.5. Giả sử A là tập con của không gian mêtric (X, ρ)

Điểm xo đ−ợc gọi là điểm trong của A, nếu tồn tại hình cầu

S(xo, r) ⊂ A

Định nghĩa 1.6. Tập G đ−ợc gọi là mở nếu mọi điểm của G đều

là điểm trong của nó

Tập A đ−ợc gọi là đóng nếu G\A mở

S(x, r) ⊂ Ui (i = 1, 2) ⇒ S(x, r) ⊂ U1 ∩ U2 ⇒ U1 ∩ U2 mở.c) Giả sử {Ut}t∈T là một họ tập mở trong X Ta chứng minh

U = 

t∈T Ut mở

Thật vậy, x ∈ U ⇒ ∃to ∈ T : x ∈ Ut o ⇒ tồn tại hình cầu

S(x, r) ⊂ Ut o ⇒ S(x, r) ⊂ U ⇒ U mở Vì vậy, họ các tập mởxây dựng theo định nghĩa 1.6 sinh ra một tôpô trên X 

Nhận xét 1.4 Tập A trong không gian mêtric X là mở ⇐⇒

Với tập A ⊂ X, ký hiệu A là bao đóng của A.

Định lý 1.3. Giả sử A là tập con của không gian mêtric X Khi

Hệ quả 1.3.1. Giả sử A là tập con của không gian mêtric X Khi

đó, A trù mật trong X ⇐⇒ ∀x ∈ X, ∃{xn} ⊂ A sao cho

lim

n→∞xn = x

Chứng minh ´Ap dụng Định lý 1.3 với A = X 

Giả sử (X, ρX) và (Y, ρY) là các không gian mêtric

Định nghĩa 1.7. Anh xạ´ f : X → Y đ−ợc gọi là liên tục tại

Rõ ràng là f liên tục đều ⇒ f liên tục

Định nghĩa 1.9. Anh xạ´ f : X → Y đ−ợc gọi là đẳng cự, nếu

a) f : X → Y đẳng cự ⇒ f liên tục đều

b) Hai không gian mêtric đẳng cự là đồng phôi với nhau

1.3 Không gian mêtric đầy đủ

Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric

Định nghĩa 1.11. DKy {xn} ⊂ X đ−ợc gọi là dKy Côsi hoặc dKy

n→∞xn = e ∈ R, nh−ng e /∈ Q (số

e không là số hữu tỉ)

Định nghĩa 1.12. Không gian mêtric X đ−ợc gọi là đầy đủ nếumọi dKy Côsi trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.8 R và C là những không gian mêtric đầy đủ

Ví dụ 1.9 Không gian các số hữu tỉ Q không phải là không gianmêtric đầy đủ

Ví dụ 1.10 Rk là không gian mêtric đầy đủ

Thật vậy, giả sử xn = (ξ1(n), , ξk(n)) (n = 1, 2, ) là dKy Côsitrong Rk Khi đó, lim

⇐⇒ lim

n→∞,m→∞|ξi(n) − ξi(m)| = 0 (i = 1, , k)

Vậy, {ξi(n)} là dKy Côsi trong R (i = 1, , k) Vì R đầy

đủ, cho nên ∃ξi(o) : lim

n→∞ξi(n) = ξi(o) (i = 1, , k) Đặt xo =(ξ1(o), , ξk(o)), ta có lim

n→∞xn = xo, bởi vì sự hội tụ trong Rk là

Ví dụ 1.11 C[a, b] là không gian mêtric đầy đủ

Thật vậy, giả sử {xn} là dKy Cô si trong C[a, b] Khi đó,

a) Giả sử M là không gian con đóng của không gian mêtric đầy

đủ X Khi đó, M là không gian mêtric đầy đủ

b) Giả sử M là không gian con đầy đủ của không gian mêtric X

Khi đó, M là không gian con đóng của X

Định lý 1.4 (Cantor) Giả sử {Sn[an, rn]} là dKy các hình cầu đóngbao nhau trong không gian mêtric đầy đủ X:

⇒ {an} là dKy Côsi trong X Do X đầy đủ, dKy {an} hội tụ đến

a ∈ X Khi đó, a là điểm chung cho mọi hình cầu Thật vậy, với

số tự nhiên n bất kỳ, {an+k}∞

k=1 là một dKy trong S[an, rn] và

lim

k∞ an+k = a, cho nên a ∈ S[an, rn] (∀n) Ta chứng minh a là

điểm chung duy nhất của các hình cầu: nếu b cũng là điểm chungcủa các hình cầu, thì

ρ(a, b)
ρ(a, an) + ρ(an, b)
rn + rn = 2rn (∀n)

⇒ ρ(a, b) = 0 ⇒ a = b

Nhắc lại:

a) Tập A được gọi là trù mật trong X, nếu A = X;

b) Tập A được gọi là không đâu trù mật trong X, nếu intA = ∅

Lý thuyết tôpô đại cương đK chỉ ra:

1) A trù mật trong X ⇐⇒ ∀U mở = ∅ trong X: U ∩ A = ∅;2) A không đâu trù mật trong X ⇐⇒ ∀U mở = ∅ trong X, ∃V

b) Tập hợp không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạmtrù thứ 2

Định lý 1.5 (Baire) Không gian mêtric đầy đủ là một tập thuộcphạm trù thứ 2

Chứng minh Giả sử X là không gian mêtric đầy đủ, nhưng X

thuộc phạm trù thứ nhất Khi đó, X = ∞

n=1An, trong đó An làcác tập không đâu trù mật

Vì A1 là tập không đâu trù mật, cho nên với hình cầu đóng bất

kỳ S, có tồn tại hình cầu đóng S1 ⊂ S : S1 ∩ A1 = ∅ Có thểlấy bán kính hình cầu S1 nhỏ hơn 1

Tương tự, tồn tại hình cầu đóng S2 có bán kính nhỏ hơn 1/2 :

S2 ⊂ S1, S2 ∩ A2 = ∅

Bằng qui nạp, ta được dKy hình cầu đóng {Sn} bao nhau, Sn

có bán kính nhỏ hơn 1/n và Sn ∩ An = ∅ (∀n) Theo bổ đềCantor, tồn tại điểm a chung cho mọi Sn Ta có: a ∈ Sn ⇒ a /∈

An (∀n) ⇒ a /∈ ∞n=1An = X Vô lý (!) 

Định lý 1.6 (Nguyên lý thác triển liên tục ) Giả sử M là không giancon trù mật của không gian mêtric X, g : M → Y liên tục đều,

Y là không gian mêtric đầy đủ Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ

f : X → Y liên tục đều, sao cho f |M = g

Chứng minh M trù mật trong X ⇒ ∀x ∈ X, ∃{xn} ⊂ M :lim

n→∞xn = x (Hệ quả 1.3.1) Hiển nhiên {xn} là dKy Côsi trong

M Vì g liên tục, nên {g(xn)} là dKy Cô si trong Y Do Y đầy

đủ, nên g(xn) hội tụ đến phần tử f (x) ∈ Y Phần tử f (x) chỉphụ thuộc vào x chứ không phụ thuộc vào {xn}

tö cña Xˆ bëi x, ˆˆ y, LÊy x ∈ ˆˆ X, ˆy ∈ ˆXvµ {xn} ∈ ˆx, {yn} ∈ ˆy.

Víi 2 sè tù nhiªn n, m bÊt kú, ta cã:

ρ(xn, yn)
ρ(xn, xm) + ρ(xm, ym) + ρ(ym, yn)

Vậy, X đẳng cự với không gian con X1 := ϕ(X) của X.ˆ

b) Lấy x ∈ ˆˆ X,  > 0, {xn} ∈ ˆx ⇒ ∃no, ∀m ≥ no, n ≥ no :ρ(xn, xm) <  Gọi x˜n olà phần tử chứa dKy {xn o, xn o, } ⇒

˜

xn o ∈ X1 Khi đó, ρ(ˆˆ x, ˜xn o) = lim

n→∞ρ(xn, xn o)
 ⇒ X1 trùmật trong X.ˆ

c) Giả sử {ˆxn} là dKy Côsi trong X.ˆ Vì X1 trù mật trong X,ˆ

cho nên ∀n, ∃˜xn ∈ X1 : ˆρ(ˆxn, ˜xn) < 1

n. Do đó, với mọi m, n,ρ(xn, xm) = ˆρ(˜xn, ˜xm)

ˆρ(˜xn, ˆxn) + ˆρ(ˆxn, ˆxm) + ˆρ(ˆxm, ˜xm)

no

< /2 Khi đó, từ (1.3) và (1.4) suyra

ˆ

ρ(ˆx, ˆxn) < /2 + /2 = (∀n ≥ no) ⇒ lim

n→∞xˆn = ˆx

Bây giờ ta chỉ ra rằng không gian ( ˆX, ˆρ) đ−ợc xác định duy nhấtnếu đồng nhất các không gian đẳng cự, tức là : nếu (Y, ρY) cũng

là một không gian mêtric đầy đủ, sao cho X đẳng cự với khônggian con X2 trù mật của Y, thì Y đẳng cự với X.ˆ

Thật vậy, vì X1 và X2 cùng đẳng cự với X, nên chúng đẳng cựvới nhau

Gọi ψ : X1 → X2 là phép đẳng cự từ X1 lên X2 Lấy x ∈ ˆˆ X

Khi đó, tồn tại {˜xn} ⊂ X1 : lim

n→∞x˜n = ˆx Vì ψ là phép đẳng

cự và {˜xn} là dKy Côsi trong X1, nên {ψ(˜xn)} là dKy Côsi trong

X2, do đó trong Y Do Y đầy đủ, nên tồn tại lim

n→∞ψ(˜xn) = y

Dễ thấy rằng y chỉ phụ thuộc vào x,ˆ chứ không phụ thuộc vàoviệc chọn dKy {˜xn} Đặt Φ(ˆx) = y, ta đ−ợc một ánh xạ từ Xˆ vào

Y, và Φ là toàn ánh Thật vậy, nếu y ∈ Y, thì tồn tại {yn} ⊂ X2

sao cho lim

n→∞yn = y trong Y ; {yn} là dKy Côsi trong X2 và ψ−1

là phép đẳng cự, nên {ψ−1(yn)} là dKy Côsi trong X1, do đótrong Xˆ.

Vì Xˆ đầy đủ, cho nên tồn tại lim

tụ đến một phần tử của A.

Định lý Haine-Borel sẽ chỉ ra rằng định nghĩa 1.14 là trùng với

định nghĩa tập compăc của lý thuyết không gian tôpô

Định nghĩa 1.15. Tập con của một tập compăc được gọi là tậpcompăc tương đối

Nhận xét 1.9

a) A compăc ⇒ A compăc tương đối ;

b) A compăc ⇒ A đóng;

c) Tập con đóng của một tập compăc là compăc

Nhận xét 1.10 A compăc tương đối ⇐⇒ A compăc

Thật vậy, A compăc ⇒ A compăc tương đối

Ngược lại, A compăc tương đối ⇒ A là tập con của một tậpcompăc K ⇒ A ⊂ K (Vì K đóng ) ⇒ A compăc

Nhận xét 1.11 A compăc tương đối khi và chỉ khi với mọi dKy

{xn} ⊂ A, tồn tại dKy con {xnk} hội tụ đến phần tử x ∈ X

Thật vậy, A compăc tương đối ⇒ A compăc ⇒ với mọi {xn} ⊂

A, có tồn tại dKy con {xn k} hội tụ đến một phần tử của A

Ngược lại, giả sử mọi dKy của A đều có một dKy con hội tụ trong

X Để chứng minh A compăc tương đối, ta sẽ chỉ ra A compăc:Giả sử {xn} ⊂ A Khi đó,

⇒ lim

n→∞xkn = x (vì lim

n→∞ρ(ykn, x) = 0)

⇒ x ∈ A (vì A đóng ) ⇒ A compăc

1.4.2 Tập giới nội và tập hoàn toàn giới nội

Định nghĩa 1.16. Tập con A của không gian mêtric X được gọi làgiới nội nếu nó là một tập con của một hình cầu nào đó

Định nghĩa 1.17. Đường kính của tập E ⊂ X được xác định bởi :

d(E) = sup

x,y∈E

ρ(x, y)

Nhận xét 1.12 E giới nội ⇐⇒ d(E) < +∞

Định nghĩa 1.18. Tập A được gọi là hoàn toàn giới nội, nếu với

 > 0 bất kỳ, có thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính

, tức là tồn tại một số hữu hạn hình cầu S(x1, ), , S(xn, )

sao cho A ⊂ n

i=1S(xi, )

Nhận xét 1.13 A hoàn toàn giới nội ⇒ A giới nội

Thật vậy, A hoàn toàn giới nội

b) Bao đóng của một tập hoàn toàn giới nội là hoàn toàn giới nội.

Ví dụ 1.12 Các khoảng [a, b), (a, b], (a, b) là compăc tương đốitrong R

Ví dụ 1.13 A giới nội trong R2 ⇒ A compăc tương đối

Thật vậy, A giới nội ⇒ ∃M, ∀x = (ξ, η) ∈ A : |ξ|
M, |η|
M

Ví dụ 1.14 A giới nội trong Rk ⇒ A compăc tương đối

Nhận xét 1.15 Từ ví dụ 1.14 suy ra : tập A đóng và giới nộitrong Rk ⇒ A compăc

compăc tương đối.

Chứng minh

a) Phản chứng: A compăc tương đối, nhưng không hoàn toàn giớinội Khi đó, tồn tại  > 0 sao cho A không thể phủ bởi một sốhữu hạn hình cầu bán kính  Lấy x1 ∈ A Ta có:

là S(a1, 1) và {x1,n} là dKy con của {xn} nằm trong S(a1, 1)

Bởi vì có thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính 1/2,cho nên tồn tại ít nhất một hình cầu chứa vô số phần tử của dKy

{x1,n} Gọi hình cầu đó là S(a2, 12) và {x2,n} là dKy con cuả

{x1,n} nằm trong S(a2, 12)

Bằng qui nạp, với mỗi k có tồn tại {xk,n} nằm trong S(ak, 1k) và

{xk,n} là dKy con của {xkư1,n}

Ta có {xn,n} là dKy con của {xn} và là dKy Côsi Thật vậy, với 2

số tự nhiên m, k : m ≥ k, ta có xm,m ∈ S(ak, k1), bởi vì xm,m làmột phần tử của dKy {xk,n} Hiển nhiên xk,k ∈ S(ak, k1) Do đó,

Vì X đầy đủ, nên dKy {xn,n} hội tụ Vậy A compăc tương đối.

Định lý 1.9 (Hainơ -Boren) Tập A của không gian mêtric X làcompăc khi và chỉ khi với mọi phủ mở {Ut}t∈T của A đều có mộtphủ con hữu hạn

Chứng minh

a) Giả sử A compăc, nhưng tồn tại phủ mở {Ut}t∈T của A không

có một phủ con hữu hạn nào Theo định lý 1.8, A hoàn toàn giớinội, cho nên có thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính

1 Trong số đó tồn tại ít nhất một hình cầu S[a1, 1] sao cho khôngthể phủ A1 := A ∩ S[a1, 1] bởi một số hữu hạn Ut A1 là tậpcon đóng của tập compăc A ⇒ A1 compăc ⇒ A1 hoàn toàn giớinội ⇒ có thể phủ A1 bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính {12}.Trong các hình cầu đó tồn tại ít nhất một hình cầu S[a2, 12] saocho không thể phủ tập A2 := A1 ∩ S[a2, 12] bởi một số hữu hạn

Gọi xn là một phần tử của An (∀n).Dễ thấy {xn} là dKy Côsi của

A Vì A compăc, nên {xn} hội tụ đến xo ∈ A : lim

không có dKy con nào hội tụ đến một phần tử của A Cho nênvới mọi x ∈ A, tồn tại lân cận Ux chỉ chứa một số hữu hạn phần

tử của {an} {Ux}x∈A là phủ mở của A ⇒ ∃x1, , xm ∈ A :

A ⊂ m

i=1Uxi ⇒ A chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của dKy

1.4.3 Không gian mêtric compăc

Định lý 1.10. Không gian mêtric compăc thì đầy đủ và khả li.Chứng minh Giả sử X compăc Lấy dKy Côsi {xn} trong X.Khi đó tồn tại dKy con của {xn} hội tụ đến xo ∈ X

Dễ thấy: lim

n→∞xn = xo; suy ra X đầy đủ

Chứng minh X khả li : Vì X hoàn toàn giới nội, cho nên với

mọi n, có thể phủ X bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính 1

1.4.4 Hàm liên tục trên tập compăc

Định lý 1.11. Hàm f liên tục trên tập compăc S thì liên tục đềutrên S

Chứng minh Phản chứng: Giả sử f liên tục trên S nh−ng khôngliên tục đều trên S Khi đó, ∃ > 0, ∀n, ∃x

n, x

n ∈ S :ρ(xn, x

n) < 1

k n)| = 0, mâu thuẫn với (1.6) 

Định lý 1.12. Hàm f liên tục trên tập compăc S thì giới nội trên

S

Chứng minh Phản chứng: Giả sử f không giới nội trên S Khi

đó, với

∀n, ∃xn ∈ S : |f (xn)| > n (1.7)Vì {xn} ⊂ S, cho nên tồn tại dKy con {xk n} hội tụ đến xo ∈ S

Do f liên tục, |f | cũng liên tục trên S và lim

n→∞|f (xk n)| = |f (xo)|,

mâu thuẫn với (1.7) Vậy f giới nội 

Giả sử S là một tập compăc trong không gian mêtric X Gọi C(S)

là tập tất cả các hàm số liên tục trên S Khi đó C(S) là một khônggian mêtric đầy đủ với mêtric:

ρ(f, g) = max

x∈S |f (x) ư g(x)|

Cho tập Z ⊂ C(S) Các hàm số của tập Z được gọi là giới nội

đều trên S nếu tồn tại số M sao cho

|f (x)|
M (∀x ∈ S, ∀f ∈ Z)

Các hàm số của tập Z được gọi là đồng liên tục tại x0 ∈ S, nếu

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ S : ρ(x, x0) < δ ⇒ |f (x) ư f (x0)| <

 (∀f ∈ Z)

Các hàm số của Z được gọi là đồng liên tục trên S, nếu chúng

đồng liên tục tại mỗi điểm của S

Các hàm số của Z được gọi là đồng liên tục đều trên S, nếu

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x1, x2 ∈ S : ρ(x1, x2) < δ

⇒ |f (x1) ư f (x2)| <  (∀f ∈ Z)

Định lý 1.13 (Arzela - Ascoli) Z ⊂ C(S) compăc tương đối ⇐⇒

các hàm số của Z là giới nội đều và đồng liên tục đều trên S

Chứng minh

a) Giả sử Z là tập compăc tương đối trong C(S) Khi đó, Z giớinội trong C(S) Điều này có nghĩa là các hàm số của Z giới nội

Bởi vì tập compăc S là khả li, cho nên tồn tại tập đếm được {an}

trù mật trong S Lấy dKy {fn} ⊂ Z Để chứng minh Z compăctương đối, ta chứng minh tồn tại dKy con của {fn} hội tụ trong

C(S)

Vì các hàm số của Z là giới nội đều trên S, nên {fn(a1)} là mộtdKy số giới nội Vì vậy, tồn tại dKy con {f1,n} của {fn} sao chodKy số {f1,n(a1)} hội tụ

Tương tự, tồn tại dKy con {f2,n} của {f1,n} sao cho dKy số

{f2,n(a2)} hội tụ.

Bằng quy nạp, ta thu đ−ợc dKy con {fk+1,n} của {fk,n} sao chodKy số {fk+1,n(ak+1)} hội tụ (k = 1,2, ) Ta có {fn,n} là mộtdKy con của {fn} sao cho dKy số {fn,n(ak)} hội tụ (∀k) Ta chỉcần chứng minh {fn,n} là dKy Côsi trong C(S) (khi đó, do C(S)

đầy đủ, nên {fn,n} hội tụ trong C(S))

Thật vậy, do Z đồng liên tục đều, ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, x ∈ S :ρ(x, x) < δ ⇒ |fn,n(x) − fn,n(x)| < /3 (n = 1, 2, )

=⇒ {fn,n} là dKy Côsi trong C(S) 

1.5 Tôpô sinh bởi mêtric

Giả sử (X, ρ) là không gian mêtric Định lý 1.1 chỉ ra rằng họ

τ các tập mở đ−ợc xây dựng theo định nghĩa 1.6 là một tôpô trên

X τ đ−ợc gọi là tô pô sinh ra bởi mêtric ρ Nh− vậy các khônggian mêtric là những không gian tôpô

Mệnh đề 1.2. Với xo ∈ X, họ hình cầu mở S(xo, r), trong đó r

là các số hữu tỉ dương, là cơ sở của tôpô τ sinh ra bởi mêtric ρ

tại xo

Chứng minh Vì S(xo, r) mở, cho nên họ {S(xo, r)}, với r hữu

tỉ dương là một họ lân cận của xo Lấy tập mở V trong X chứa

x0 Theo định nghĩa 1.6, tồn tại  > 0 sao cho S(xo, ) ⊂ V với

số hữu tỉ dương r < , ta có S(xo, r) ⊂ V 

Ta biết rằng không gian tôpô có một cơ sở đếm được thì khả li

Đối với không gian mêtric điều ngược lại cũng đúng

Định lý 1.14. X là không gian mêtric khả li ⇒ X có một cơ sở

đếm được

Chứng minh Giả sử X là không gian mêtric khả li Khi đó, tồntại tập đếm được {an} trù mật trong X Ta chứng minh họ cáchình cầu S(an, r), với r hữu tỷ dương, là một cơ sở của tôpô τ

sinh bởi mêtric

Thật vậy, lấy tập mở V và x ∈ V Khi đó, có tồn tại  > 0

sao cho S(x, ) ⊂ V Vì {an} trù mật trong X, nên tồn tại an

sao cho ρ(x, an) < /4 Nếu r là số hữu tỉ thoả mKn /4 <

r < /2, thì x ∈ S(an, r) ⊂ S(x, ) ⊂ V Rõ ràng họ hình cầu

Giả sử (X, ρX) và (Y, ρY) là các không gian mêtric.

Định nghĩa 1.19. Anh xạ´ f : X → Y đ−ợc gọi là ánh xạ co, nếutồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho:

ρY(f (x), f (x))
αρX(x, x) (∀x, x ∈ X)

Nhận xét 1.16 f : X → Y là ánh xạ co ⇒ f liên tục đều

Định lý 1.15 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử X là không gian mêtric

đầy đủ, f : X → X là một ánh xạ co Khi đó, có tồn tại một

điểm bất động duy nhất x ∈ X của f, tức là: f (x) = x

Chứng minh Lấy điểm x0 tuỳ ý của X Đặt :

ρ(xn, f (xn))
αnρ(x0, x1)

Cho n → ∞ và sử dụng tính liên tục của f ta nhận đ−ợc:

ρ(x, f (x)) = 0

⇒ f (x) = x : x là điểm bất động của f

Bây giờ Giả sử y cũng là điểm bất động của f, tức là f (y) = y

có phải là không gian mêtric không, nếu với k, m ∈ X, mêtric

đ−ợc cho bởi một trong các hệ thức sau:

Chứng minh l2 là một không gian mêtric

1.3. Giả sử X là tập các số hữu tỷ, khoảng cách giữa hai điểmbất kỳ của nó đ−ợc xác định bởi:

ρ(r1, r2) = |r1 − r2|

Chứng minh rằng X là không gian mêtric X có phải là khônggian đủ không?

1.4. Cho X là không gian tất cả các hàm f (x) liên tục trên đườngthẳng và có tính chất f (x) = 0 với mọi x ngoài một đoạn nào đó(thay đổi theo f) Chứng minh rằng với mêtric

x(t)dt ư

1 1/2

là không gian mêtric Xét tính đầy đủ của không gian này

1.7. Chứng minh rằng nếu mọi hình cầu thuộc một dKy hình cầu

đóng lồng nhau với bán kính dần đến 0 trong không gian mêtric

X đều có điểm chung duy nhất thì X là không gian đầy đủ.1.8. Giả sử ánh xạ A : Rn ư→ Rn được xác định như sau

A : x = (x1, , xn) ư→ (y1, , yn), yi = n

j=1aijxj+bi (i =

1, 2, , n)

Tìm điều kiện co của A trong các trường hợp sau:

đều Chứng minh rằng nếu tập A là hoàn toàn giới nội trong X,thì f (A) là tập hoàn toàn giới nội trong Y

Chương IIKhông gian định chuẩn2.1 Không gian tôpô tuyến tính

Ta nhắc lại vài khái niệm về không gian tô pô

Định nghĩa 2.1. Không gian tôpô là một cặp (X, τ ), trong đó X

là một tập hợp, τ là một họ các tập con của X thoả mKn:

U ⊂ V Để xác định tôpô , ta chỉ cần cho hệ cơ sở lân cận U (x)

của mỗi điểm x là đủ Kết hợp hai khái niệm không gian tôpô vàkhông gian tuyến tính ta đi đến khái niệm không gian tôpô tuyếntính

Định nghĩa 2.2. Tập X được gọi là một không gian tôpô tuyếntính trên trường số thực R hoặc trường số phức C, nếu

1) X là một không gian tuyến tính;

2) X là một không gian tôpô (với tôpô τ);

3) Với tôpô τ, phép cộng và phép nhân với một số của trường R

hoặc C là liên tục

Sau đây ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức

Chứng minh Nếu f (x) = x + x0 = y, thì fư1(y) = x = y ư x0.

=⇒ f là một song ánh từ X lên chính nó và fư1 liên tục

Chứng minh nếu f (x) = αx = y, thì fư1(y) = x = αư1y;

=⇒ f là một song ánh liên tục

Định nghĩa 2.3. Giả sử A là một tập con của không gian tuyến tính

X A được gọi là lồi, nếu ∀x ∈A, ∀y ∈A, ∀λ, à ≥ 0 : λ+à = 1,

ta đều có λx + ày ∈ A

2.2 Không gian lồi địa phương

2.2.1 Tôpô của không gian lồi địa phương

Định nghĩa 2.4. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là khônggian tôpô tuyến tính lồi địa phương hay không gian lồi địaphương, nếu X có một cơ sở gồm các lân cận lồi của điểm gốc

Định nghĩa 2.5. Không gian tôpô X được gọi là tách (không gianHausdorff), nếu với mọi x, y ∈ X : x = y, có tồn tại các lân cậnrời nhau của x và y

Nhận xét 2.2 1) p là nửa chuẩn =⇒ p là sơ chuẩn

2) Nếu p là một nửa chuẩn trên X, thì

p(x) ≥ 0 (∀x ∈ X)

Thật vậy, ta có:

0 = p(0) = p(x ư x)
p(x) + p(ưx) = p(x) + p(x)

=⇒ p(x) ≥ 0

3) nếu p là một nửa chuẩn trên X, thì

| p(x) ư p(y) |
p(x ư y) (2.1)Thật vậy, ta có:

p(x)
p(y) + p(x ư y),p(y)
p(x) + p(y ư x)

=⇒ (2.1)

Ví dụ 2.1 Lấy X = Rn, x = (x1, , xn) ∈ X Khi đó:

a) p1(x) = x1 và p2(x) = max

1
i
n{ xi } là những sơ chuẩn, khôngphải là nửa chuẩn trên X;

b) p3(x) =| x1 | và p4(x) = max{ | x1 |, | x2 | } là những chuẩntrên X

2.3 Không gian định chuẩn

2.3.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.8. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường

số thực hay phức K, p là một nửa chuẩn xác định trong X, tức

p là một ánh xạ: X → R thoả mKn hai điều kiện:

Chú ý không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương vàtách.

2.3.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 2.10. Không gian metric là một cặp (X, d), trong đó

Định nghĩa 2.11. DKy { xn } trong không gian định chuẩn X

đ−ợc gọi là hội tụ đến x0 ∈ X, nếu:

lim

n→∞ || xn − x0 ||= 0;

ký hiệu: xn → x0 hoặc lim

n→∞xn = x0.Mệnh đề 2.3.

Nhận xét 2.4 Giả sử { xn }, { yn } là các dKy Cauchy trong

X, { λn } là dKy số Cauchy Khi đó, { xn + yn } và { λnxn }

cũng là những dKy Cauchy

Hình cầu mở và hình cầu đóng tâm x0, bán kính r là các tậphợp sau đây:

B(x0;r) = { x ∈ X :|| x − x0 ||< r },

¯B(x0;r) = { x ∈ X :|| x − x0 ||
r }

Nhận xét 2.5 Bao đóng của B(x0;r) là B(x¯ 0;r) (bài tập 2.10).

Định lý 2.1. A mở, x0 ∈ X =⇒ x0 + A mở

Chứng minh Lấy z0 ∈ x0 + A (= { x0 + x : x ∈ A }) Khi

đó z0 = x0 +y0 với y0 ∈ A Vì A mở, cho nên tồn tại hình cầu

B(y0 : r) ⊂ A Nh− vậy, nếu u ∈ X :|| u ||< r, thì y0 +u ∈ A

λx0, x0 ∈ A Do tập A mở, tồn tại hình cầu B(x0;r) ⊂ A.

Ta chứng minh B(z0;| λ | r) ⊂ λA Thật vậy, lấy v ∈ X với

|| v ||<| λ | r Khi đó, u = v

λ có || u ||< r =⇒ x0 + u ∈

A, z0 +v = λx0 + λu ∈ λA =⇒ B(z0;| λ | r) ⊂ λA =⇒ z0

Định nghĩa 2.13.

a) Chuẩn || ||1 được gọi là mạnh hơn chuẩn|| ||2, nếu τ1 ≥ τ2;

b) các chuẩn || ||1 và || ||2 được gọi là tương đương với nhau,nếu τ1 = τ2

Định lý 2.3. || ||1 mạnh hơn || ||2⇐⇒ ∃c > 0, ∀x ∈ X,

|| x ||2
c || x ||1 (2.3)Chứng minh

a) Điều kiện cần: Ký hiệu

Bi(x0;r) = { x ∈ X :|| x ư x0 ||< r } (i = 1, 2)

Bởi vì τ2
τ1 và B2(0; 1) là tập τ2ư mở, cho nên B2(0; 1)

cũng là τ1ư mở =⇒ 0 là một điểm τ1ư trong của B2(0; 1) =⇒