CHỦ đề hàm số lớp 12

Nhắc lại tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K... Hàm số luôn đồng biến trên tập xác địnhA. Hàm số l

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Nhắc lại bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp

Đạo hàm của f x  với x là biến số Đạo hàm của f u  với u là hàm số

 c ' 0 tanx ' 12

cos x

u'tanu '

2 Nhắc lại tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K

 Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu  x , x1 2K, x 1< x 2f x   1 f x 2

 Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu  x , x1 2K,x 1< x 2f x   1 f x 2

x 2

x 1

y

x O

3 Các định lí

Định lí 1: Cho hàm số y f x   có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu f x'   0 x K, thì hàm số f x đồng biến trên K

 Nếu f x'   0 x K, thì hàm số f x nghịch biến trên K

 Nếu f x'   0 x K, thì hàm số f x không đổi trên K

Định lí 2: Giả sử hàm số y f x   có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu f x'   0 x K, và f x' 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f x  

đồng biến K

 Nếu f x'   0 x K, và f x' 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f x  

nghịch biến K

 Chú ý: Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa

khoảng Khi đó phải bổ sung giả thiết : “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”

 Bước 2: Lấy đạo hàm và xét dấu của

 Bước 3: Từ bảng xét dấu và vận dụng định lí em suy ra khoảng đơn điệu của hàm số

Câu 2: Cho hàm số y f x   liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Khẳng định nào sau đây không đúng?

O

y

x 1 -1

Hướng dẫn giải

Em hãy nhìn vào đồ thị và thấy được hàm số y f x   đồng biến trên 1;0 ; 1;  

và nghịch biến trên  ; 1 ; 0;1    Đáp án C

 Vận dụng Câu 5: Cho hàm số y f x   có đạo hàm      2    2 3

f ' x  x 7 x 1 x 3 x 2 , x   Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên  ; 2  B Hàm số đồng biến trên 2;3 

C Hàm số nghịch biến trên 2;7  D Hàm số đồng biến trên 1;

Trục xét dấu của y’:

Từ trục xét dấu của y’ em thấy: hàm số nghịch biến trên 2;7 

 Đáp án C

Câu 6: Cho hàm số y f x   có đồ thị hàm số f ' x  như

hình bên.Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số nghịch biến trên  ; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 

-7 3

-2

xy

O

x y

1

x y

O 1 -1

Câu 13: Cho hàm số y f x   có đạo hàm f ' x x2  1, x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên ;0  B Hàm số nghịch biến trên  ; 1 

C Hàm số nghịch biến trên 1;0  D Hàm số đồng biến trên  ; 

Câu 14: Cho hàm số y f x   có đạo hàm    2   2

f ' x  x 1 x 5 , x   Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên  ; 1  B Hàm số đồng biến trên ;1 

C Hàm số nghịch biến trên 1;1  D Hàm số đồng biến trên  1; 

Câu 15: Hàm số y 1 x 2 đơn điệu trên các khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định

B. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và nghịch biến trên  0;1

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 và đồng biến trên  0;1

Câu 16: Hàm số y x cos x  2

A Đồng biến trên  ;  B. Đồng biến trên  ; k ; k 

C Không đồng biến cũng không nghịch biến D Nghịch biến trên  ; 

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 8:

Em loại đáp án C và D vì các hàm số này luôn đơn điệu trên tập xác định

Nhìn vào đồ thị em thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2 ;  0; 2 và

nghịch biến trên các khoảng  2;0 ;  2;

 Đáp án B Câu 12:

Em nhìn thấy đồ thị hàm số f ' x  nằm hoàn toàn phía trên trục Ox

Trục xét dấu của y’:

Từ trục xét dấu của y’ em thấy: hàm số nghịch biến trên 1;1   Đáp án C

 Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên K (Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm) + Hàm số nghịch biến trên K (Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

Từ đó, em sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m

 Em cần chú ý rằng: Cho hàm số

Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;  thì

2

m 0

m 0y' 0, x

Câu 24: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số x

Tập xác định của hàm số: D

+ Với m 0      y' 6, x 0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m    5 y' 60x 6   m 5 không thỏa yêu cầu bài toán

TH2: m25m 0, hàm số đồng biến trên  ;  khi y' 0, x  

2 2

x m





Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y' 0, x m  

      Đáp án C

Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  khi y' 0, x  

BÀI TẬP MẪU

 Vận dụng Câu 32: Tìm m để hàm số y x 2m

Giải nhanh: Hàm số luôn đơn điệu trên ;m và m;

Yêu cầu bài toán

Tập xác định của hàm số: D nên hàm số liên tục trên và y' 3x26x 3m.

Cách 1: Hàm số nghịch biến trên 0; thì cũng nghịch biến trên 0;

Yêu cầu bài toán    y' 0, x 0; 

* TH2: ' 0     m 1 y'có 2 nghiệm phân biệt x1 1 m 1 x  2 1 m 1

Em hình dung ra được bảng biến thiên như sau:

Tập xác định của hàm số: D nên hàm số liên tục trên và y' 3x26x 3m.

Hàm số nghịch biến trên 3; thì cũng nghịch biến trên 3;

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D

Em tính được y' mx 22 m 1 x 3 m 2      

TH1: m 0  y' 2x 6 0   x 3 nên không thỏa yêu cầu bài toán

TH2: m 0. Hàm số đồng biến trên 2; khi y' 0, x 2,    

        Không thỏa yêu cầu bài toán

TH2: m 0. Do hàm số liên tục trên nên hàm số nghịch biến trên  1;5 thì cũng nghịch biến trên  1;5

Hàm số nghịch biến trên  1;5 khi y' mx 22 1 3m x 2m 1 0, x [1;5]       

Tương tự bài trên em suy ra m max g x[1;5]    g 5 11

3

       Tất cả các giá trị thực của m để hàm số đồng biến trên  0;3 là

A m 2. B m 2. C.m 2 D m 2. Câu 42: Cho hàm số y mx2 6m 5 x 2 1 3m  

Câu 46: Tìm các giá trị thực của m đề hàm số sinx m

ysinx 1

Yêu cầu bài toán   y' 0, x 0;1 

2

   Em có f ' x  1 0 x 0;1 

2

   Bảng biến thiên:

m2

Khi đó để y' 0, x   0;1 thì   0;1  2m;0 vô lí vì 2m 0 1  Loại

m2

BÀI TẬP MẪU

 Vận dụng Câu 48: Số nghiệm S của phương trình x2 x 1 5  là

 f x  là hàm số đồng biến với mọi x > 1

Mặt khác: f 2 5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

 Đáp án B

Câu 49: Tập nghiệm S của bất phương trình 3 x 4  22x 4  13 là

A S0;. B S   2; . C. S1;. D S 0; .

Dạng 4 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập

 Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

 Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc D

Nếu có một nghiệm trên tập D thì phương trình có nhiều nhất hai nghiệm trên D

Nếu liên tục, đồng biến trên D và liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên D thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên D

 Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì với mọi ta có

 đồng biến trên D thì hoặc nghịch biến trên D thì với mọi

Ứng dụng để biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Cho là hàm số liên tục trên D

 có nghiệm trên D khi

 có nghiệm trên D khi

log x log x 1 2m 1 0    có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

Khi đó phương trình đã cho tương đương với: t2  t 2 2m

Bài toán trở thành tìm m để phương trình t2  t 2 2m có nghiệm t 1;2 

Xét hàm số f t   t2 t 2 với t 1;2 Em có: f ' t  2t 1 với mọi t 1;2

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 51:

Phương trình đã cho tương đương với 3x 1 1  3x 1 32x2 1 32x2

Điều kiện xác định: 3 x,y 10.  

Nhận thấy x 3;y 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ vế với vế của hệ em được phương trình: x 3  10 x  y 3  10 y

 Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

Mà f 0 0 nên hàm số có 1 nghiệm duy nhất là x = 0  Đáp án B

Từ đây em có bảng biến thiên:

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D D  và x ∈ D 0

1 Định nghĩa

 x được gọi là 0 điểm cực đại của hàm số f nếu tồn

tại  a;b chứa x sao cho 0  a;b D và f x   f x0

với mọi x   a;b \ x 0

 x được gọi là 0 điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn

tại  a;b chứa x sao cho 0  a;b D và f x   f x0

với mọi x   a;b \ x 0

Định lí 1: Hàm số f đạt cực trị tại x Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm thì 0 f ' x 0 0

Chú ý: Chiều ngược lại của định lí 1 có thể không đúng

 Có những hàm số có đạo hàm bằng 0 tại x0nhưng tại x0hàm số không đạt cực trị

f(x 0 )

x0 b a

Hàm số luôn đồng biến trên  ; 

Vậy hàm số có y’ = 0 tại x = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị

 Có những hàm số f đạt cực trị tại một điểm mà tại điểm đó hàm số không có đạo hàm



Hàm y x không có đạo hàm tại x = 0

Vậy hàm số y x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng không có đạo

hàm tại điểm đó

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a;b chứa điểm x và có đạo hàm trên 0

các khoảng a;x và 0 x ;b Khi đó:0 

 Nếu f ' x 0 với mọi xa;x0 và f ' x 0 với mọi xx ;b0  thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x (Hay 0 f ' x  đổi dấu từ   sang   qua điểm x ) 0

 Nếu f ' x 0 với mọi xa;x0 và f ' x 0 với mọi xx ;b0  thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x (Hay 0 f ' x  đổi dấu từ   sang   qua điểm x ) 0

Bước 2: Tìm các điểm x i 1,2, i   mà tại đó f ' x i 0hoặc f ' x i không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên, xét sự đổi dấu của f ' x  để kết luận

xy

O

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a;b chứa điểm x ,0 f ' x 0 0

và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

 Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

 Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

 Quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số và tính f ' x  

Bước 2: Tìm các nghiệm x i 1,2, i   mà tại đó f ' x i 0

Bước 3 : Tìm f '' x và tính   f '' x  i

 Nếu f '' x i 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

 Nếu f '' x i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

BÀI TẬP MẪU

 Cơ bản Câu 1: Cho hàm số y f x   có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có hai điểm cực tiểu B. Hàm số có ba điểm cực trị

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên em thấy:

 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT 1, giá trị cực tiểu yCT = 0

 Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0, giá trị cực đại yCĐ = 3 Mệnh đề D đúng

Hàm số có 3 điểm cực trị: 2 cực tiểu và 1 cực đại Mệnh đề A và B đúng

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực tiểu B. Hàm số có ba điểm cực trị

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1 D. Hàm số có hai điểm cực trị

Từ bảng biến thiên em thấy giá trị cực tiểu của hàm số là 2.

3  Đáp án A

Câu 4: Cho hàm số y f x   có đạo hàm    2 2 2

f ' x x x 1 x 2 với mọi x Số điểm cực trị của hàm số y f x   là

3 

Em có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên em thấy hàm số f x chỉ có 1 cực trị   → Đáp án A

Câu 5 : Cho hàm số y f x   liên tục trên K và có đạo hàm là

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 1

Câu 7: Cho hàm số f x x42x23 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại

B. Hàm số không có cực trị

C. Hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

D. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

Câu 8: Cho hàm số 3 4

y x x 1  Hàm số đạt cực đại tại

A. x 1 và x 0 B. x 1 C. 3

x7

  D. x 0

-3 2

1 x y

Câu 9: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 0; 1 ,  điểm cực tiểu là 2; 3  

B. Hàm số có điểm cực đại là 2;3 , điểm cực tiểu là 0; 1  

C. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 2;3 , điểm cực tiểu là 0; 1  

D. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 0; 1 ,  điểm cực tiểu là 1;0 

Câu 10: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 12: Cho hàm số y x 3 ax2bx c. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số luôn có cực trị B. Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành

C. xlim f x 

   D. Đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng

Câu 13: Hàm số y 4 x 2 có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 17: Cho hàm số y3x21 và các khẳng định I, II, III, IV Số khẳng định đúng là

I Hàm số luôn đồng biến trên  ;  II Hàm số có điểm cực tiểu là x = 0

III Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 IV Hàm số luôn nghịch biến trên  ; 

x

-1 3

-2

Câu 19: Cho hàm số y f x   có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số

 

y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0 B. 3

C. 2 D. 5

Câu 20: Cho hàm số y f x  x3ax2bx c , a,b,c  có đồ

thị của hàm số y f ' x   được cho bởi hình vẽ dưới đây Hàm số

Câu 22: Cho hàm số y f x   có bảng biến

thiên như hình bên Đồ thị hàm số y f x  

có bao nhiêu điểm cực trị

\ 2 có biến thiên như hình

bên Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng?

x  5 2 1 y’  0   

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 5. B Hàm số có điểm cực tiểu là  1;1

C Hàm số có giá trị cực tiểu là 1. D Hàm số có điểm cực tiểu x = 1

y = f(x) y

x O

y

x O

y=f' x  

-3 -1 1

 Em thấy: f ' 1 0 và f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 1  

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là 1 → Loại đáp án B

 Mặt khác f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 0  

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 0 → Loại đáp án A

 Từ bảng biến thiên thấy:xlim f x  ; lim f xx  

Từ bảng biến thiên em thấy hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu  Đáp án D

Mẹo giải nhanh: vì ab  2 0 nên hàm số có 3 cực trị Loại đáp án B

Mà a 1 0  nên hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x 1.  Đáp án B

Câu 9:

Nhìn vào hình vẽ em thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là 2;3, điểm cực tiểu là

0; 1   Đáp án C

Câu 10:

Từ bảng biến thiên em thấy y’ đổi dấu khi qua x 2và x 3.

Nhưng tại x 2thì hàm số không xác định

 y' 3x 22ax b; y' 0  3x22ax b 0  phương trình y' 0 có thể vô nghiệm

y’ không đổi dấu Hàm số không có cực trị → Đáp án A sai  Đáp án A Câu 13:

y’  0 

y

Từ bảng biến thiên em thấy hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

x 0

3

 2

3

 2

Từ bảng biến thiên em thấy rằng:

+ Hàm số nghịch biến trên;0và đồng biến trên0; → Khẳng định I và IV sai + Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 0 → Khẳng định III sai

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 → Khẳng định II đúng  Đáp án B Câu 18:

x

x O

Đáp án A sai vì hàm số có giá trị cực đại tại x 5.

Đáp án B sai vì điểm  1;1 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Đáp án C sai vì hàm số có giá trị cực tiểu là 1

Đáp án D đúng

 Đáp án D

Dạng 2: Bài toán chứa tham số

 Một số chú ý khi giải toán:

Đường thẳng qua 2 điểm cực đại, cực tiểu

của hàm số

Đường thẳng cần tìm là: