Tài liệu SKKN Toan7 cuc hay

Lời mở đầu K hi dạy học môm toán 7 , tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Lí do là các em làm bài toán tìm x dạng cơ bản Ax

A Đặt vấn đề

I Lời mở đầu

K hi dạy học môm toán 7 , tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đa số học sinh khi giải còn thiếu lô gíc ,chặt chẽ , thiếu trờng hợp Lí do là các em làm bài toán tìm x dạng cơ bản A(x) = B(x) cha tốt và vận dụng tính chất , định nghĩa giá trị tuyệt đối cha chắc Các em cha phân biệt đợc các dạng toán và áp dụng tơng

tự vào bài toán khác Mặt khác nội dung kiến thức ở lớp 6;7 ở dạng này để

áp dụng còn hạn chế nên không thể đa ra đầy đủ các phơng pháp giải một cách có hệ thống và phong phú đợc Mặc dù chơng trình sách giáo khoa sắp xếp hệ thống và lô gíc hơn sách cũ rất nhiều, có lợi thế về dạy học đặt vấn đề trong dạng toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong

đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ,Tôi đã suy nghĩ , tìm tòi và áp dụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao Nên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “ Hớng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối “ với mục đích giúp cho học sinh tự tin hơn trong làm toán

II Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu

1 Thực trạng

Với học sinh lớp 7 ở trờng THCS Hải Yến đa số các em là con nông dân nên

điều kiện dành cho các em hoc tập là ít ,vì còn phải phụ giúp bố mẹ làm việc

đồng Nên gặp bài toán này các em làm đợc rất ít ,hoặc làm thì thờng mắc những sai lầm sau:

Ví dụ 1 : tìm x , biết

x− 3 = 2

Học sinh cha nắm đợc đẳng thức luôn xảy ra vì (2> 0 ) mà vẫn xét hai trờng hợp x-3 >0 và x -3 < 0 và giải hai trờng hợp tơng ứng Cách làm này cha gọn

Ví dụ 2 : tìm x ,biết

2 x− 3 -5 = 1

Nhiều học sinh cha nhanh chóng đa về dạng cơ bản để giải mà xét hai trờng hợp giống nh ví dụ 1

Ví dụ3 : tìm x biết

x− 1 -x = 2 (1)

Học sinh đã làm nh sau:

Nếu x-1≥0 suy ra x-1 -x =2

Nếu x-1<0 suy ra 1-x-x=2

Với cách giải này các em không xét tới điều kiện của x

Có em đã thực hiện (1) suy ra x− 1=x+ 2 ⇒ x-1= x+2 hoặc x-1= -x-2

Trong trờng hợp này các em mắc sai lầm ở trờng hợp không xét điều kiện của x+2

Nh vậy trong các cách làm trên các em làm cha kết hợp chặt chẽ điều kiện hoặc làm bài còn cha ngắn gọn

2 Kết quả điều tra khảo sát

khi cha hớng dẫn học sinh làm ở lớp 7 trờng THCS Hải Yến với đề bài : Tìm x , biết

a, x− 3= 2 ( 3 điểm)

b, 2 x − 5 -5 = 1 ( 3 điểm)

c, x − 1 - x= 2 ( 2 điểm)

d, x − 2 + x − 1 = 3 ( 2 điểm)

Tôi thấy học sinh còn lúng túng về cách giải ,cha nắm vững phơng pháp giải đối với từng dạng bài , cha kết hợp đợc kết quả với điều kiện xảy ra , cha lựa chọn đợc phơng pháp giải nhanh gọn và hợp lí

Kết quả đạt đợc nh sau :

3% 10% 40% 47%

Kết quả thấp là do học sinh còn vớng mắc những điều tôi đã nói ở trênvà phần lớn các em cha làm đợc câu c,d

B giảI quyết vấn đề

I Các giải pháp thực hiện

1 cung cấp kiến thức có liên quan đến bài toán

Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em cha đợc học giải phơng trình , bất phơng trình, các phép biến đổi tơng đơng , hằng đẳng thức ….nên giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có những phơng pháp xây dựng thì cha thể hớng dẫn đợc học sinh vì thế các em cần nắn vững các kiến thức sau :

a, Yêu cầu học sinh nắm vững cách giải bài toán tìm x cơ bản dạng A(x) = B(x)

dạng này cần nắm vững quy tắc bỏ dấu ngoặc ,chuyển vế

b, Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối

A khi A≥0

A =

-A khi A<0

A = −A

A ≥0

c , Định lí về dấu nhị thức bậc nhất

II Các biện pháp tổ chức thực hiện

Để giải bài toán tìm x mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản nh quy tắc ,tính chất ,định nghĩa về giá trị tuyệt đối hớng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài , phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác Từ phơng pháp giải dạng cơ bản , dựa vào định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phơng pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng bài ,loại bài Biện pháp cụ thể nh sau:

1.Một số dạng cơ bản

1.1 Dạng cơ bản A( )x = B với B≥0

a, Cách tìm phơng pháp giải

Đẳng thức có xảy ra không ? Vì sao ? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số

đối nhau thì bằng nhau )

b Phơng pháp giải

Ta lần lợt xét A(x) = B hoặc A(x) = -B

c.Ví dụ

Ví dụ 1 :( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1)

Tìm x , biết x− 1 , 7 = 2,3

GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :

Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao?

( Đẳng thức có xảy ra vì x− 1 , 7 ≥ 0 và 2,3≥0 ) Cần áp dụng kiến thức nào để giải , để bỏ đợc dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau )

Bài giải

x − 1 , 7 = 2,3 ⇒ x-1,7= 2,3 ; hoặc x-1,7 = -2,3

+ Xét x-1,7= 2,3 ⇒ x= 2,3 + 1,7 ⇒ x= 4

+ Xét x-1,7 = -2,3 ⇒x = -2,3 +1,7⇒x=-0,6

Vậy x=4 hoặc x=-0,6

Từ ví dụ đơn giản ,phát triển đa ra ví dụ khó dần

Ví dụ 2 : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1)

Tìm x biết 0

3

1 4

3

=

− +

x

Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm sao để đa về dạng cơ bản đã học ‘

Từ đó học sinh biến đổi đa về dạng x−43 =31

Bài giải

0

3

1 4

3 − = +

x

⇒ x−43 =31

⇒x -43 =13 hoặc x -43 = -31

+ Xét x -43 =31 ⇒ x = 1213

+ Xét x -43 = -31 ⇒ x =125

Vậy x = 1213 hoặc x =125

Ví dụ 3 Tìm x ,biết

39 − 2x -17 =16

Làm thế nào để đa về dạng cơ bản đã học ?

Từ đó học sinh đã biến đổi đa về dạng cơ bản đã học 9 − 2x = 11

Bài giải

3 9 − 2x -17 =16

⇒39 − 2x = 33

⇒ 9 − 2x = 11

⇒ 9-2x =11 hoặc 9-2x = -11⇒

+ Xét 9-2x =11 ⇒ -2x = 2 ⇒ x= -1

+ Xét 9-2x = -11 ⇒ -2x = - 20 ⇒ x= 10

Vậy x= -1 hoặc x= 10

1.2 Dạng cơ bản A ( x) = B(x) ( trong đó biểu thức B (x) có chá biến x

a, Cách tìm phơng pháp giải

Cũng đặt câu hỏi gợi mở nh trên , học sinh thấy đợc đẳng thức không xảy ra khi B(x) <0 Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không ? Có thể tìm ra mấy cách ?

b, Phơng pháp giải

Cách 1 : ( Dựa vào tính chất )

A ( x) = B(x)

Với điều kiện B(x) ≥0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai trờng hợp với điều kiện B(x) ≥0

Cách 2 : Da vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

A ( x) = B(x)

+Xét A(x) ≥0 ⇒x? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) ≥0 ) + Xét A(x) < 0 ⇒x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0) + Kết luận : x =?

L

u ý : qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau ( đều

chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau ( A ( x) =m ≥0 dạng đặc biệt của dạng hai

Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ đợc phơng pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đa về dạng A =B (Nếu B≥0 đó là dạng

đặc biệt,còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải bằng cách 1 ) hoặc ta đi xét các trờng hợp xảy ra

đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối

c, Ví dụ

Ví dụ 1 tìm x ,biết : 8 − 2x = x- 2

Cách 1 : Với x-2≥0 ⇒ x≥2 ta có 8-2x = x-2 hoặc 8-2x = -( x-2 )

+ Nếu 8-2x = x-2⇒-3x = -10 ⇒x=103 (Thoả mãn)

+ Nếu 8 - 2x = -( x-2)⇒ 8- 2x = -x +2⇒ x= 6 (Thoả mãn)

Vậy x=103 hoặc x= 6

Cách 2 :+ Xét 8-2x ≥0 ⇒ x ≤ 4 ta có 8-2x = x-2 ⇒x=

3

10

(Thoả mãn) + Xét 8-2x <0 ⇒ x> 4 ta có -(8-2x) = x-2 ⇒ x= 6(Thoả mãn)

Vậy x=103 hoặc x= 6

Ví dụ 2 tìm x ,biết x− 3 -x = 5

Cách 1 : x− 3 -x = 5

⇒ x− 3 = x+5

Với x+5 ≥ 0 ⇒x≥-5 ta có x-3 = x+5 hoặc x-3 =-( x+5)

+ Nếu x-3 = x+5 ⇒ 0x = 8 ( loại )

+ Nếu x-3 =-( x+5) ⇒ x-3 = -x-5 ⇒2x= -2 ⇒x=-1 ( Thoả mãn)

Vậy x= -1

Cách 2 : x− 3 -x = 5

+ Xét x-3 ≥0 ⇒ x≥3 ta có x-3 -x= 5 ⇒0x= 8 ( loại )

+ Xét x-3<0⇒ x< 3 ta có -(x-3) -x = 5 ⇒-x+3 -x=5⇒ 2x= -2 ⇒x=-1 ( Thoả mãn)

Vậy x= -1

1.3 Dạng A( )x + B( )x =0

a, Cách tìm phơng pháp giải

Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số ( giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ) Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào ? ( cả hai số đều bằng không ) Vậy ở bài này tổng trên bằng không khi nào ? ( A(x) =0 và B(x)=0 ) >Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0

b, Phơng pháp giải

tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0

c, Ví dụ

Tìm x , biết

1, x+ 2 + x2 + 2x =0

2, x2 +x

+(x+ 1)(x− 2) =0

Bài giải

1, x+ 2 + x2 + 2x =0

⇒ x+ 2 =0 và x2 + 2x =0

+ Xét x+ 2 =0 ⇒ x+2=0 ⇒ x=-2 (1)

+ Xét x2 + 2x =0 ⇒ x2 +2x=0 ⇒ x(x+2) =0 ⇒ x=0 hoặc x+2 =0⇒ x=-2 (2)

Kết hợp (1)và (2) ⇒ x=-2

2, x2 +x +(x+ 1)(x− 2) =0

⇒ x2 +x =0 và (x+ 1 )(x− 2 )=0

+ Xét x2 +x =0 ⇒x2 + x=0 ⇒x(x+1) =0 ⇒ x=0 hoặc x+1 =0 ⇒ x=-1 (1) + Xét (x+ 1 )(x− 2 ) =0 ⇒( x+1)(x-2) =0 ⇒ x+1=0 hoặc x-2 =0

⇒ x=-1 hoặc x=2 (2) Kết hơp (1) và (2) ta đợc x= -1

L

u ý : ở dạng này tôi lu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm đợc thì

giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức A( )x =0 và B( )x =0

2 Dạng mở rộng

( )x

A = B( )x hay A( )x - B( )x =0

a, cách tìm phơng pháp giải

Trớc hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm) , từ đó các em tìm tòi hớng giải

Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ đợc đấu giá trị tuyệt đối

và cần tìm ra phơng pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải : Xét các trờng hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa )và cách giải dựa vào tính chất 2

số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x) ; A(x) =-B(x) ( vì ở đây cả hai vế đều không âm do A( )x ≥0 và B( )x ≥0) Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh ,gọn ,hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ đợc

b, Phơng pháp giải

Cách 1 : Xét các trờng hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá tị tuyệt đối

Cách 2 : dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm

x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x)

C, Ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm x ,biết x+ 4 = 2x− 1

⇒x+4 = 2x-1 hoặc x+4 =-(2x-1)

+ Xét x+4 = 2x-1⇒ x=5

+ Xét x+4 =-(2x-1) ⇒ x+4 = -2x +1 ⇒x=-1

Vậy x=5 hoặc x=-1

Ví dụ 2: Tìm x , biết x− 2 + x+ 4 = 8

B

ớc 1 : Lập bảng xét dấu :

Trớc hết cần xác định nghiệm của nhị thức :

x-2=0⇒ x=2 và x+4 =0 ⇒x=-4

Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn

Ta có bảng sau:

X -4 2

x-2

- 0

B

ớc 2 : Dựa vào bảng xét dấu các trờng hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của

biến Khi xét các trờng hợp xảy ra không đợc bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4≤ x<2)

Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trờng hợp sau :

+ Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0

nên x− 2 = 2-x và x+ 4 = -x-4

Đẳng thức trở thành 2-x -x-4 = 8

⇒-2x = 10

⇒ x=-5 ( thoả mãn x< -4)

+ Nếu -4≤ x<2 ta có x − 2 = 2-x và x+ 4 = x+4

Đẳng thức trở thành 2-x +x+ 4 = 8

0x= 2 (vôlí )

+ Nếu x≥2 ta có x − 2 =x-2 và x+ 4 = x+4

Đẳng thức trở thành x-2 + x+4 =8

2x= 6

x=3 (thoả mãn x≥2 )

Vậy x=-5 ; x=3

L u ý : Qua hai cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy đợc lợi thế

trong mỗi cách giải ở cách giải hai thao tác giải sẽ nhanh hơn ,dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn , nhất là các dạng chứa 3 ; 4 dấu giá trị tuyệt đối ( để nên ý thức lựa chọn cách giải)

Ví dụ 3 : Tìm x ,biết

x− 1 − 3x− 3 + 5x− 6 = 8 (1)

Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trờng hợp xảy ra ,dài và mất nhiều thời gian Còn giải bằng cách hai (lập bảng xét dấu )

x 1 3 6

- 0

- - 0 +

- 0 + + Nếu x<1 thì (1) ⇒ 1-x +3x-9 +30 -5x =8 ⇒ x=14/3 (loại)

+ Nếu 1≤x<3 thì (1) ⇒ x-1 +3x-9 +30 -5x =8 ⇒x=6 (loại)

+ Nếu 3≤x<6 thì (1) ⇒x-1 -3x+9 +30 -5x =8 ⇒x=30/7 (thoả mãn ) + Nếu x≥6 thì (1) ⇒ x-1 -3x +9 +5x -30 =8⇒x=10 (thoả mãn )

Vậy x= 30/7 ; x=10

Tuy nhiên với cách hai sẽ dể mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng ,nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lu ý và tuân theo đúng quy tắc lập bảng Một điều cần lu ý cho học sinh đó là kết hợp tr-ờng hợp ≥trong khi xét các trờng hợp xảy ra để thoả mãn biểu thức ≥0(tôI đa

ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh )

Ví dụ 4 : Tìm x biết x− 4 +x− 9 = 5

Lập bảng xét dấu

x 4 9

x-4 0 + +

0 + Xét các trờng hợp xảy ra , trong đó với x ≥9 thì đẳng thức trở thành

x-4 + x-9 =5

x=9 thoả mãn x≥9 , nh vậy nếu không kết hợp với x=9 để x-9=0 mà chỉ xét tớí x>9 để x-9>0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x=9

Từ những dạng cơ bản đó đa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu ,dạng chứa từ ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên

+ Xét 4 ≤x<9 ta có x-4 +9-x =5 ⇒0x=0 thoả mãn với mọi x sao cho 4

≤x<9

+ Xét x<4 ta có 4-x+9-x =5 ⇒x=4 (loại)

Vậy 4≤x≤9

3.phơng pháp giải và cách tìm phơng pháp giải

Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh :

ph

ơng pháp giải : tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ph ơng pháp 1 : Nếu A =B ( B≥0) thì suy ra A=B hoặc A=-B không cần xét tới điều kiện của biến x

ơng pháp 2 :Sử dụng tính chất A = −A và A ≥0 để giải dạng A = −A

Và A( )x = B( )x , A( )x =B(x)

Ph ơng pháp 3 : Xét khoảng giá trị của biến ( dựa vào định nghĩa ) để bỏ

dấu giá trị tuyệt đối , thờng để giải với dạng A( )x =B(x) hay A( )x = B( )x

+C

Cách tìm tòi ph ơng pháp giải :

Cốt lõi của việc giải bài toán tìm x trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt

đối đó là cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối

+ Trớc hết dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không ? ( có đa về dạng đặc biệt

đ-ợc không) Nếu là dạng đặc biệt A =B ( B≥0) hay A = B thì áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối (giải bằng phơng pháp 1 đã nêu ) không cần xét tới điều kiện của biến

+ Khi đã xác định đợc dạng cụ thể nghĩ cách nào làm nhanh hơn gọn hơn thì lựa chọn

C Kết luận

Khi áp dụng đề tài nghiên cứa này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi

dạy tôi thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn.Học sinh không còn lúng trong khi gặp dạng toán này Cụ thể khi làm phiếu kiểm tra lớp 7 trờng THCS Hải Yến với đề bài nh sau

Tìm x, biết :

a, 3x− 2 = 5

b, 25x+ 4 +7 = 26

c, 8 - 4x+ 1 = x+3

Kết quả nhận đợc nh sau :

- học sinh không còn lúng túng về phơng pháp giải cho từng loại bài

- Biết lựa chọn cách giải nhanh , gọn ,hợp lí

- Hầu hết đã trình bày lời giải chặt chẽ