Bài tập vận dụng 1... Tam giác không không cân có diện tích lớn nhất... Bài tơng tự: Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi bé nhất.. Bài t
Trang 1B Nội dung
I Lý thuyết:
Với hai số không âm a, b bất kỳ ta có:
ab
b
a+ ≥
2
Chứng minh:
Ta có: ( a - b) ≥ 0 (*) a > 0 b > 0
<=> a - 2 ab + b ≥ 0
<=> a + b ≥ 2 ab
<=> a+b ≥ ab
2
Theo (*) dấu => sảy ra <=> a = b
(Đpcm)
II Bài tập vận dụng
1 áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số để chứng minh các bất đẳng thức
Bài tập 1:
Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng: a1 +b1 ≥a+4b
Giải:
Do a, b dơng => 1 > 0 1 > 0
b a
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a1,b1 ta có:
b a
b
a
1
1
2
1
1
≥
<=>
ab b
a
2 1
1 + ≥
Mà
2
b a
ab ≤ +
(2)
=> 1ab ≥ a+2b
Trang 2=> a b
ab ≥ +
4 2
=>
b a
b
a+ ≥ +
4 1
1
Từ (1) và (2) ta thấy dấu bằng xảy ra <=>
a = b
(Đpcm)
Bài tập 2:
Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng:
2
≥
+
a
b
b
a
Giải:
Do a, b dơng => b a > 0 a b > 0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số b a và a b ta có:
a
b b
a
a
b
b
a
2
≥
+
=> + ≥ 2 1
a
b
b
a
=> + ≥ 2
a
b
b
a
Dấu “=” sảy ra <=>
a
b
b
a =
<=> a2 = b2
<=> a = b
( Đpcm)
2 Vận dụng bất đẳng thức côsi và các bài tập trên để giải bài toán cực trị:
Dựa vào bất đẳng thức côsi:
ab
b
a
≥
+
2 hoặc a + b ≥ 2 ab
( a, b ≥ 0 )
Trang 3Ta rút ra đợc một số nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi hai số bằng nhau
Nhận xét 2
Với hai số không âm bất kỳ có tích không đổi tổng bé nhất khi hai số bằng nhau
Từ hai nhận xét trên ta có thể khai thác cho trờng hợp không thể có
điểm rơi nh sau: tổng quát hơn ( nằm đúng cho trờng hợp có điểm rơi)
Nhận xét 3:
Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi giá trị tuyệt đối của hiệu hai số bé nhất
Chứng minh:
Nhận xét 1, nhận xét 2 hiển nhiên
Ta sẽ chứng minh nhận xét 3
Với a >0, b > 0 và a + b = S không đổi ta phải chứng minh P = a.b bé nhất Nếu S’ = / a – b / nhỏ nhất
Thật vậy ta có:
S’2 = / a – b/ 2
= a2 – 2 ab + b2
= (a + b)2 – 4 ab
=> S’2 = S2 – 4 P
=> P = S2 - S’2
4
mà S không đổi => S2 không đổi
=> P = ab lớn nhất khi S’ = / a – b/ nhỏ nhất
Dựa vào các nhận xét trên ta có thể đa vào bài tập sau:
Trang 4Bài tập 1:
Cho a ≥ 0 , b≥ 0 và a.b = 1 Tìm min S = a + b
Giải :
Vận dụng nhận xét 2 ta thấy a.b = 1 không đôi
=> S = a + b nhỏ nhất <=> a = b
<=> a = b = 1
<=> S min = 2 <=> a = b = 1
Bài tập 3:
Bài 3: Cho biến thiên y = 18x +2x x > 0 Tìm min y ? Giải:
Do x > 0 => 0
2 0 18
>
> x
x => áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số
2
;
18 x x
ta có:
2
18 x
x +
2 18
x
≥
≥ 2 9
Dấu “ =” sảy ra <=> 18x =2x
<=> x2 = 36
<=> x = 6
Vậy y min = 6 <=> x = 6
Bài tập tơng tự:
Cho y =
1
2
2 +x−
x
( x > 1) tìm y min?
HD: y =
2
1 1
2 2
− +
−
x x
Bài tập 4:
Trang 5Cho y = x + −x
1
1 1
0 < x < 1 t×m ymin Gi¶i:
Do 0 < x < 1 nªn x > −x
1
1 0 1
> 0
=> y = x + −x
1
1 1
≥ x+ −x
1
4
= 4 DÊu “ =” s¶y ra <=> x = 1 – x
<=> x = 12
=> y min = 4 <=> x = 12
Bµi tËp 5:
Cho P = x (1 –x ) x ∈ ( 0,1) T×m P max? Gi¶i:
Do x ∈ ( 0,1) => x > 0; 1 – x >0
=> P = x ( 1 – x) lín nhÊt
<=> x = 1- x
<=> x =
2
1
∈ ( 0,1)
=> P max =
2
1
(1 -
2
1
) <=> x =
2
1
=> P max =
4
1
<=> x =
2
1
Bµi tËp t¬ng tù:
Cho Q = ( 8 + x + x 2) (20 - x – x2) x > -5
T×m Qmax?
Bµi tËp 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P =
1
2 4
2
+ +x x x
Gi¶i:
Trang 6P =
2
1
1
x
x + +
1
2
x
x
Ta có: x2 + 12 ≥ 2
x
=> P
1 2
1
+
≤
P ≤31 Dấu “=” sảy ra <=> x2 = 2
1
x
<=> x = ± 1
= > P max = 1
3
1 <=>x = ±
Bài tập 7:
Cho a, b ∈ N* và a + b = 2007 P = a.b Tìm P max ?
Giải:
Ta thấy không tồn tại a, b để:
∈
= +
=
*
,
2007
N b a
b a
b a
Sử dụng nhận xét 3 ta thấy:
P max <=> / a – b/ min
Do a + b = 2007 => a, b không cùng tổng chẵn lẻ
=> / a – b / min <=>
=
=
1003
1004
b a
Trang 7hoặc
=
=
1004
1003
b a
= > Pmax = 1003 1004 <=> (a;b) = (1003; 1004)
Bài tập 8:
Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác không có cùng cạnh huyền Tam giác không không cân có diện tích lớn nhất
Giải:
Thực ra ta có thể sử dụng và chứng minh trực tiếp sang ta có thể vận
dụng bất đẳng thức côsi nh sau:
S ABC b.c
2
1
=
∆
Theo bất đẳng thức côsi
ta có: bc
2
2
2 b
a +
≤
=>
4
.
2
1 a2 b2
b
a ≤ + Do ∆ABC vuông =>
b2 + c2 = a2
=> S ∆ABC ( )
4
1 2 2
c
b +
≤
=> S ∆ABC 2
4
1
a
≤ Dấu “=” sảy ra <=>
b = c => ∆ABC là tam giác vuông cân
(Đpcm)
Bài 9:
Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vị , hình vuông có diện tích lớn nhất
B
C
A c
a
b
Trang 8Chu vi P = 2 (a + b) Không đổi
Diện tích hình chữ nhật S = a.b
P = 2 (a + b) không đổi => a + b không đổi
=> S = a.b lớn nhất <=> a = b
=> Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau
=> Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông
Bài tơng tự:
Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi bé nhất
Bài tập 10
Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH không đổi Chứng minh rằng khi ∆
ABC là vuông cân thì diện tích tam giác ABC là bé nhất
Chứng minh:
Ta có:
2 2 2
2
2
.
2 1
1
1
c b c
b
h = + ≥
=> 2 2 2
.
2
1
c b
h ≥
=>
bc
h
2
1
=> bc ≥ 2 h 2
=> 2
2
1
h
bc ≥
=> S ∆ABC ≥h2 Dấu “=” xảy ra <=> b = c
Tức là ∆ABC vuông cân (Đpcm)
A
H
B
Trang 9Bµi tËp 11:
Cho ∆ABC, M lµ ®iÓm thuéc miÒn trong tam gi¸c , MA, MB, MC c¾t c¸c c¹nh cña tam gi¸c t¹i A1, B1, C1 vµ cã:
6
1 1
1
= +
+
MC
CM MB
BM
MA
AM
Chøng minh G lµ träng t©m cña ∆ABC
Gi¶i:
§Æt S lµ diÖn tÝch ∆ABC
S1, S2, S3 lÇn lît lµ diÖn tÝch
cña ∆ABC, MAC, MAB
ta cã:
=
1
1
MA
AA
=>
1
3 1
2
S S
S
MA
AM = +
T¬ng tù ta cã :
=
1
MB
MB
2 2
S
S S
S
+
=>
3
1 3
2
S S
S
MC
MC = +
1
3 3
1 2
3 3
1 2
1 1
2 1 1
S S
S S
S S
S S
S S
S MC
MC MB
MB
MA
6
1 1
1
≥ +
+
MC
MC MB
MB
MA
MA
DÊu “=” x¶y ra <=> S1 = S2 = S3
3
1
; 3
1
1 1
1
=
=
=
MC
MC MB
BM MA
AM
=> M lµ träng t©m cña ∆ABC
S1 + S2 + S3
S1
S1 + S2 + S3
S2