Giáo trình giải tích cơ sở

Giáo trình giải tích cơ sở

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân

§3 TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006

1 PHẦN LÝ THUYẾT

1 Điều kiện khả tích theo Riemann

Nếu hàm f khả tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác định thì ta cũng nói f khả tích theo Riemann hay (R)−khả tích

Định lý 1

Hàm f khả tích Riemann trên [a, b] khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điiều kiện sau :

i f bị chặn

ii Tập các điểm gián đoạn của f trên [a, b] có độ đo Lebesgue bằng 0

2 Định nghĩa tích phân theo Lebesgue

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo được

(a) Nếu f là hàm đơn giản, không âm trên A và f =

n

P

i=n

ai.1Ai với Ai ∈ F, Ai ∩ Aj =

ø (i 6= j) và

n

S

i=1

Ai = A thì ta định nghĩa tích phân của f trên A theo độ đo µ bởi :

Z

A

f dµ :=

n

X

i=n

aiµ(Ai)

(b) Nếu f là hàm đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản, không âm fn

sao cho

fn(x) ≤ fn+1(x), lim

n→∞fn(x) = f (x) ∀x ∈ A Khi đó ta định nghĩa

Z

A

f dµ = lim

n→∞

Z

A

fndµ

Chú ý rằng, tích phân hàm đo được không âm luôn tồn tại, là số không âm và có thể bằng +∞

(c) Nếu f là hàm đo được thì f+(x) = max{f (x), 0}, f−(x) = max{−f (x), 0} là các hàm đo được, không âm và ta có f (x) = f+(x) − f−(x) Nếu ít nhất một trong các tích phân

Z

A

f+dµ, Z

A

f−dµ là số hữu hạn thì ta định nghĩa

Z

A

f dµ =

Z

A

f+dµ −

Z

A

f−dµ

Ta nói f khả tích trên A nếu

Z

A

f dµ tồn tại và hữu hạn (hay cả hai tích phân Z

A

f+dµ,

Z

A

f−dµ là số hữu hạn)

3 Các tính chất

Cho không gian độ đo (X, F, µ)

3.1 Một số các tính chất quen thuộc :

Giả sử A ∈ F và f, g là các hàm đo được, không âm trên A hoặc khả tích trên A Khi đó ta có

•

Z

A

(f + g)dµ =

Z

A

f dµ +

Z

A

gdµ Z

A

cf dµ = c

Z

A

f dµ ∀c ∈ R

• Nếu f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thì

Z

A

f dµ ≤

Z

A

gdµ

• Nếu A = A1 ∪ A2 với A1, A2 ∈ F, A1∩ A2 = ø thì

Z

A

f dµ =

Z

A 1

f dµ +

Z

A 2

f dµ

3.2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O Khái niệm "hầu khắp nơi"

Định nghĩa

Giả sử P (x) là một tính chất phát biểu cho mỗi x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì hoặc P (x) đúng hoặc P (x) sai Ta nói tính chất P (x) đúng (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắt hkn) trên tập A nếu tập

B = {x ∈ A : P (x) không đúng}

được chứa trong một tập C ∈ F mà µ(C) = 0 (hoặc µ(B) = 0 nếu đã biết B ∈ F )

Ví dụ

1) Giả sử f, g đo được trên A Ta có

B := {x ∈ A : f (x) 6= g(x)} ∈ F

Do vậy ta nói "f (x) = g(x) hkn trên A " thì có nghĩa là µ(B) = 0

2) Nếu f đo được trên A thì tập B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thuộc F Ta nói "f hữu hạn hkn trên A" thì có nghĩa µ(B) = 0

3) Cho các hàm đo được fn, f (n = 1, 2, ) Ta nói "Dãy {fn} hội tụ hkn trên A

về F thì có nghĩa B = {x ∈ A : fn(x) 6→ f (x)} có độ đo 0

Sự không phụ thuộc tập độ đo 0

Nếu µ(A) = 0 và f đo được trên A thì

Z

A

f dµ = 0 Do đó :

• Nếu f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì

Z

A∪B

gdµ =

Z

A

f dµ

• Nếu f, g đo được trên A, f (x) = g(x) hkn trên A và f có tích phân trên A thì Z

A

gdµ =

Z

A

f dµ

3.3 Nếu f đo được, không âm trên A và

Z

A

f dµ = 0 thì f (x) = 0 hkn trên A

3.4 Nếu f khả tích trên A thì f (x) hữu hạn hkn trên A

3.5 Tính chất σ−cộng

Giả sử An ∈ F (n ∈ N∗), An∩ Am = ø (n 6= m) và f là hàm đo được, không âm hoặc khả tích trên A =

∞

S

n=1

An Khi đó Z

A

f dµ =

∞

X

n=1

Z

A n

f dµ

3.6 Một số điều kiện khả tích:

• Nếu f đo được trên A thì f khả tích trên A khi và chỉ khi |f | khả tích trên A

• Nếu f đo được, g khả tích trên A và |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f cũng khả tích trên A

• Nếu f đo được, bị chặn trên A và µ(A) < ∞ thì f khả tích trên A

4 Qua giới hạn dưới dấu tích phân

Định lý Levi (hội tụ đơn điệu)

Giả sử :

i fn(n ∈ N∗) là các hàm đo được trên A và

0 < fn(x) < fn+1(x), x ∈ A

ii lim

n→∞fn(x) = f (x) x ∈ A

Khi đó lim

n→∞

R

A

fndµ = R

A

f dµ (một cách hình thức limR

A

fndµ = R

A

lim fndµ) Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn)

Giả sử :

i Các hàm fn đo được trên A và tồn tại hàm g khả tích trên A sao cho |fn(x)| ≤ g(x) ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ A

ii lim

n→∞fn(x) = f (x) x ∈ A

Khi đó

Z

A

f dµ = lim

n→∞

Z

A

f dµ

Ghi chú

Do sự không phụ thuộc vào tập độ đo 0 của tích phân, ta có thể giả thiết các diều kiện i., ii trong định lý Levi và Lebesgue chỉ cần đúng hkn trên A

5 Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

Nếu A ⊂ R là tập (L)−đo được thì tích phân theo độ đo Lebesgue cũng ký hiệu (L)

Z

A

f (x)dx hoặc (L)

b

Z

a

f (x)dx nếu A = [a, b]

Định lý

1) Nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì f cũng khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b]

và ta có

(L)

b

Z

a

f (x)dx = (R)

b

Z

a

f (x)dx

2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng trên [a, b] (hoặc trên [a, ∞]) và là hàm không âm thì f khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [a, b] (trên [a, ∞]) và ta có :

(R)

b

Z

a

f (x)dx = (L)

b

Z

a

f (x)dx



(R)

∞

Z

a

f (x)dx = (L)

∞

Z

a

f (x)dx





2 PHẦN BÀI TẬP

Trong các tập dưới đây ta luôn giả thiết có một không gian độ đo (X, F, µ) Các tập được xét luôn thuộc F

Bài 1

Cho hàm f đo được trên A, hàm g, h khả tích trên A sao cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A Chứng minh f khả tích trên A

Giải

Ta có

f+≤ h+, f− ≤ g− ( vì g ≤ f ≤ h)

⇒ Z

A

f+dµ ≤

Z

A

h+dµ,

Z

A

f−≤ Z

A

g−dµ

Các tích phân ở vế phải hữu hạn nên

Z

A

f±dµ < ∞ Suy ra f khả tích (Bài này cũng có thể giải dựa vào bất đẳng thức |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|)

Bài 2

1 Cho hàm số f ≥ 0, đo được trên A Xét các hàm

fn(x) =  f (x), nếu f (x) ≤ n

n, nếu f (x) > n (n ∈ N∗)

Chứng minh lim

n→∞

Z

A

fndµ =

Z

A

f dµ

2 Ứng dụng kết quả trên để tính (L)

1

Z

0

dx

√ x

Giải

1 Ta dễ dàng kiểm tra rằng fn(x) = min{n, f (x)} Do đó :

• fn(x) đo được, không âm

• fn(x) = min{n, f (x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = fn+1(x)

• lim

n→∞fn(x) = min{ lim

n→∞n, f (x)} = min{+∞, f (x)} = f (x)

Áp dụng định lý Levi ta có đpcm

2 Đặt f (x) = √1

x, x ∈ (0, 1], f (0) = +∞ Ta dễ dàng tìm được

fn(x) =







1

√

x, nếu x ∈ [

1

n2, 1]

n nếu x ∈ [0,n12]

(L)

1

Z

0

fn(x)dx = (R)

1

Z

0

fn(x)dx = 2 − 1

n Theo câu 1) ta có

(L)

1

Z

0

f (x)dx = lim

n→∞

1

Z

0

fn(x)dx = 2

Bài 3

Cho hàm f khả tích trên A Ta xây dựng các hàm fn như sau :

fn(x) =







f (x), nếu |f (x)| ≤ n

n, nếu f (x) > n

−n, nếu f (x) < −n

Chứng minh lim

n→∞

Z

A

fndµ =

Z

A

f dµ

Giải

Ta dễ thấy fn(x) = min{n, max{−n, f (x)}} Từ đây ta suy ra :

• fn đo được, |fn| ≤ |f | ∀n ∈ N∗

• lim

n→∞fn(x) = min{+∞, max{−∞, f (x)}} = f (x) ∀x ∈ A

Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm

Bài 4

Cho ϕ là hàm đo được, không âm trên X Ta định nghĩa :

γ(A) =

Z

A

ϕdµ, A ∈ F

1 Chứng minh γ là độ đo

2 Giả sử f là hàm đo được, không âm trên X Chứng minh

Z

X

f dγ =

Z

X

f ϕdµ

Giải

1 Vì ϕ là hàm đo được, không âm nên

Z

A

ϕdµ tồn tại, không âm

• Chú ý rằng

Z

A

ϕdµ = 0 nếu µ(A) = 0, ta có γ(φ) = 0

• Sử dụng tính chất σ−cộng của tích phân ta suy ra γ có tính σ−cộng

2 • Đầu tiên ta kiểm tra rằng đẳng thức đúng khi f là hàm đơn giản, không âm :

f =

n

X

i=1

ai1Ai, Ai∩ Aj = ø(i 6= j),

n

[

i=1

Ai = X

Thật vậy

Z

X

f dγ =

n

X

i=1

aiγ(Ai)

Z

X

f ϕdµ =

n

X

i=1

ai

Z

X

1A iϕdµ =

n

X

i=1

ai

Z

A i

ϕdµ

Từ đây ta có đpcm

• Nếu f đo được, không âm thì tồn tại dãy các hàm đơn giản fn

0 ≤ fn≤ fn+1, lim fn= f

Ta có :

Z

X

fndγ =

Z

X

fnϕf µ ∀n ∈ N (do bước trên)

lim Z

X

fndγ =

Z

X

f dγ, lim

Z

X

fnϕdµ =

Z

X

f ϕdµ

(Do định lý Levi)

Từ đây ta có đpcm

Bài 5

Cho các hàm f, g khả tích trên A Với n ∈ N ta đặt : An= {x ∈ A : n ≤ |f (x)| < n + 1}

Bn = {x ∈ A : |f (x)| ≥ n}

Chứng minh :

1 lim

n→∞

Z

A n

gdµ = 0

2

∞

P

n=1

nµ(An) < +∞

3 lim

n→∞nµ(Bn) = 0

Giải

Ta dễ kiểm tra được An∩ Am = ø (n 6= m)

∞

S

n=0

An = A

1 Do tính chất σ−cộng, ta có:

∞

X

n=0

Z

A n

gdµ =

Z

A

gdµ ∈ R

Từ đây ta có đpcm (do điều kiện cần của sự hội tụ của chuỗi)

2 Cũng do tính chất σ−cộng, ta có:

∞

X

n=0

Z

A n

|f |dµ =

Z

A

|f |dµ < ∞

Kết hợp đánh giá

Z

A n

|f |dµ ≥ nµ(An), ta có đpcm

3 Đặt Γn=

∞

P

k=n

kµ(Ak) ta có : lim

n→∞Γn= 0 (do câu 2)

Γn≥ n

∞

P

k=n

µ(Ak) = nµ(Bn)

Từ đây ta có đpcm

Bài 6

Giả sử µ(X) < ∞ Ta kí hiệu M là tập các hàm đo được, hữu hạn trên X Trong M ta định nghĩa quan hệ ” = ” như sau : f = g ⇔ f (x) = g(x)hkn trên X Ta định nghĩa :

d(g, f ) =

Z

X

|f − g|

1 + |f − g|dµ f, g ∈ M

1 Chứng minh d là một metric trên M

2 Giả sử lim

n→∞fn(x) = f (x) Chứng minh lim

n→∞fn = f trong (M, d)

Giải

1 Trước hết ta kiểm tra số d(f, g) hữu hạn với mọi cặp f, g ∈ M Thật vậy, hàm h =

|f − g|

1 + |f − g| đo được, bị chặn trên tập X và µ(X) < ∞ nên là hàm khả tích Kiểm tra điều kiện i), iii) của metric như sau :

i) Hiển nhiên d(f, g) ≥ 0

d(f, g) = 0 ⇔ |f (x) − g(x)|

1 + |f (x) − g(x)| = 0 hkn trên X

⇔ f (x) = g(x) hkn trên X

⇔ f = g trong M iii) Với f, g, h ∈ M ta có :

|f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|

⇒ |f (x) − g(x)|

1 + |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − h(x)|

1 + |f (x) − h(x)| +

|h(x) − g(x)|

1 + |h(x) − g(x)|

(Phương pháp chứng minh đã biết)

Lấy tích phân hai vế ta có d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)

2 Ta cần chứng minh lim

n→∞d(fn, f ) = 0 Đặt hn= |fn− f |

1 + |fn− f | (n ∈ N∗), ta có :

• hn đo được trên X, |hn| = hn≤ 1, hàm g(x) = 1 khả tích trên X (do µ(X) < ∞)

• lim

n→∞hn= 0 hkn trên X

Áp dụng định lý Lebesgue, ta có lim

n→∞

Z

X

hndµ = 0 hay lim

n→∞d(fn, f ) = 0

Bài 7

Cho f là hàm đo được, dương, hữu hạn hkn trên A Với mỗi k ∈ Z đặt Ak = {x ∈ A : 2k−1 <

f (x) ≤ 2k} Chứng tỏ rằng f khả tích trên A khi và chỉ khi :

+∞

P

k=−∞

2kµ(Ak) < ∞

Giải Đặt B = {x ∈ A : f (x) = +∞} Ta có các tập Ak, (k ∈ Z), B là những tập không giao nhau,

có hợp bằng A Do tính σ−cộng của tích phân, ta có :

Z

A

f dµ =

+∞

X

k=−∞

Z

A k

f dµ ( chú ý

Z

B

f dµ = 0 do µ(B) = 0)

Vì 2k−1µ(Ak) ≤

A k

f dµ ≤ 2kµ(Ak) ta có

1 2

+∞

X

k=−∞

2kµ(Ak) ≤

Z

A

f dµ ≤

+∞

X

k=−∞

2kµ(Ak)

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Bài 8

Cho dãy các hàm {fn} khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ đều trên A về hàm f và µ(A) < ∞ Chứng minh f khả tích trên A và

lim

n→∞

Z

A

fndµ =

Z

A

f dµ

Giải

Vì các hàm fn đo được nên f đo được

Vì dãy {fn} hội tụ đều trên A về f nên có số no ∈ N∗ thỏa mãn

|fn(x) − f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ A, ∀n ≥ no (1)

• Từ (1) ta có |f (x)| ≤ 1 + |fn(x)| Vì µ(A) < ∞ nên hàm 1 + |fn| khả tích trên A Do đó

f khả tích trên A

• Cũng từ (1) ta có |fn| ≤ 1 + |f | trên A (∀n ≥ no) và hàm 1 + |f | khả tích trên A Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm

Bài 9

Tính các giới hạn :

1 lim

n→∞

2

Z

0

n

√

1 + x2n.dx

2 lim

n→∞

1

Z

−1

x + x2enx

1 + enx.dx

3 lim

n→∞

n

Z

0



1 + x n

n

.e−2xdx

Giải

1 Đặtfn(x) = √n

1 + x2n, x ∈ [0, 2], n = 1, 2,

• Hàm fn liên tục trên [0, 2] nên (L)−đo được

• Khi 0 ≤ x < 1 ta có lim fn(x) = 1

Khi 1 < x ≤ 2 ta có lim

n→∞x2.n

r

1 + 1

x2n = x2

lim

n→∞fn(1) = 1

Do đó lim fn(x) = f (x) với f (x) = 1, x ∈ [0, 1], f (x) = x2, x ∈ [1, 2]

• |fn(x)| = fn(x) ≤ 1 + x2 ∀n ∈ N∗

Áp dụng định lý Lebesgue, ta có :

lim

n→∞

2

Z

0

fn(x)dx =

2

Z

0

f (x)dx = 10

3

2 Đặt fn(x) là hàm trong dấu tích phân thì ta có

• lim

n→∞fn(x) = f (x) với f (x) = x, x ∈ [−1, 0], f (x) = x2, x ∈ (0, 1]

• |fn(x)| ≤ |x| + x2enx

1 + enx ≤ 1 ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [−1, 1]

3 Đặt

fn(x) =



1 + nx
n.e−2x , x ∈ [0, n]

0 , x ∈ (n, +∞)

• fn (L)−đo được trên [0, ∞)

• Với mỗi x ∈ [0, ∞) thì x ∈ [0, n] khi n đủ lớn, do đó :

lim

n→∞fn(x) = lim

n→∞



1 + x n

n

.e−2x = ex.e−2x = e−x.

• |fn(x)| ≤1 + x

n

n

.e−2x ≤ ex.e−2x = e−x. ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ [0, ∞)

(ta đã sử dụng 1 + t ≤ et, t ≥ 0)

Hàm g(x) = e−x là (L)−khả tích trên [0, ∞)

Áp dụng định lý Lebesgue ta có

lim

n→∞

n

Z

0



1 + x n

n

.e−2x.dx = lim

n→∞

+∞

Z

0

fn(x).dx =

+∞

Z

0

e−x = 1

Bài 10

Chứng minh lim

n→∞n

1

Z

0

xn

1 + x.dx =

1 2

Giải

Ở đây ta không thể áp dụng định lý Lebesgue cho dãy hàm fn(x) = nx

n

1 + x vì không tìm được hàm g khả tích sao cho |fn(x)| ≤ g(x) ∀n

Ta tích phân từng phần và được :

n

1

Z

0

xn

1 + x.dx =

n

n + 1





xn+1

1 + x|1

0 +

1

Z

0

xn+1

(1 + x)2.dx





= n

n + 1

 1

2+ In



Áp dụng định lý Lebesgue ta chứng minh được lim

n→∞In = 0