Vẽ đường tròn O’ đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn O và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn O’ tại I.. b HI là tiếp tuyến của đường tròn O’.. Đường thẳ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT GIO LINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Khoá ngày 27 tháng 10 năm 2015
Đề thi môn: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,5 điểm): Cho biểu thức: 15 11 3 2 2 3
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên
Bài 2 (4,0 điểm):
a) Cho hàm số: ( ) ( 3 )2012
7
6 − +
= x x x
Tìm f( )a với a=3 3+ 17 +3 3− 17.
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x 1(y 3)
2
Bài 3 (4,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên và a – b là số nguyên chẵn Chứng minh rằng: Nếu 4a + 3ab 11b2 − 2 chia hết cho 5 thì (a2 - b2) chia hết cho 20
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
y
zx x
yz z
xy + + với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Bài 4 (4,5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì
thuộc đường kính AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE,
BC cắt đường tròn (O’) tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) HA2 +HB2 +HC2 +HD2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB
Bài 5 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M, N, O lần lượt là trung
điểm của AB, AC, BC Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt MN tại G, cắt
AC tại P Chứng minh:
a) DOPN DCMA
b) G là trọng tâm của tam giác AMC
Hết./.
Trang 2PHÒNG GD&ĐT GL HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015-2016 Môn: Toán
I a) 3,0 đ
4,5 đ (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
( )( )
A
A= ( 151)( 11 3) 2 3 1 2 33
( )( ) ( )( ) ( )( )
= 15 11 7( 1)(6 3 3) 3 2
x x
( )( )
3
x x
+
0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5
b) 1,5đ
Ta có: (5 3)2
x P
x
=
3
17 5 3
17 3 5
+ +
−
= +
+ +
−
x x
x
Do x+ ≥ 3 3 và 17 là số nguyên tố nên
PÎ ¢ Û M x+ Û x+ = Û x= Û x=
0,5 0,5
0,5
II a) 2,0 đ
17 3 17
=
a Û a3 = 6 − 6 3 3 + 17 + 3 3 − 17
Û a3 +6a−6=0
Từ đó: f( )a =(a3 + 6a− 7)2012 =(a3 + 6a− 6 − 1)2012 = 1
1,0
0,5 0,5 b) 2,0 đ
Điều kiện x ≥ 0; y − z ≥ 0; z − x ≥ 0 ⇔ y ≥ z ≥ x ≥ 0
(b) ⇔2 x 2 y z 2 z x + − + − = + − + − + x y z z x 3
⇔( x 1) − 2 + ( y z 1) − − 2 + ( z x 1) − − 2 = 0
⇔
x 1
y z 1
z x 1
− =
⇔
x 1
y 3
z 2
=
=
=
(thỏa điều kiện)
0,5 0,5 0,5
0,5
III a) 2,0 đ
4 đ Ta có : 4a2 + 3ab -11b2 M5Þ (5a2 +5ab -10b2) – (a2 + 2ab + b2)M5
Þ (a2 + 2ab + b2)M5 Þ (a + b)2 M5 Þ (a + b)M5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
0,5 0,5
Trang 3Þ a2 – b2 = (a + b)(a – b)M5
a + b và a – b có cùng tính chẵn lẻ mà a – b là số nguyên chẵn
nên (a + b)(a – b)M4
ta có: (4, 5) = 1 Do đó (a2 – b2 )M20
0,5
0,5 b) 2,0 đ
A = xy z + yz x + zx y
2 2 2
2 2 2
2 2
+ +
+
y
x z x
z y z
y x
( vì x2+y2+z2 =1) = B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z x y y z
y
z + x ³ z x =
2
2 2 2
2 2
2z
y
x z x
z
2
2
2 2 2
2 2
2x
y
x z z
y
Cộng vế với vế ta được 2B ≥ 2⇒ B≥ 1
Do đó A2 = B +2 ≥3 nên A ≥ 3
Vậy Min A = 3 ⇔ x=y=z=
3 3
0,5
0,5 0,5
0,5
IV a) 1,5 đ
4,5 đ
*Tứ giác ACED là hình thoi
(vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm)
Þ AC // DE (1)
*I Î (O’), EB là đường kính Þ EI ⊥ IB hay EI ⊥ BC; C Î (O),
AB là đường kính Þ AC ⊥ BC Þ EI // AC (2)
*Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5
0,5 0,5 b) 1,5đ
Trang 40,25 0,5 0,25 0,5
0,5 0,25 0,5 0,25
Trong tam giác vuông ICD có IH = HD = 1
2CD Þ DHID cân
Þ HID HDI· = · và O 'IB B· =µ mà D Bµ = µ (cùng phụ với ·BCD )
HID O 'IB
Do đó: HIO· ' = 90 0, suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
c) 1,5
-Ta có: HA2 + HC2 = AC2 ; HB2 + HD2 = BD2
- Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
-Mặt khác: ∆ ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ∆ACB
vuông tại C⇒ AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
-Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển
động trên đường kính AB
V a) 1,0 đ
3,0đ Bài 5:
*AMON là hình vuông vì có bốn cạnh bằng nhau và có một góc
vuông
*Xét D ONP và DCAM có ONP=CAM=90· · 0và OPN=CMA· · (cùng phụ
với ·ACM)
Nên D ONP DCAM
0,5 0,75 0,25
0,5
0,5 0,5
b) 1,5 đ
2
NP ON ON
AM CA AB
2
NG NP NP
GM =OM = AM = Þ GM = 2GN
Mà MN là trung tuyến của tam giác MAC Do đó G là trọng tâm của
tam giác MAN
*Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác tùy theo cách giải mà cho điểm tương ứng theo từng phần