35 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN đến KHẢO sát hàm số

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ h

Trang 1

https://www.facebook.com/tailieupro/

https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/ https://www.facebook.com/tailieupro/

Dạng 1: Cho hàm số y f x m( , ) cú tập xỏc định D Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trờn D

Cỏch giải

 Hàm số đồng biến trờn D y' 0,  x D

 Hàm số nghịch biến trờn D  y' 0,  x D

Chỳ ý:

Nếu y'ax2bx thỡ: c ' 0, 0

0

a

 



0

a

 





Dạng 2: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đơn điệu trờn một khoảng ( ; )a b

Cỏch giải

 Hàm số đồng biến trờn ( ; )a b  y' 0,  x ( ; )a b

 Hàm số nghịch biến trờn ( ; )a b  y' 0,  x ( ; )a b

 Sử dụng kiến thức:

( ; )

a b

( ; )

a b

Dạng 3: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) ax3bx2cx d đơn điệu trờn một khoảng

cú độ dài bằng k cho trước

Cỏch giải

 Ta cú: y' 3ax2 2bx c

 Hàm số đồng biến trờn khoảng ( ;x x1 2)  PT: y  cú hai nghiệm phõn biệt ' 0 x1 và x2 0

0

a 



 

 

 (1)

 Biến đổi x1x2 k thành (x1x2)2 4x x1 2 k2 (2)

 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trỡnh (2) thành phương trỡnh theo m

 Giải phương trỡnh, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) cú cực trị

Cỏch giải

 Đối với hàm số: yax3bx2cx d Khi đú, ta cú: y'  3ax2 2bx c

Hàm số cú cực trị  Hàm số cú CĐ và CT  PT: y' 3ax2 2bx  cú hai nghiệm phõn biệt c 0

 Đối với hàm số:

2

ax bx c y

mx n



 Khi đú, ta cú:

2 '

y

Hàm số cú cực trị  Hàm số cú CĐ và CT

 PT: g x( ) amx2 2anx (bn cm )  0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc n

m



Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Trang 2

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) đạt cực trị tại điểm x0

Cách giải

 Hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì: y x'( 0)  0 GPT này ta tìm được giá trị của m

 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?

 Nếu y B3 hoặc y B4 thì vận dụng kiến thức: y x''( 0)   0 x0 là điểm CĐ

''

y x  x là điểm CT

 Nếu B2

B1

y  thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f x m( , ) có cực trị tại hai điểm x1, x2 và các điểm cực

trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)

 Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa x1 và x2

 Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y f x( )

Cách giải

 Đối với hàm số yax3bx2cxd:

 Thực hiện phép chia đa thức y cho y và viết hàm số dưới dạng: ' yu x y( ). 'MxN

 Gọi A x y( ;1 1) và B x( 2;y2) là hai điểm cực trị Khi đó: y1Mx1N và y2 Mx2N

 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: yMxN

 Đối với hàm số

2

y

mx n



 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số ( )

( )

u x y

v x

' 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x

v x









thì

' 0

0

( ) ( )

( )

u x

y x

v x



 Áp dụng bổ đề:

Gọi A x y( ;1 1) và B x( 2;y2) là hai điểm cực trị Khi đó: y1 2ax1 b

m



 và y2 2ax2 b

m





 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y 2a x b

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối

với trục tung

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

Trang 3

 A và B nằm về hai phía đối với trục Oyx x1 2  (sử dụng hệ thức (2)) 0

với trục hoành

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x1 và x2 (1)

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 (2)

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2

 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy y y1 2 (sử dụng hệ thức (2)) 0

với đường thẳng d Ax: By C  0 cho trước

Cách giải

 Tính các giá trị y1 và y2 (tính giống như ở Dạng 7)  Tọa độ các điểm cực trị: A x y( ;1 1) ,B x( 2;y2)

 A và B nằm về hai phía đối với d (Ax1By1C Ax)( 2By2C)   0 kết quả

Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ và CT đối xứng với

nhau qua đường thẳng d Ax: By C  0

Cách giải

 A và B đối xứng với nhau qua d AB d





 





 giá trị m

Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) có các điểm CĐ và CT cách đều đường

thẳng d Ax: By C  0

Cách giải

 A và B cách đều đường thẳng AB d



 





 giá trị m

trong đó I là trung điểm của AB

Trang 4

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) cĩ các điểm cực trị A và B thỏa mãn

một hệ thức nào đĩ (VD: ABk AB, ngắn nhất, OA 2OB…)

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số cĩ các điểm cực trị x và 1 x (1) 2

 Vận dụng định lý Viet ta cĩ hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2) 2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị: A x y ,( ;1 1) B x( 2;y2)

 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m

Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d Ax: By C  0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai

điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x( ) là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm các điểm cực trị A x y( ;1 1) và B x( 2;y2) của ĐTHS y f x( )

 Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C)   A và B nằm về hai phía đối với d 0

Khi đĩ: MA MB AB Do đĩ: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của AB với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C)  0  A và B nằm về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Khi đĩ: MA MB MA'MBA B' Do đĩ: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của A’B với đường thẳng d

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y f x m( , ) cĩ các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d Ax: By C  0 một gĩc bằng α

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số cĩ các điểm cực trị (1)

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị

1











.

tạo với góc tan

d

d d

d k k

k k d

k k

giá trị của m

A*

*B

d

*M

*M 0

A, B nằm về hai phía

B

M

A

A’

d

H

A, B nằm về cùng một phía

Trang 5

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yax4bx2 có các điểm CĐ, CT tạo thành một c

tam giác vuông cân

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS

 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

 Khi đó: ABC vuông cân OA OB   0

 

giá trị của m

Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT  ĐTHS có ba điểm

cực trị

Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS

2

y

mx n



 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng k

Cách giải

 Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS

 Tìm tọa độ giao điểm A x( A;0) và B(0;y B) của TCX với các trục tọa độ

OB y S  OA OB x y

 Từ đó, suy ra kết quả của m

Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C): y ax b

cx d





 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận

 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng: y p q

cx d

 (với p q  , )

 Gọi M m p; q ( )C



  Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm  kết quả

Chú ý: - Khoảng cách từ điểm M x( 0;y0) đến đường thẳng  :AxBy C  0 là: ( ; ) 0 0

M

d







- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B: AB 2 AB Dấu “=” xảy ra  AB

- Đối với hàm số dạng

2

y

mx n



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( ) tại điểm M x( 0;y0)

Cách giải

 Xác định x0 và y0

B

y

O

Trang 6

 Tính y Từ đĩ suy ra: ' y x'( 0)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y y x'( 0)(xx0) y0

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp tuyến đĩ cĩ hệ số gĩc bằng k

Cách giải

 Xác định k

 Tính f x và giải phương trình '( ) f x'( ) k để tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Từ đĩ suy ra: y0  f x( 0)

 PT tiếp tuyến cần tìm: yk x( x0) y0

Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C y f x( ) biết tiếp tuyến đĩ đi qua điểm (A x A;y A)

Cách giải

 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm A x( A;y A) và cĩ hệ số gĩc k  PT  :yk x( x A) y A (*)

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( ) (1)

( ) (2)









cĩ nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )  f x x'( )( x A) y A (3)

 Giải phương trình (3) ta được xk (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))

Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M cĩ thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C y f x( )

Cách giải

 Giả sử: M x( 0;y0) Phương trình đường thẳng  qua M và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng: yk x( x0) y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( 0) 0 (1)

( ) (2)









cĩ nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )  f x x'( )( x0) y0 (3)

 Khi đĩ, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) cĩ n nghiệm phân biệt  kết quả

Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M cĩ thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị ( ) :C y f x( ) và hai tiếp

tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau

Cách giải

 Giả sử: M x( 0;y0) Phương trình đường thẳng  qua M và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng: yk x( x0) y0

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( 0) 0 (1)

( ) (2)









cĩ nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )  f x x'( )( x0) y0 (3)

 Khi đĩ, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

 Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau  f x'( ) (1 f x' 2)    1 kết quả

Chú ý: Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục hồnh

  

(3) có 2 nghiệm phân biệt ( ) ( ) 0

Trang 7

Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị (C1) :y f x m( , ) cắt đồ thị (C2) :yg x( ) tại n điểm phân biệt

Cách giải

 (C1) cắt (C2) tại n điểm phân biệt  PT: f x m( , ) g x( ) có n nghiệm phân biệt

 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa

vào đồ thị …  kết quả

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F x m ( , ) 0

Cách giải

 Biến đổi phương trình F x m ( , ) 0 về dạng: f x( ) g m( ) , trong đó đồ thị y f x( ) đã vẽ đồ thị

 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) :C y f x( ) với đường thẳng

d yg m

 Dựa vào số giao điểm của d với (C)  kết quả

Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng d y:  pxq cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt

M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

Cách giải

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt  PT: ax b px q

cx d



 có hai nghiệm phân biệt

 PT: Ax2Bx C  0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác d

c



 điều kiện của m (*)

 Khi đó, d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M x y( ;1 1) và N x( 2;y2) Theo định lý Viet ta có mối liên hệ

giữa x và 1 x (2 x và 1 x là hai nghiệm của pt (1)) 2

 Tính: MN2  (x2x1)2 (y2y1)2 kết quả của m để MN là nhỏ nhất

Chú ý: - Khi tính y1 và y2 ta thay x1 và x2 vào phương trình của đường thẳng d

- OMN vuông OM ON    0 x x1 2y y1 2 0

- Đối với đồ thị của hàm số

2 ( ) :C y ax bx c



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng d y:  pxq cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

Cách giải

 Xác định tiệm cận đứng của (C)

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

 PT: ax b px q

cx d



 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

 PT: Ax2Bx C  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 d

c

 và nằm về cùng một phía với TCĐ

Trang 8

Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2cxd cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Cách giải

 Điều kiện cần:

 Hoành độ các giao điểm x x x1, 2, 3 là nghiệm của PT: ax3bx2cxd  (1) 0

 Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 x3 b

a

    (2)

 Do x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số cộng, nên: x1x3 2x2 Thay vào (2) ta được: 2

3

b x

a

 

 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C yax3bx2cxd cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ lập thành một cấp số nhân

Cách giải

 Điều kiện cần:

 Hoành độ các giao điểm x x x1, 2, 3 là nghiệm của PT: ax3bx2cxd  (1) 0

 Theo định lý Viet, ta có: x x x1 2 3 d

a

  (2)

 Do x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số nhân, nên: x x1 3x22 Thay vào (2) ta được: 3

2

d x

a

 

 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 30: Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ) , với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên

đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x( 0;y0) là điểm cố định của họ (C m) Khi đó ta có: y0  f x m( 0, ), mAmB 0,  m

0

0 0

A

x B









và y o  điểm cố định A

 Kết luận các điểm cố định mà họ (C m) luôn đi qua

Dạng 31: Cho họ đường cong (C m) :y f x m( , ) , với m là tham số Tìm các điểm mà họ đường cong trên

không đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x y( 0; 0) là điểm mà họ (C m) không đi qua m

 Khi đó phương trình ẩn m: y  f x m( , ) vô nghiệm  điều kiện của x và y

Trang 9

Dạng 32: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x

Cách giải

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )

( )

f x







 Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

Dạng 33: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )

Cách giải

( )

f x







 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox

Dạng 34: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y  f x( )

Cách giải

 Ta có:





  



( ) 0

( )

f x

 Do đó, đồ thị của hàm số y  f x là hợp của hai phần: ( )

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

Dạng 35: Cho đồ thị ( ) :C y f x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )  u x v x( ) ( )

Cách giải

Ta có:  





( ) ( ) ( ) ( )

u x v x y

u x v x

 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( )  u x v x là hợp của hai phần: ( ) ( )

 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền u x( ) 0 

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền u x( ) 0  qua trục Ox

nếu x 0 nếu x 0

nếu f x ( ) 0 nếu f x ( ) 0

nếu u x( ) 0  nếu u x ( ) 0

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	279,88 KB