3. Cho hàm số . (ĐH KhốiD 2007) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng ĐS: và . 4. Cho hàm số . (ĐH KhốiB 2006) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên. ĐS: b. .
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 C có hệ số góc kf x' 0
Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C 0, khi đó:
a
'
A A
Tổng quát: Cho hai đường cong C y: f x và C' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
2
m g
1
B C
B C
P x x
Trang 22 Cho hàm số y x2 1
x
tuyến vuông góc
Lời giải:
2
1
x
x
d tiếp xúc với (C):
1
k
1
k
1 2
1
k k
k k
0
2
0
2
0
2
0
4
1 0
x
y
x
0
0 4
x
đường tròn với hai đường tiệm cận
1
x y x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác
OAB bằng 1
4
2
M
2
y x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
m
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
ĐS: m=4.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
BBT :
1
2
Trang 3b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
'
y
21 4
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
0
0
f x
0
0
f x
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
'
0 0
y
a
CĐ CT
CĐ CT
CĐ CT
CĐ CT
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
dx e
'
2
y
x
Trang 4b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: m 4 2 6
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa
độ
2
m
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
a
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5
-20 -15 -10 -5
5 10
x y
b ĐS :
3
m m
1
y
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
hai điểm đó bằng 20
a
f(x)=x+1+1/(x+1)
f(x)=x+1
x(t)=-1 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x y
20
MN
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN
4
Trang 5 f(x) đồng biến trên D f' x 0,xD.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: f x ax2 bx c
2
b x a
2
b x a
dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
0
0
S
* 1 2
0
0
S
* x1 0 x2 P0
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại
ba điểm phân biệt
4
2 Cho hàm số
y
x
a Khảo sát hàm số (1)
b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
2
1
y
x
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
Trang 64 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4
2
y x
ĐS: m>1.
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
k
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
d M
x
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
F x y
G x y
Dạng 7: ĐỒ THỊ CH ỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C’) yf x có đồ thị (C “)
giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.
yf x có f xf x ,
x D
đó có đồ thị đối xứng qua trục tung
Oy.
6
Trang 7(C) f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
(C') f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
(C'')
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
2
:
x
a Khảo sát hàm số
b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt
2
k x
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2
2 4 6
x
y
2
2 2
x x y x
f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8 -6 -4 -2
2 4
x
y
2
2 2
x x y x
:
1
x
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
1
m x
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x
y
2 3 3 1
y x
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x
y
2 3 3 1
y x
2
4 :
1
x x
C y
x
Trang 8a Khảo sát hàm số.
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x y
2
4 1
x x y x
f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10 -8 -6 -4 -2
2 4
x y
2 4 1
x x y x
:
2
x
f(x)=2x^3-9x^2+12x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8 -6 -4 -2
2 4 6
x
y
3 2
2 9 12
yx x x
f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8 -6 -4 -2
2 4 6
x
y
3 2
2 9 12
y x x x
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
thuộc (C) thỏa:
0
0
' 2
0
' 2
Vậy I x y là tâm đối xứng của (C) 0; 0 f x 2y0 f 2x0 x
a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
3
x
tung
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
8
Trang 9a D = R.
y' = 3x2 6x = 3x(x 2), y' = 0 x = 0, x = 2.
y" = 6x 6, y" = 0 x = 1.
2 d : y 2 = k(x 1) y = kx k + 2.
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
C M
MH
0
x x d x
f
x
x
f x x
x
x
f
x
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
n
mx
b
ax
y
+TXĐ: D= R\
m n
m
n x d y
m
n
x
: lim
m
a y d m
a y
x
: lim
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
m a
y
m n
x
I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
n mx
A x
n mx
c bx ax y
2
+TXĐ: D= R\
m n
m
n x d y
m
n x
: lim
A
f(x)=x^2/(2(x-1)) f(x)=x/2+1/2 x(t )=1 , y(t )=t
T ?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x
y
x y
m n
x
I
2 3 2 2 2
1 3
y
, với m là tham số thực.
6
4
2
y
x
(d)
(C)
H M
Trang 10f(x)=(2x+1)/(1-x) y=3x+1 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2 Series 1 f(x)=-(1/3)x-13/3 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-10 -8 -6 -4 -2
2
x y
N(2;-5)
M
H
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
Lời giải:
2
2
3
y
x
3
x x
,xlim 3 y , limx 3y
Bảng biến thiên Đồ thị:
-3
2
1
0
3
1
m m
2
m m
2 1
m
2
x y
x
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm với trục tung.
HD câu b, c
0
3
1
x
0
0
3
1 ,
10
x
x
d N
0
3
1
x
d N g x
10
f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) f(x)=x-2 x(t)=-3 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-12 -10 -8 -6 -4 -2
2
x y
Trang 11* Khảo sát hàm 0 0
0
3
1
x
0
3
1
g x
x
0
0
2
x
g x
x
(lập bảng biến thiên …)
5
