Đề thi HSG Toán 89 mới nhất

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÓI... PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC:... Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để gia

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÓ

I PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

I-KIẾN THỨC:

1/

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0

3 2

0 3

≥

x x

x

x x

x

x x

x x

Bài 3: Giải phương trình: x+ − 4 1 − =x 1 2 − x

2 1 0 (2 1) 2 3 1

x x

x x

x x

Bài 5 Giải phương trình : 3 − =x x 3 +x

HD:Đk: 0 ≤ ≤x 3 khi đó pt đã cho tương đương: x3 + 3x2 + −x 3 0 =

Bài 6 Giải phương trình sau :2 x+ = 3 9x2 − −x 4

HD:Đk: x≥ − 3 phương trình tương đương :

Bài 7 Giải phương trình sau : 2( ) 3 ( )2

3

+

= – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Bài 9 Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2 − 3 =x−m

Bài 10 Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x − x = − m m

HD: Điều kiện: x ≥ 0

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0 − = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với

III-Bài tập áp dụng:

Bài 1:Giải các phương trình sau:

1/ x+ x− = 1 13 2/ 3 x+ 34 3 − x− = 3 1 3/ 2x+ − 5 3x− = 5 2 4/ 1 +x x2 + = + 4 x 1 5/ x 3 5 + = − x 2 − 6/ x 1 + − x 7 − = 12 x −

Bài 4: Cho phương trình: x2 − − = 1 x m

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2x2 +mx− = − 3 x m

a) Giải phương trình khi m=3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 6: Giải các phương trình sau:

II PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI

I-KIẾN THỨC:

– Nếu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu x ≥ 2 : (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5

Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 + + + + x 10 6 x 1 + − + = 2 x 2 2 x 1 + − + (2)

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

Bài 3:Giải phương trình: x− + 2 2x− + 5 x+ + 2 3 2x− = 5 7 2

HD:ĐK: 5

2

x≥

PT ⇔ 2x− + 5 2 2x− + + 5 1 2x− + 5 6 2x− + = 5 9 14

⇔ 2x− + + 5 1 2x− + = 5 3 14⇔ 2x− =5 5⇔ =x 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15

Bài 4:Giải phương trình: x+ 2 x− + 1 x− 2 x− = 1 2

HD:ĐK:x≥ 1

Pt ⇔ x− + 1 2 x− + + 1 1 x− − 1 2 x− + = 1 1 2 ⇔ x− + + 1 1 x− − = 1 1 2

Nếu x> 2 pt ⇔ x− + + 1 1 x− − = 1 1 2 ⇔ =x 2 (Loại)

Nếu x≤ 2 pt ⇔ x− + + − 1 1 1 x− = 1 2 ⇔ 0x= 0 (Luôn đúng với ∀x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={x R∈ | 1 ≤ ≤x 2}

11/ x+ − 6 2 x+ + 2 x+ − 11 6 x+ = 2 1 12/ x− + 2 2x− + 5 x+ + 2 3 2x− = 5 7 213/ x2 + 2x− x2 + 2x+ − = 1 5 0 14/ 2x+ 4 + 6 2x− 5 + 2x− 4 − 2 2x− 5 = 415/ x2 − 4x+ + 4 2x= 10 16/ 2

2 1 2 8

x − x+ + x=17/ x+ x+ +12 x+ =14 2 18/ 41x2 +x+1− 6−2 5 =0

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t = f x( ) và chú ý

điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến tquan

trọng hơn ta cĩ thể giải được phương trình đĩ theo tthì việc đặt phụ xem như “hồn tồn”

Bài 1 Giải phương trình: x− x2 − + 1 x+ x2 − = 1 2

HD:Điều kiện: x≥ 1

Nhận xét x− x2 − 1. x+ x2 − = 1 1

Đặt t = x− x2 − 1 thì phương trình cĩ dạng: t+ = ⇔ =1t 2 t 1 Thay vào tìm được x=1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 = − ± 1 2 2;t3,4 = ± 1 2 3

Do t ≥ 0 nên chỉ nhận các gái trị t1= − + 1 2 2,t3= + 1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x= − 1 2 vàx= + 2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2x2 − 6x− ≥ 1 0

Ta được: x x2 ( − 3) 2 − − (x 1) 2 = 0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y− = 3 4x+ 5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ

Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17

Bài 6 Giải phương trình : x2 + 3 x4 −x2 = 2x+ 1

HD: x= 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: 1 3 1

7 7

x + x+ ;y≥ 0

Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0

5 3 1

y y

⇔ + + = ⇔  = −x x= −16 Là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài

đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2 + αuv+ βv2 = 0 (1) bằng cách

Xét v≠ 0 phương trình trở thành :

phương trình trở thành :-3u+6v=- 3 uv ⇒ =u 3v Từ đây ta sẽ tìm được x.

Bài 3: Giải phương trình sau :2x2 + 5x− = 1 7 x3 − 1(*)

Nếu u = 3v ⇔ x+ = 1 3 x2 − + ⇔x 1 9x2 − 10x+ = 8 0 (vô nghiệm)

1 5 2

Bài 3 Giải phương trình : 5x2 − 14x+ − 9 x2 − −x 20 5 = x+ 1

HD:Đk x≥ 5 Chuyển vế bình phương ta được: 2x2 − 5x+ = 2 5 (x2 − −x 20) (x+ 1)

Nhận xét : Không tồn tại số α β , để : 2 ( 2 ) ( )

Ta viết lại phương trình: 2(x2 − 4x− + 5) 3(x+ 4) = 5 (x2 − 4x− 5)(x+ 4) Đến đây bài toán

được giải quyết

3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Khi đó phương trình trở thnh : (x+ 1)t = x2 + 1 ⇔ x2 + − + 1 (x 1)t = 0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn :

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 ⇔(t - x)(t - 3) = 0⇔  =t t =3x

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình

vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

2 2

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=13

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

 Đặt u= α( )x v, = β( )x và tìm mối quan hệ giữa α( )x và β( )x từ đó tìm được hệ theo

 , giải hệ này ta tìm

được ( ; ) (2;3) (3;2)x y = = Tức là nghiệm của phương trình là x∈ {2;3}

2

4

1 1

2 2

Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

Đặt

3 2

3 2

1 2

Phương trình (1) trở thành u + v = 3

Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 7 Giải phương trình: 2 2

x x

x x

3

2

1 1

v x

u x

Do dó ta có hệ

2 2

3 3

−

=

− +

−

) ( 0 18

194 8

3

2

) ( 0 18

194 8

y

a y

97 1

; 2

3 2

97

1

2 1

2 2 2 1

1 1

y v

y u y v

y u

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

3

3 2

97 1

3

3 2

97 1

97 1

=

x

Bài 8 Giải phương trình: 4 18 + 5x + 4 64 − 5x = 4

HD:Với điều kiện

18 5

645

18 0

x x

x u

5 64

5 18 4

= +

82 ) ( 2 4 0

2 2 4

4

v v

uv v

u

v u v

4 0

0 87 32

4

0 ,

0

82 2

2

4

2

2 2

2

P

P P S

v

u v

17 ∨ =

−

=

⇔x x thoả mãn (*)

(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

1 2

17 5 63 5

x x

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( )

2 2

 việc giải hệ

này thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y= f x( ) sao cho (2) luôn

đúng , y= x+ − 2 1, khi đó ta có phương trình : ( )2 2

Vậy để giải phương trình : x2 + 2x= x+ 2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : ( )

2 2

Tương tự cho bậc cao hơn : ( )n a n

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

(αx+ β)n = p a x b n ' + + ' γ đặt αy+ = β n ax b+ để đưa về hệ , chú ý về dấu của α ???

Việc chọn α β ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng :(αx+ β)n = p a x b n ' + + ' γ làchọn được

Bài 1: Giải phương trình: x2 − 2x= 2 2x− 1

HD:Điều kiện: 1

2

x≥

Ta có phương trình được viết lại là: (x− 1) 2 − = 1 2 2x− 1

Đặt y− = 1 2x− 1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y− )( + ) 0 =

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x= + 2 2

Cách 2: Đặt 2x− = + 1 t a ⇒ 2x− = + 1 t2 2at a+ 2

Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

2 2

Giải hệ này ta sẽ tìm được x

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

HD:Điều kiện 5

4

x≥ −

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2 − 12x− = 2 2 4x+ ⇔ 5 (2x− 3) 2 = 2 4x+ + 5 11

Đặt 2y− = 3 4x+ 5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x= + 2 3

Bài 3:Giải phương trình:x2 − x+ = 5 5

 từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.

Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4 9( 0)

28

x x

2 2

1

2 1

Giải phương trình:2x2 + 2x+ = 1 4x+ 1

IV PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

a) Với hai số a, b ≥ 0 thì ta có:

2

a b

ab

+ ≥Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ =a b

+ + + ≥Dấu ‘‘=’’ xảy ra ⇔ =a1 a2 = = a n

Ta có : 1 + +x 1 − ≤x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x= 0 và 1 1 2

Dấu bằng

2 2

2 1

5 1

Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6

Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 5: Giải phương trình: − +x2 3x− + 2 x+ = 1 2

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

Bài 6:Giải phương trình : x 4x 1 2

x 4x 1

−

−HD: Điều kiện x 1

Theo giả thiết dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x 4x 1

x 4x 1

−

=

−

2 2

x 4x 1 0 (x 2) 3

x 2 3

⇔ = ±Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 4x 1 − ⇔ x 2 − 4x 1 0 + =

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 − < 5x 1 − ⇒ vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2 − ≥ 1 ⇒ vế phải luôn dươngVậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Cách 2 Với x ≥ 1, ta có:

x 1 − = 5x 1 − + 3x 2 −

⇔ x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2) − = − + − −

⇔ 2 7x 2 (5x 1)(3x 2) − = − −

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô nghiệm

Bài 8:Giải phương trình : 3x 2 + 6x 7 + + 5x 2 + 10x 14 4 2x x + = − − 2 (1)

Ta có: Vế trái ≥ 4 + 9 2 3 5 = + = Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình : x 7 2

8 2x 2x 1

x 1 + + = + − +

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 10:Giải phương trình : 6 8 6

5/ 2x− + 3 5 2 − x = 3x2 − 12x+ 14 6/ x− + 2 10 − =x x2 − 12x+ 40

V PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc

Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =k

Bước 2: Xét hàm số y= f x( )

Bước 3: Nhận xét:

• Với x x= 0 ⇔ f x( ) = f x( ) 0 =k do đó x0 là nghiệm

• Với x x> 0 ⇔ f x( ) > f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Với x x< 0 ⇔ f x( ) < f x( ) 0 =k do đó phương trình vô nghiệm

• Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) =g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái ngược nhau

và xác định x0 sao cho f x( ) 0 =g x( ) 0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( ) = f v( )

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x+ + 6 3 x+ + 2 3 x+ = 3 0

HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình

Đặt f x( ) = 3 x+ + 6 3 x+ + 2 3 x+ 3

Với x1 <x2 ⇒ f x( )1 < f x( )2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

b) x− = − − 1 x3 4x+ 5 d) x = − 1 2x+ 2x2 −x3 f) 2x− + 1 x2 + = − 3 4 x

VI PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) = 0 ta có thể giải phương trình A x( ) = 0 hoặc chứng

minh A x( ) = 0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể

đánh gía A x( ) = 0 vô nghiệm

Bài 1:Giải phương trình: x x( + 2) + x x( − = 1) 2 x2 (1)

C2: ĐK: x≤ − 2;x≥ 1

Nếu x ≥1 ta chia cả hai vế cho x ta được: (x+ 2) + (x− = 1) 2 x

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x≤-2 Đặt t = -x ⇒ ≥t 2Thay vào phương trình ta được

2 2

Chia cả hai vế cho t ta được (t− 2) + (t+ = 1) 2 t

Bình phương hai vế tìm được t

Sau đó tìm ra x

Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn

Bài 2 Giải phương trình sau : 2 2 ( 2 ) 2

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 3 Giải phương trình sau: x2 + 12 5 3 + = x+ x2 + 5

Bài 5:Giải phương trình sau:

Giải hệ trên ta tìm được x= 2

Bài 6:Giải phương trình:( )

2 2

x x

3 x− + x+ = x2 − x+ = 5 5

6 2

4 ).

2 ( 5 ) 4 )(

2

+

+ +

+ + +

x

x x

x x

2x+ = 3 x x2 + 4x+ = 5 2 2x+ 3

1 x x 2

3

x4 + x2 + 2005 2005 = a b+ 1 − = +x 1 a b− 1 −x (a , b > 0)

2 5 4 5 2 5 28 0

x + x+ − x + x+ = 64x6 - 112x4 + 56x2 - 7 = 2 1 x− 2

Bài 5: Ký hiệu [x] là phần nguyên của x

Giải phương trình sau:  3 1 + 3 2+ +  3 x3− =1  855

Bài 6:Cho phương trình:x2 6 −x+ 6 x+ 2 =x2 6 x+ 6 2 −x

Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 12: Cho phương trình: 1 + +x 8 − +x (1 +x) (8 −x) =m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình: 1 1 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 14: Cho phương trình: 2(x2 − 2x)+ x2 − 2x− − = 3 m 0

a) Giải phương trình với m = 9

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 15:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

y = x+ 2 x− + 1 x− 2 x− 1 x+ x+ x+ x = y

2 1 9 2 4

y = + −x − x y= +x x+ + 2 2 x+ 1

a/ Vế trái có 100 dấu căn.

b/ Vế trái có n dấu căn

Bài 17:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

4 4 4 4 5

x+ x+ x+ + x+ x = x

(Vế trái có 100 dấu căn)

Bài 18:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn: 3 2 7 20 3

Bài 20:Giải phương trình:3 2x+ + 1 3 x = 1

Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

Bài 24:Tìm các số hữu tỉ a và b biết: a 7 − b 7 = 11 7 28 −

Bài 25:Giải phương trình: 1 2 2 1