www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
I Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a0) Tìm m để hàm số thỏa mãn một số tính chất sau:
Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì
'
0 ' 0,
0
y
a
Dạng 2: Để hàm số nghịch biến trên R thì
'
0 ' 0,
0
y
a
Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x 1 ; x 2 )bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:
- TXĐ: D = R
- Tính y’
- Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): 0
0
a
(1)
- Biến đổi x1 x2 dthành (x1x2)2 4x x1 2 d2 (2)
- Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m
- Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm
Dạng 4: Để hàm số có cực trị (Cực đại, cực tiểu) y' 0 có 2 nghiệm phân biệt
'
0 0
y
a
Dạng 5: Để hàm số không có cực trị (Cực đại, cực tiểu) y' 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
'
0 0
y
a
Lưu Ý: Hàm số luôn có cực trị phương trình y’ = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt m
y' 0,m
Dạng 6: Để hàm số đạt cực đại tại x = A '( ) 0
"( ) 0
f A
f A
Dạng 7: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = B '( ) 0
"( ) 0
f B
f B
Dạng 8: Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x = x0
0 0
'( ) 0 ( )
f x
Dạng 9: Để hàm số đi qua điểm cực trị M(x y )0; 0 0
'( ) 0 ( )
f x
Dạng 10: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):
Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểm cực trị là M (x ;y )&M (x ;y ) 1 1 1 2 2 2
1/ Nếu (d) là trục Oy thì ycbt x10 x 2
2/ Nếu (d) là đường thẳng x = k thì ycbt x1k x 2
3/ Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì ycbt (ax by c)(ax1 1 2by2c) 0
4/ Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3
Dạng 11: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):
Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểm cực trị là M (x ;y )&M (x ;y ) 1 1 1 2 2 2
1/ Nếu (d) là trục Oy thì 1 2
1 2
ycbt
Trang 22/ Nếu (d) là đường thẳng x = k thì 1 2
1 2
ycbt
3/ Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì ycbt (ax by c)(ax1 1 2by2c) 0
4/ Nếu đường trịn (C) thì tương tự trường hợp 3
Dạng 12: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
- TXĐ:D
- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 (*)
- Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu Pt(*) cĩ hai nghiệm phân biệt 0
0
a
(**)
- Khi đĩ, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:
'( ) 0
Ax '( ) ( ) Ax
f x
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình y = Ax + B
- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số cĩ dạng y =
Ax + B.
Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
'
b D
a
- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 g x( ) Ax 2Bx C 0 (*)
- Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu Pt(*) cĩ hai nghiệm phân biệt khác '
'
b a
0 0 ' ( ) 0 '
A
b g a
(**)
- Khi đĩ, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:
' 2
2 2
2
( ' ')
ax bx c
f x
ax bx c
a x b
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình 2
'
ax b y
a
- Vậy đối chiếu điều kiện (**) phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số cĩ dạng 2
'
ax b
y
a
Dạng 14: Để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = mx + n, (m0)
Phương pháp:
- Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu (1)
- Lập phương trình đường thẳng ( ) đi qua 2 điểm cực trị
- Gọi I(x ;y ) là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị.I I
-Đk (1) ycbt (d) ( ) kết quả
I (d)
Trang 31 Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị:
'
0 0
y
a
2 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành:
0 0
y
CĐ CT
a
y y
3 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1phía đối với trục hoành:
'
0 0
y
CĐ CT
a
y y
4 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía trên trục hoành:
'
0 0
0
y
CĐ CT
a
y y
5 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành: '
0 0
0
y
CĐ CT
a
y y
6 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung: '
0 0
y
CĐ CT
a
x x
7 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung: '
0 0
y
CĐ CT
a
8 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên phải trục tung: '
0 0
0
y
CĐ CT
a
x x
9 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên trái trục tung: '
0 0
0
y
CĐ CT
a
10 Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành: yCĐ yCT 0
II Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) PTTT tại M x y( ; ) ( )0 0 C có dạng: yf x'( )(0 x x 0)y0
Trang 4Lưu Ý: Để viết được PTTT cần phải tìm được 3 yếu tố sau:
0
0
x : Hoành độ tiếp điểm
y f(x ) :Tung độ tiếp điểm
f '(x ) :Hệ số góc của tiếp tuyến
Đặc biệt: Cho (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’ ta cĩ:
* Các dạng tiếp tuyến thường gặp:
1/ PTTT của (C) tại điểm cĩ hồnh độ x0:
0
y f(x )
PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
2/ PTTT của (C) tại điểm cĩ hồnh độ y0:
0
x bằng cách Gpt :f(x ) y
PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
3/ PTTT của (C) khi cho biết hệ số gĩc k:
x bằng cách Gpt :f '(x ) k
PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
4/ PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b:
x bằng cách Gpt :f '(x ) a
PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
5/ PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng y = ax + b:
x bằng cách Gpt : a.f '(x ) 1
PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
6/ PTTT của (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x) = 0:
- Ta đi tìm:
0
x bằng cách Gpt : f ''(x ) 0
y f(x ) PTTT cần tìm là : y f '(x )(x x ) y
f '(x )
III Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a; b].
- Tìm y’ = f’(x); Gpt f’(x) = 0 trên [a; b] ta tìm được các điểm cực trị: x ;x ;x ; [a;b]1 2 3
- Tính và so sánh: f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x ); 1 2 3
[a;b]
[a;b]
Max y Max f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x );
min y min f(a); f(b); f(x ); f(x ); f(x );
IV Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị (C) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: f(x) + g(m) = 0 (*)
- Biến đổi pt(*) thành hệ: y f(x) (C)
y g(m) (d)
- Số nghiêm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (d) và đồ thị hàm số (C) Dựa vào đồ thị (C), ta cĩ: ……
Lưu Ý: Đường thẳng y = g(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
Trang 5Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) là:
f(x) g(x) f(x) g(x) 0 (*) Suy ra: Số giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2) chính là số nghiệm của phương trình (*)
V Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
* Dạng 1: CMR điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C)
Phương pháp:
- Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ OI (x ;y ) 0 0
- Thực hiện phép đổi trục: 0
0
x X x
y Y y
, thế x và y vào công thức y = f(x) ta được Y = F(X)
- Chứng minh hàm số Y = F(X) là hàm số lẻ Suy ra I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C)
* Dạng 2: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C)
Phương pháp:
- Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ OI (x ;0) 0
- Thực hiện phép đổi trục: x X x0
y Y
, thế x và y vào công thức y = f(x) ta được Y = F(X)
- Chứng minh hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn Suy ra x = x0 là trục đối xứng của (C)
VI Sự tiếp xúc của các đồ thị:
* Dạng 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong có phương trình: (C) y = f(x) và (C’) y = g(x).
Phương pháp: (C) tiếp xúc (C’) f(x) g(x)
f '(x) g'(x)
có nghiệm, nghiệm của hệ phương trình trên là hoành
độ tiếp điểm của hai đường cong đó
* Dạng 2: Tìm A, để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị y = f(x) (C).
Phương pháp:
- Giả sử A(x0; y0)
- Phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0
- Đường thẳng (d) tiếp xúc (C) f(x) k(x x ) y0 0 (1)
- Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)
Số nghiệm của phương trình (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới (C)
Vậy để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) (3) có n nghiệm phân biệt điểm A(nếu có).
* Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) (C) đi qua điểm A(x 0 ; y 0 )
Phương pháp:
- Gọi phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x-x0) + y0
- Để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) f(x) k(x x ) y0 0 (1)
- Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)
- Giải (3) tìm được 0 0 0
0
y f(x ) x
k f '(x )
, ta tìm được tiếp tuyến
VII Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) tất cả các điểm cách đều 2 trục tọa độ:
Phương pháp:
- Tập hợp những điểm cách đều 2 trục tọa độ trong mp(Oxy) là đương thẳng y = x và y = -x, khi đó: Tọa độ của điểm thuộc (C): y = f(x) đồng thời cách đều 2 trục tọa độ là nghiệm của hệ:
Trang 6y f(x)
y x
y f(x)
Kết quả
VIII Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua:
- Cho hàm số y = f(m, x) với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đương cong trên đi qua với mọi giá trị của m
Phương pháp: Biến đổi y = f(m, x) thành hàm bậc nhất, bậc 2, bậc 3,……theo m Thông thường ta biến đổi
được như sau:
y f(m,x)
Am Bm C 0, m (2)
- Đồ thị hàm số (1) luôn đi qua điểm M(x; y) khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:
A 0
B 0
(*) (Đối với (1)) hoặc
A 0
B 0
C 0
(**) (Đối với (2))
- Giải (*) hoặc (**) để tìm x rồi suy ra y tương ứng Từ đó ta kết luận các điểm cố định
* Nhắc lại kiến thức Vi-ét:
1 2
1 2
b
a c
P x x
a
* Một số biểu thức đối xứng thường gặp:
1 x x2 S2 2P
2
2
P
P S x
x x
1
2 2
2 1
1 1
;
2 2
1
2
2
2
2
2
P
P S
x
x
x
2
3
x ; 6 4 2 2 2
2
4
1 x (S 2P) 2P
x ; 7.
P S d
x
x
2
8 d x 12 x22 d2 (x1 x2) (2 x1x2)2 (S2 4 )P S2
Bài tập:
1 Định m để hàm số:
a. yx3 3x2 mxm nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
y x m x mx nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
3
y x m x m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4
2. Cho hàm số y x 3 3m 1x2 3m 1x 1 Định m để:
a Hàm số luôn đồng biến trên R.
b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2;
3. Xác định m để hàm số 3 2 2 1
x mx
y x
a Đồng biến trên R.
b Đồng biến trên 1;
4. Cho hàm số y x 3 3 2 m 1x2 12m 5x 2
Trang 7a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2;
b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1.
5 Cho hàm số 3 3 2 3 1
a) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu
b) Gọi M(x1;y1),N(x2;y2)là hai điểm cực trị CMR: y1 y2 2(x1 x2)(x1x2 1) c) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
d) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về 1 phía đối với trục hoành
e) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên đối với trục hoành
f) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới đối với trục hoành
g) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
h) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung
i) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm bên phải đối với tung
k) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị nằm bên trái đối với tung
l) Xác định m để (Cm) có cực trị tiếp xúc với trục hoành.
m) Xác định m để (Cm) có cực trị nằm về một phía đối với đường thẳng d: y = x +1 n)Xác định m để (Cm) có cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng d’: y = -x +1 o)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (Cm)
6 Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua (d): y = 1 5
2x 2.
7 Xác định m để y = x4 – 2mx2 + m có cực đại, cực tiểu thoả mãn:
a) Lập thành tam giác đều b) Lập thành tam giác vuông c) Lập thành tam giác có S = 4
8 Cho hàm số 1 3 (2 1) 2 (1 4 ) 1
3
y x m x m x (Cm) a) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu
b) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị x1; x2 sao cho x1 x2 4 c) Xác định m để (Cm) có hai điểm cực trị x1; x2 thỏa mãn: x12x22 2
3
y x mx m x Định m để:
a Hàm số luôn có cực trị
b Có cực trị trong khoảng 0;
c Có hai cực trị trong khoảng 0;
10 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
11 Cho hàm số yx3 3m 1x2 3mx 2C m Chứng minh rằng C m luôn đi qua hai điểm cố định khi
m thay đổi.
12 Cho hàm số : 2 2 6 4
2
m
mx
Chứng minh rằng đồ thị C m luôn đi qua một điểm cố định
khi m thay đổi.
13 Cho hàm số C m:y 1 2 m x 4 3mx2 m 1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên
14 Chứng minh rằng đồ thị của hàm số ym 3x3 3m 3x2 6m 1x m 1C m luôn đi qua ba điểm cố định
15.Cho hàm số y x 4 2x2
Trang 81 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a Tại điểm có hoành độ x 2.
b Tại điểm có tung độ y = 3.
c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y 2013 0
d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d x2: 24y 2013 0
e Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 5)
16 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
a) Khảo sát và vẽ (C) đồ thị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x2 + 2 - m = 0
c) Chứng minh đồ thị (C) có một tâm đối xứng.
17 Cho hàm số: y=2x3- 3x2- , đồ thị (C).1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng d: y= -x 1
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo msố nghiệm của phương trình: 2x3- 3x2- m= 0
4/ Biện luận theo a số giao điểm của ( C) và đường thẳng d1 có phương trình: y=ax- 1
18 Cho hàm số: 2
3
x y x
, đồ thị (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại 1; 3
2
A
3/ TìmM ( )C sao cho khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận đứng bằng nhau
4/ Chứng minh tích các khoảng cách từ M ( )C đến 2 đường tiệm cận không đổi
5/ Tìm M ( )C sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
19.Cho hàm số y x 4mx2 m1 (C m )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến tại A và
B vuông góc với nhau.
mx
x m
a) Tìm m để (Cm) đi qua điểm K(1; 0)
b) Khảo sát và vẽ (C) với m vừa tìm được.
c) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số 1
2 1
x y x
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N(0; 1).
e) Biện luận sự tương giao giữa đồ thị (C) với đương thẳng (d): y = x + k.
f) Chứng minh rằng (d’): y = - x + k luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm k để độ dài AB nhỏ nhất g) Chứng minh rằngm, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
h) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị (Cm) đi qua H ( 1; 2)
i) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C2)
j) Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm có tung độ bằng 7
4.
k) Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M( )C2 đến 2 đường tiệm cận không đổi
l) Tìm điểm N( )C2 sao cho khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận bằng nhau
m) Tìm điểm P( )C2 sao cho tổng khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất