CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LỚP 12

Bài tốn 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = fx, ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Khi hàm số cĩ cực đại, cực tiểu, viết

Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f khơng đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đĩ.

Bài tốn 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y′ Tìm các điểm mà tại đĩ y′ = 0 hoặc y′ khơng tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên): Giả sử y’=0 cĩ 1 nghiệm x 0 trên (a;b).khi đĩ y’ sẽ mang một dấu trên (a;x 0 ) và mang một dấu trên (x 0 ;b) Vậy để xét dấu ta lấy 1 giá trị x 1 thuộc (a;x 0 ) tính y’(x 1 ) Dấu của y’(x 1 ) chính là dấu của y’ trên (a;x 0 Các khoảng khác tương tự.

Từ đĩ kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số đa thức và phân thức sau:

ĐS:ĐB(-∞;+∞)7) y = - x3 + 6x2 - 9x+ 4ĐS:NB(-∞;1) và (3;+∞); ĐB(1;3)

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

=+ ĐS:ĐB(-∞;-5) và (-5;+∞)

2

x y

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số chứa căn và lượng giác sau:

Chú ý : đối với hàm căn tại các đầu mút cĩ xác định nhưng khi kết luận ĐB, NB ta cĩ thể viết trên khoảng hoặc trên đoạn đều được.

25 x

=

- ĐS:ĐB(-5;5);

Liên quan đến pt chứa căn lớp 10 dạng f(x) =g(x) cần làm tốt

15) y x= + 1−x2 ĐS:ĐB(-1;1/ 2 ); NB(1/ 2 ;1) HD: Không đc nhân liên hợp

16)y =x+ -1 x2- 4x+ 3 ĐS:ĐB(-∞;1);NB(3;+∞) HD: y’=0 vô nghiệm nên y’ luôn mang 1 dấu trên mỗi khoảng xác định

Bài toán 2: CM hàm số luôn đồng biến, Nghịch biến

Ta biến đổi y’thành hằng đẳng thức cộng một số và chỉ ra dấu của y’ khi nó là hàm bậc 3 hoặc bậc 2/b1 Còn hàm bậc 1/b1 thì y’ đã là 1 số dễ so sánh

8) y= - x3 + (2- m)x2- (m2 + 4)x- 3 luôn nghịch biến trên ¡

- luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Đối với hàm số lượng giác ta nên sử dụng tập giá trị, tính chất riêng, hoặc xét dấu trên mỗi khoảng cần chứng minh.

15) y= x3 + x- cos x- 4 luôn đồng biến trên ¡

16) y=cos 2x + 2x + 3 luôn đồng biến trên ¡

17) y= x- sin x đồng biến trên khoảng (0; 2p )

18) y=(x- sin x) (p- x- sin x) luôn đồng biến trên khoảng 0;

= đồng biến trên các khoảng (0;p và ) (p p , 2 )

20) y=3x- sin 3x( - 1) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

21) y= - 5x+ cot x( - 1) luôn nghịch biến trên tập xác định của nó

22) y=cos x- x luơn nghịch biến trên tập xác định của nĩ.

23) y=sin x- cos x- 2.x luơn nghịch biến trên tập xác định của nĩ

Bài 4.*Tùy vào điều kiện của tham số m , hãy khảo sát tính đơn điệu của hàm số

Ta biện luận dấu của y’ theo dấu của biệt thức ∆ và hệ số bậc 2 là a Ta cĩ thể dựa vào chú ý 3 vấn

00

a b c

00

a b c

+ .Hàm số đồng biên trên từng khoảng khi y’≥ 0 ∀x≠-n/m;

Hs NB trên từng khoảng khi y’≤ 0 ∀x≠-n/m.

Bài 1. Tìm m để các hàm số sau luơn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nĩ: 1) y x= 3−3mx2+(m+2)x m− ĐS:-2/3≤m≤1

- nghịch biến trên từng khoảng xác định của hs.ĐS:m≤1/2

Bài toán 4:Tìm đk của tham số để hàm số ĐB(NB) trên đoạn có độ dài bằng k.

Ta thường gặp bài toán này đối với hàm bậc 3 có

+) y’=ax 2 +bx+c với a>0 và yêu cầu ngịch biến trên đoạn có độ dài bằng k

0

ìï >Dïï

y= − x + m− x + m+ x− đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.ĐS:0;1

4) y = - x3 + x2 - (2- m x) + 1 tăng trên đoạn có độ dài bằng 2 ĐS: m=9/4

y = - x + mx - 4mx+ 3m + 5 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.ĐS: -3/2;27/2

6)

y= x - 3mx - 3x+ m- 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 2 ĐS:±1

A)Hàm lượng giác luôn đơn điệu sử dụng TGT luôn dương hoặc luôn âm

1) Tìm m để y=(m−3)x−(2m+1).cosx luôn nghịch biến ĐS:-4≤m≤2/3

2) Tìm a, b để y=a.sinx+b.cosx+2x luôn đồng biến.ĐS: a2+b2≤4

9

12sin.4

1sin

2

cos(sin

2

1.3

+

−

−+

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x0 ∈ (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

III Điểu kiện đủ để hàm số cĩ cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và cĩ đạo hàm trên (a; b)\{x0}a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f′ (x0) = 0 và cĩ đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f′′ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f′′ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số.( Các tính chất chỉ hỏi khi học sinh làm tốt cách tìm cực trị)

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

• Tìm f′ (x).

• Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm.

• Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

• Tính f′ (x).

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

• Tính f′′ (x) và f′′ (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu 1

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau

Bài 4.Tìm cực trị của các hàm số sau:

-Bài 5.Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài tốn 2: Tìm cực trị theo dấu hiệu hai

Bài 6.Tìm cực trị của các hàm số sau bằng đạo hàm cấp 2:

Bài lỗi: Khi nào khơng dùng được quy tắc số 2? ĐS: khi đạo hàm cấp 2 tại x 0 bằng 0.

-5) y =sin 2x- x ĐS:CĐ x=π/6+kπ; CT: x= -π/6+kπ

6) y =2 sin 2x- 3 ĐS: CĐ x=π/4+kπ; CT: x= -π/4+kπ

7) y = -3 2 cos x- cos 2x ĐS: CĐ x=π/2+kπ; CT: x= π/6+k2π; x= 5π/6+k2π

Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị Ta chia điều kiện của 3 hàm thường gặp.

1 Hàm bậc 3 cĩ cực trị khi pt y’=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt.

2 Hàm bậc 4 trùng phương cĩ 3 cực trị khi pt y’=0 cĩ 3 nghiệm phân biệt.

3 Hàm bậc 4 trùng phương cĩ 1 cực trị khi pt y’=0 cĩ 1 nghiệm phân biệt.

4 Hàm bậc 2/bậc1 cĩ cực trị khi pt y’=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt khác mẫu.

Từ đĩ thì bài tốn CM cũng chỉ ra các đk như trên là được.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luơn cĩ cực đại, cực tiểu:

Bài 4. Tìm tham sớ để hàm sớ:

1) y x= 3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x = 2 ĐS: m=11

y = - m + 5m x + 6mx + 6x- 6 đạt cực tiểu tại x = ĐS:m=-21

3) y =x3 - 2x2 + mx+ đạt cực tiểu tại 1 x = (trích đề TNPT – 2011) ĐS:m=11

4

2x

+ đạt cực đại tại x = ĐS:m=-3 loại m=-12

12) y =2 m( 2 - 3 sin x) - 2m sin 2x+ 3m- 1 đạt cực tiểu tại x

a a nên nó là đường thẳng đi qua 2 cực trị.

Cách 2: khi tọa độ cực trị đẹp thì ta viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị là xong Có tham số ta thường chia.

a) y=3x2−2x3 b) y x= 3−3x2−6x+8 ĐS:a)N đẹp y=x b)y=-5x+6

− +

=+ ĐS:c) N đẹp y=2x-1 d) y=4x-1

Bài 2. Khi hàm số cĩ cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số: (ĐK để hàm số cĩ 2 điểm cực trị, rồi sử dụng 2 điểm cực trị)

Bài 3. Tìm m để hàm số: (sử dụng đường thẳng qua hai cực trị cho biết hệ số gĩc)

a) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1 cĩ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng

y= mx − m− x + m− x+ đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1+2x2 =1 ĐS:2;2/3

Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số: (sử dụng tọa độ cực trị hay tc tung độ cực trị + rèn tính chất từng hàm số vì sau khi tìm được tọa độ cực trị ta làm được mọi bài tập liên quan do đĩ ta học cách tính nhanh giá trị các cđ, ct của từng hàm số đặc biệt)

16) f x( ) =x4 + 2(m− 2)x2 +m2 − 5m+ 5 có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC vuông cân.ĐS:m=117) y x= 4+2mx2+m2+m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC có 1 góc bằng 1200 ĐS: m=

y= x − x + x(1) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2 với

A, B là hai cực tri của hàm số (1) ĐS:a=2;a=4

26) y x= −3 3mx+2( )C m có đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của( )C cắt đường tròn tâm m

( )1;1 ,

I bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.

ĐS:Đường thẳng qua CĐ, CT : y=-2mx+2; dt tam giác IAB=1/2 IA.IB.sinAIB≤ 1/2; dt lớn nhất khi góc AIB bằng 90 0 ; = ±1 3

- - ; hàm số có CĐ, CT khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

⇔m+1>0⇔m>-1(*) Khi đó pt: y’=0 có hai nghiệm : x1 = -1 1+ m; x1 = +1 1+ m

Hàm số cĩ hai điểm cực trị: A(1- 1+ m;2 1+ m - m- 2);B(1+ 1+ m; 2 1- + m - m- 2)

Mà AB=10 suy ra: ……; m=4

-ê

ê > - +ë

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số: (sử dụng vị trí điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ)

a) y=2x3+mx2−12x−13 cĩ hai điểm cực trị cách đều trục tung.ĐS: m=0

b) y x= 3−3mx2+4m3 cĩ các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất ĐS:

Bài 9. Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị của đths (1) nhỏ nhất ĐS:M(4/5;2/5)

• Xét dấu f′ (x), tìm các giới hạn và lập bảng biến thiên.

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Tính giá trị các điểm tới hạn chỉ dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

• Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu cĩ).

Bài tốn 1: Dùng BBT khi TXĐ cĩ chứa khoảng; nửa khoảng.

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: (cần tính giới hạn để điền vào BBT cùng các cực trị thơng thường hs chủ quan nên quên bước này dễ dẫn đến sai lầm trong bài tốn khĩ, nhất là bài tốn tìm m để pt cĩ nghiệm)

+ + ĐS:f)ymin=1, ymax=6 g) ymin=1/3; ymax=3

Bài tốn 2: Dùng BBT hoặc tính giá trị khi TXĐ là đoạn.

Bài 2.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

1) y=2x3+3x2−12x+1 trên [–1; 5] ĐS: ymax=y(5)=266; ymin=y(1)=-6

2) y =x3- 8x2 + 16x- 9 trên đoạn [1;3] ĐS: ymax=y(4/3)=13/27; ymin=y(3)=-6

3) y=3x x− 3 trên [–2; 3] ĐS: ymax=y(-2)=y(1)=2; ymin=y(3)=-18

4) y = - 2x3 + 4x2- 2x + 2 trên [ 1; 3]- ĐS: ymax=y(-1)=10; ymin=y(3)=-22

5) y =x3 + 3x2 - 9x+ 3 trên đoạn 2;2éë-ê ùúû ĐS: ymax=y(-2)=25; ymin=y(1)=-2

6) y x= 4−2x2+3 trên [–3; 2] ĐS: ymax=y(-3)=66; ymin=y(±1)=2

7) y = x4 – 2x2 + 1 trên [-1; 2] ĐS: ymax=y(2)=9; ymin=y(±1)=0

8) y =x4- 8x2 + 16 trên đoạn [ -1;3] ĐS: ymax=y(3)=25; ymin=y(2)=0

18) y= 2+ +x 4−x ĐS: ymax=y(1)=2 3 ; ymin=y(4)=y(-2)= 6

19) y = (x – 6) x2 + 4 trên đoạn [0 ; 3] ĐS: ymax=y(3)=-3 13 , ymin=y(0)=-12

y =3x- 10- x ĐS: ymin=y(-3)=-10, ymax=y( 10 )=3 10

26)y =x+ 1+ - 3x2 + 6x+ 9trênéë-ê 1; 3ùúû ĐS: ymax=y(2)=6, ymin=y(-1)=0

27) 2

y =x+ 1+ 2 - 2x + 2x+ 4trênéë-ê 1;2ùúû ĐS: ymax=y(1)=6, ymin=y(-1)=0

28) y=4 x2−2x+ +5 x2−2x+3 ĐS: ymax kxđ, ymin=y(1)=10

29) y= − +x2 4x+ x2−4x+3 ĐS: ymax=y(4± 5

2 )=13/4, ymin kxđ30)y =3x- x2 + 4+ s inx trên 0;é ùê úp

ë ûĐS: ymax=y(π)= , ymin=y(0)=-231)y =2x- x2 + 3- x2 + 1 trên 0;1é ùê ú

ë û ĐS: ymax=y(1)=- 2 , ymin=y(0)=-1− 3

Đối với hàm chứa GTTĐ ta có thể phá dấu GTTĐ rồi tìm GTLN,NN; Có thể Tìm GTLN của hàm bên trong GTTĐ rồi suy ra GTLN, còn GTNN có thể bằng 0 vì |f(x)|≥0.

32)y = x2 - 4x- 5 trên đoạn 2;6éë-ê ùúû ĐS: ymax=y(2)=9, ymin=y(-1)=y(5)=0

33)y = x2 - 3x + 2 trên đoạnéë-ê 10;10ùúû ĐS: ymax=y(-10)=132, ymin=y(1)=y(2)=0

34)y = x3- 3x+ 2 trên đoạnéë-ê 2;1ùúû ĐS: ymax=y(-1)=4, ymin=y(-2)=y(1)=0

= - ê úë ûĐS: ymax=y(1/2)=1, ymin=y(0)=0

41)y =2 x3 - 9x2 + 12 x - 4 t rên éë-ê 2;2ùúû ĐS: ymax=y(±1)=1, ymin=y(0)=-4

44) y =sin 2x- x trên đoạn ;

2 2

é p pù

ê-ê úú

ë û ĐS: ymax=y(-π/2)= π/2, ymin=y(π/2)=- π/2

45) y =x+ 2 cos x trên đoạn 0;

2

é ùp

ê ú

ê ú

ë û ĐS: ymax=y(π/4)= 1+π/4, ymin=y(0)= 2

Bài tốn 2: Đặt ẩn phụ rồi Tìm GTLN, NN.

Bài 3.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

x y

49) y=cos2x−2sinx−1 ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; ymax=y(-1/2)=1/2, ymin=y(1)=-4

50) y = 2sin2x + 2sinx – 1 ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; ymax=y(1)=3, ymin=y(-1/2)=-3/2

+ HD:biến đổi, đặt t=|sinxcosx| ĐK:0≤t≤1/2, ymax=5/8, ymin=0

Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm sớ sau (Dành cho chương mũ lơgarit-OTĐH)

18) y =ex + 4e- x + 3x t rên éë-ê 1;2ùúû.

Bài tốn 3: Dùng miền giá trị; tập giá trị khi hàm số cĩ thể quy về pt bậc nhất, bậc 2.

Bài 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

x y

x

−

=

+

Bài 5. Tìm p, q để giá trị lớn nhất của hàm sớ y = x2 + px + q trên đoạn 1;1éë-ê ùúû là bé nhất ?

Bài 6. Bài toán định lượng

a/ Tìm các giá trị củam vàn sao cho hàm số 2

1

y x

+

=+ cĩ giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1

b/ Chu vi của mợt tam giác là16 cm , đợ dài của mợt cạnh tam giác là( ) 6 cm Tìm hai cạnh còn lại của ( )tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

c/ Cho Parabol ( )P :y =x2 và điểm A -( 3; 0) Xác định điểm M Ỵ ( )P sao cho khoảng cách A M là

ngắn nhất Tìm khoảng cách đó

d/ Tìmm để GTLN của hàm sớ y = x2 + 2x + m - 4 trên đoạn [- 2;1] đạt GTNN

Bài tốn 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

• Chứng minh một bất đẳng thức.

• Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức

Bài 1. Giả sử D={( ; ; ) /x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + =1} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và cĩ min ( ) ; max ( )

4) Bất phương trình f(x) ≥α đúng với mọi x ⇔ m ≥α

5) Bất phương trình f(x) ≤β đúng với mọi x ⇔ M ≤β

6)Tìm điều kiện của tham số để phương trình cĩ k nghiệm

Dựa vào số giao điểm suy ra số nghiệm của phương trình f(x)= m Nên ta quy về bài tốn tương giao một hàm chỉ chứa ẩn x một hàm chỉ chứa tham số m Sau đĩ lập BBT của hàm chứa ẩn x rồi suy ra đk để cĩ số nghiệm( số giao điểm) như mong muốn.

Chú ý: cần tìm giới hạn khi x ở vơ cực; hay khi x ở nghiệm của mẫu

Bài 1. Tìm m để phương trình sau:

Bài 2. Hãy biện luận sớ nghiệm của phương trình: m x2 + 1 =x+ 2- m

ĐS: -1<m<1 cĩ 1 nghiệm; ngồi ra thì vơ nghiệm

Bài 3. Tìm giá trị của tham sớ m để pt: m x2 + 2 =x+ m có đúng hai nghiệm phân biệt ?

ĐS: - 2 £ m < - 1;1< m £ 2

Bài 4. Tìm điều kiện của tham sớ để các phương trình sau có nghiệm

1) x+ 2x2+ =1 m ĐS: m≥ 2

2

13) x2- 4x+ 5 ³ x2- 4x+ m có nghiệm thực trong đoạn 2; 3é ùê ú

ë û ĐS:m≤514) x2- 2x + 3 £ x2 - 2x+ mcĩ nghiệm thực trong 1; 3éë-ê ùúû ĐS: m≥-27

Bài 5. Cho bất phương trình: x3−2x2+ − + <x 1 m 0

a) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm thuộc [0; 2] ĐS:m<1

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].ĐS: m<-1

Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R:

x3 −2 2 −( −1) + ≥ 1 đúng với mọi x ≥ 2

3) (ĐHBK 2000) Tìm a để BPT x3 +3x2 −1≤a.( x − x−1)3 cĩ nghiệm

4) (ĐH Luật 1997) Tìm m để BPT 3 3 2 31

x x

Bài 13. Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx− x− ≤ +3 m 1 cĩ nghiệm b) (m+2)x m− ≥ +x 1 cĩ nghiệm x ∈ [0; 2]

c) m x( 2− + ≤x 1) x2+ +x 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ [0; 1]

Bài tốn 7: Ứng dụng tính đơn điệu + GTLN, NN để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

• Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <0, ≥0, ≤0 ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do

đề bài chỉ định.

• Xét dấu f′ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

• Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f′ (x) thì ta đặt h(x) = f′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu

h′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.

2) Nếu bất đẳng thức cĩ hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài tốn 8: Chứng minh phương trình cĩ nghiệm duy nhất-OTĐH

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) cĩ nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

• Chọn được nghiệm x 0 của phương trình.

• Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm

số nghịch biến Khi đĩ (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ x 0 Đĩ chính là

nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý:+ Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

+ Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = 0 (đồ thị là trục Ox) thì kết luận trên vẫn đúng; (và cĩ cách hỏi mới cmr đồ thị hàm số cắt Ox tại 1 điểm duy nhất, 2 nghiệm,… hs cĩ cái nhìn rõ hơn về hàm số liên tục.

Bài 14. Giải các phương trình sau:

2zx

-Bài tốn 9: Tìm điều kiện của tham số để hàm số ĐB, NB trên khoảng tùy ý

Chú ý: Để làm được bài tốn này hs cần trang bị bài tốn GTLN, NN của hàm số (gọi chung cách này là pp hàm số) và đk ĐB, NB của hàm số trên khoảng

Bài 1. Tìm m để hàm số:

1) y =x3 + 3x2 + (m + 1 x) + 4m nghịch biến trên khoảng (- 1;1).ĐS:m≤-10

2) y =x3- 3x2 - (m- 2 x) + 4+ m nghịch biến trên khoảng(- 1, 2).ĐS: m≥11

3) y =x3 + 3x2 - mx- 4 đồng biến trên khoảng (0;+ ¥ ĐS:m≤0)

= - + - - + nghịch biến trên khoảng (- 2; 0) ĐS:m≤-1/2

7) y =x (m2 - x)- m đồng biến trong khoảng( )1, 2 ĐS:m≥3

y =x - 3 2m + 1 x + 12m+ 5 x+ 2 đồng biến trên khoảng(2;+ ¥ ĐS:m≤5/12)

Hai bài sau đây sử dụng chú ý 4 và so sánh 2 nghiệm với một số không có trong CT mới

11) *y =x3 - (m + 1 x) 2- (2m2- 3m+ 2 x) + 2m2 - m đồng biến trên é + ¥ê2; )ĐS: -2≤m≤3/212) *y =x3 - 3 m( - 1 x) 2 + 3m m( - 2 x) + đồng biến trên tập giá trị của x sao cho11 £ x £ 2ĐS: m≤-2;m=1;m≥4

13) y =x+ m cos x đồng biến trên ¡ ĐS: -1≤m≤1

- nghịch biến trên khoảng(- 1; 0).ĐS: m≥9

Hai bài sau đây sử dụng tam thức bậc 2:

• Nếu Q(x) = 0 cĩ nghiệm x0 và P(x0)≠0 thì đồ thị cĩ tiệm cận đứng x x= 0.

• Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị cĩ tiệm cận ngang

• Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị cĩ tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta cĩ thể áp dụng các cơng thức sau:(chủ yếu sử dụng cho hàm số chứa căn thức; cịn hàm phân số ta thường chia tử cho mẫu để tìm TCX)

Bài tốn 1: Tìm các tiệm cận của hàm số chứa mẫu

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

x

+

=

− ĐS:a)Đ:x=1; N:y=2 b)x=1/2;y=-5 c)x=2;y=-2

x y

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

x y

=

29

x y

1

y x

=

− ĐS: a) TCN: y=0 b)Đ: x=±3;N: y=0 c)N:y=1;x=±1

11

y x

+ +

=

4 3

41

y x

− +

=

− ĐS: d) TCN: y=2 e)X:y=x f)Đ:x=1;X:y=x

Bài tốn 2: Tìm các tiệm cận của hàm số chứa căn.

Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: (chú ý bậc của tử cao hơn mẫu mới cĩ TCX, nhỏ hơn hoặc bằng thì cĩ TCN)

9

x y x

Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

Bài tốn 3: Tìm đk của tham số để hàm số cĩ k tiệm cận đứng

Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau cĩ đúng hai tiệm cận đứng:

2

x y

x y

+

=+ + −

Bài tốn 4: Tìm đk của tham số để hàm số cĩ tiệm cận xiên

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau cĩ tiệm cận xiên:

Bài tốn 5: tương giao của tiệm cận với các trục tọa độ và diện tích tam giác tạo thành

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ

= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến

đường tiệm cận xiên của nó bằng 2

1) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m) bằng 450

2) Tìm m để đồ thị (C m)có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho ΔAOB có diện tích

1) Tích khoảng cách từ mợt điểm bất kỳ trên ( )C đến hai đường tiệm cận khơng đởi.

2) Khơng có tiếp tuyến nào của ( )C đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

Bài 15. Định m để hàm sớ có tiệm cận đứng đi qua A -( 1; 2) với 1

2

mx y

-=+

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số

• Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′

+ Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y′ bằng 0 hoặc khơng xác định

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu cĩ)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

• Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y′′

– Tìm các điểm tại đĩ y′′ = 0 và xét dấu y′′

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu cĩ) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì cĩ thể bỏ qua)

Cĩ thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để cĩ thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu cĩ) của đồ thị

I

y

x

0 I

y’ = 0 vô nghiệm

= Giao điểm của hai tiệm cận

là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

• Các dạng đồ thị:

y

x 0

I

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

= − và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

 Các dạng đồ thị:

y′ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

y′ = 0 vơ nghiệm

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

y

y

g) A-13:y= − +x3 3x2−1 h) B-13: y=2x3−6x i) D-13: y=2x3−3x2+1 k)B-14y x= 3−3x+1, D-14y x= 3−3x−2

+

=

34

x y

x

−

=+ e) 3 1

3

x y x

−

=+

+ −

=

11

−

=+

I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

VI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Tìm tọa độ giao điểm của (C1) và (C2).

Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh

độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

2 Tìm đk để đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt ?

⇔ Phương trình ax3+bx2+ + =cx d 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt

Hoặc Hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d cĩ cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y <0

3 Tìm đk để đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+c cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ?

⇔ Phương trình ax4+bx2+ =c 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt

Hay pt: at2+ + =bt c 0 cĩ 2 nghiệm dương phân biệt

Hoặc Hàm số y ax= 4+bx2+c cĩ cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y <0

4 Tìm đk để đồ thị hàm sốy ax b

cx d

+

=+ cắt đường thẳng y=mx+n tại 2 điểm phân biệt ?

−

Bài tốn 1: Tìm tọa độ giao điểm

Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau: (đáp số chỉ cĩ hồnh độ)

Bài tốn 2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về dạng sau:

F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)

Khi đĩ (1) cĩ thể xem là phương trình hồnh độ

giao điểm của hai đường:

Trang 40 Dương Văn Đơng

y CĐ