Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Tống hợp các dạng bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, có hướng dẫn và lời giải chi tiết

Trang 1

HAM SO - GIAI TICH 12

CAC DANG TOAN LIEN QUAN DEN

KHAO SAT HAM SO Dang 1: CAC BAI TOAN VE TIEP XUC

Cho hàm số y = ƒ (x) ,d6 thi là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm 4 (xạ; yạ ) <(C)

— Tinh dao ham va gia tri ⁄#!{% )

— Phuong trinh tiếp tuyến có dang: y = f'(x )(x- xy) +Yo-

Chi y: Tiép tuyén tai diém M (x); y, )€(C) 06 hé s6 goc k= f'(x))

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là &

— Giải phương trinh: f'(x)=k, timnghiém x, > y

— Phuong trinh tiép tuyén dang: y=k (x — Xp ) + Vo:

Chi ¥: Cho duong thang A: Ax + By + C =0, khi đó:

— Nếu đ//A => (4): y= ax + b— hệ số góc k = a

- Nếu đ_.LA >(đ): y=ax + b— hệ số góc k=—+,

a

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(x,:v„)£ (C)

— Gợi đ là đường thăng qua 4 và có hệ số góc là &, khi đó (d):y=k(x-x,)+y,

— Điều kiện tiếp xúc của (d )và (C ) là hệ phương trình sau phải có nghiệm: L,

Tổng quáí: Cho hai đường cong (C): y= ƒ(x) và (C'): y= g(x) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc

ff (x)=8(x

với nhau là hệ sau có nghiệm ( ( )

f'(x)=8'(x)

1 Cho hamsé y=x* -2x?

a khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến A của (C):

i Tại điểm có hoành độ x= v2

1 Tại điêm có tung độ y = 3

111 Tiêp tuyên song song với đường thắng: đj :24x— y + 2009 =0

iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thắng: đ, :x + 24y + 2009 =0

-x? —x +3

a Khao sát và vẽ đồ thị (C) của hàm sô trên

b Việt phương trình tiêp tuyên của (C):

i, Tai giao diém cua (C) voi trục tung

ii Tai giao diém cua (C) với trụng hoành

2 Cho hamsé y= có đồ thị là (C)

li Biết tiếp tuyến đi qua điểm 4(1;—1)

iv Biết hệ số góc của tiếp tuyến k= —13

x

x+I

Trang 2

a Khao sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0

d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)

2

4 Cho hamsé y =~ 2273 06 48 thi (O

a Khao sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Chứng minh rằng qua điểm A⁄(—3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

2

5s Cho hàm số: y=— ¡ SỐ đồ thị (C) XA

a Khao sat va vé dé thi ham sé

b Tìm Ä⁄ e(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại Ä⁄ vuông góc với đường thắng đi qua M và tâm đối xứng của (C)

6 Cho hàm số y=x” + mạ? + 1 có đồ thi (C,,) Tim m để (C„) cắt d: y ==— x + 1 tai ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C„) tại 8 và C vuông góc với nhau

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đ và (C„) là: x` + mx” + 1=—x+ 1 x0? +mx+ 1)=0 (*) Dat o(x) =x’ + mx +1 d cat (C,,) tai ba diém phan biét <> g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 Ag=m °-4>0_ |m>2

Vi xg, Xc langhiém cua g(x) =0 >

P=xpxc =l

Tiếp tuyến của (C„) tại 8 và C vuông góc với nhau nên ta có: ƒ "(xe ) ƒ'(x;) = —1

<> 1[9+6m(-m)+4m? |=-1 <> 2m? =10<m=4V5 (nhận so với điều kiện)

x7 +1

7 Cho hamsé y= Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ dé từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc

Gọi M(xo;yo) Phuong trình đường thăng đ qua M có hệ sô góc k la y = A(x — x0) + yo

2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đ: Š * —k(x—xg)+yạ, (ez0)

k#l

đ tiệp xúc với (C): © 3 © 4x⁄¿k“ +2(2- xay )k + yạ —4=0 I

A =(y¿ xa} -4(1-k) =0

Vo # kx,

Từ M vẽ hai tiêp tuyên đên (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 1

182 ~~

#0

—4

xo" =-1 © x tye =4

x

(% —%) #0

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: x7 + y” =4 loại bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận

x+1

Trang 3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b Tìm tọa độ điêm Mí thuộc (C), biệt tiêp tuyên của (C) tại Mí cắt Óx, Oy tai A, B va diện tích tam giác OAB bang i

4

DS: u{-3:-2) va M (11)

x*+x-—]

a Khảo sát sự biên thiên và vẽ đô thị (C) cua ham SỐ đã cho

b Việt phương trình tiệp tuyên với đồ thị (C) biết tiếp tuyên đó vuông góc với tiệm cận xiên

DS: b y=-x+2N2-5

10 Gợi (C„) là đồ thị của hàm số: y= >" - sh + ; (*) (m là tham số) (ĐH Khối—D 2005)

a Khao sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi =2

b Gọi M là điểm thuộc (C„) có hoành độ bằng —l Tim m dé tiép tuyén cua (C,,) tai M song song voi duong thang 5x- y=0

DS: m=4

11 Chohàmsố y= x` -3mx” —x +3m (C„) Định m để (C„„) tiếp xúc với trục hoành

12 Cho hàm số y= x” +xz` +(m—1)x? =x—m (C„„) Định m để (C„) tiếp xúc với trục hoành

x?-4

TÍ Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một x+

13 Cho đồ thị hàm số (C): y =

tiếp tuyến đến (C)

14 Cho đồ thị hàm số (C): y= + -3x? +4 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

15 Cho đồ thị hàm số (C): y = x° =2x? +1 Tìm các điểm Ä⁄ năm trên Óy sao cho từ Ä⁄ kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

16 Cho đồ thị hàm số (C): y = x` -3x +2 Tìm các điểm trên đường thắng y = 4 sao cho từ đó có thé kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

a Khao sat sy bién thién va vé do thi cuahamsd(1) - , ,

b Việt phương trình tiệp tuyên của đô thi ham so (1), biét rang tiép tuyén do di qua diém M(—1;—9)

a D=R, y` = 12x? — 12x; y` = 0 ©x = 0 hay x = ] ở

ở yt

b Tiếp tuyến qua M⁄(—1;—9) có dạng y = k& + 1) — 9 2+

Phương trình hoành d6 tiép diém qua M co dang :

4x? — 6x7 + 1 = (12x — 12x)(x + 1)-9

> 4x? — 6x7 + 10 = (12x? — 12x)(x + 1) © 22° — 3x7 +5 = 60x — x)(& + 1)

>x=—-l hayx= —:; y(-1)=24; y'| —|=— yx= y{-l) r(3) 4

Vay phuong trinh cac tiép tuyén qua M la: y = 24x + 15 hay y = °

Trang 4

HAM SÓ - GIẢI TÍCH I2

Dang 2: CAC BAL TOAN VE CUC TRI

Cho ham s6 y= f (x) ,d6 thi 1a (C) Cac van dé vé cue trị cần nhớ:

— Nghiém cua phuong trinh f '(x) =0 là hoành độ của điểm cực trị

k #'{x¿)=0 ` LẠ K TT

— Nêu f" 0 thì hàm sô đạt cực đại tại x = xạ

(x0)

Né '(%) =0 ` LẠ k 2

— Néu f" thì hàm sô đạt cực tiêu tại x = xạ

Một số dang bai tap về cực tri thường gặp

— Đề hàm sô y= ƒ(x) có 2 cực y=ƒ/(z) ực trị trị = A„.>0

— Để hàm số y = ƒ (z) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trụchoành <> y¿;.ycy <0

— Để hàm số y = ƒ (x) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung — <> x¿;.xcr <0

— Đề hàm số y = ƒ (x) có hai cực trị năm phía trên trục hoành © (re Yer >"

Yep Yer > 9

— Dé ham so y = ƒ (z) có hai cực trị nắm phía dưới trục hoành c© Pe TS”

Yop Ver > 9

— Dé ham sé y= ƒ (z) có cực trị tiếp xúc với trục hoành © Vcp.Vcr =0:

Cách viết phương trình đường thang di qua hai điểm cực trị

Dạng 1: hàm số y= axÌ + ðx? +ex+ d

Lay y chia cho y', được thương là g(x) và dư là r(x) Khi đó y =z{(+) là đường thắng đi qua 2 điểm cực trị

2

Dạng 2: Hàm số y= ax +ixyt

dx +e

Đường thắng qua hai điêm cực trị có dạng y=————————~——=——x+— (&x+e)' dd

x? + mm? -1)x- m +1

I Chứng minh rắng hàm sô y = luôn có có cực trị với mọi ø Tìm ? sao cho hai

x—m cực trị nằm trên đường thắng y=2z

2 Cho hàm số yaa — mx? +(m+2)x-1 Dinh m dé:

a Hàm sô luôn có cực trị

b.Có cực trị trong khoảng (0;+œ)

c Có hai cực trị trong khoảng (0;+œ)

3 Định” để hàm số y=x` —3mx7 + (m? -1)x +2\bˆ -4ac đạt cực đại tại x = 2

4 Cho hàm số y= x—3x+3mx+3m+4

a Khảo sát hàm số khi z = 0

b.Dinh m dé ham số không có cực trị

c Dinh m để hàm só có cực đại và cực tiểu

5 Cho hàm số y=x” -3mx” + 9x + 3m— 5 Định zm để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình

đường thắng đi qua hai điểm cực trị ấy

Trang 5

HAM SO - GIẢI TÍCH 12

x’ +(m+1)x-m+1

6 Cho ham sé y= Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với

x7

moi m Hay dinh m dé hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

7 Cho hàm số y=x” +(1—2m)x” +(2—m)x+ m+2 Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

x? +2mx +1— 3m2

§ Chohàmsố y= Dinh m dé dé thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục

x—-m

tung,

9 Cho ham sé yao - mx? +(2m-1)x-m+2(C,) Dinh m để hàm số có hai điểm cực trị cùng

dương

x? +2(m+1)x+m° +4m

x+2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi z=—1 ; ;

b Tìm zz đề hàm sô (1) có cực đại và cực tiêu, đông thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gôc tọa

độ Ó tạo thành tam giác vuông tại Ó

DS: m=-4+2V6

11 Cho hàm số y=—x” — 3x2 + 3(m? - 1)x —3m? —1 (1), ma tham sé (DH Khối—B năm 2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi „=l "¬

b Tim m dé ham sô (1) có cực đại, cực tiêu và các điêm cực trị của đô thị hàm sô (1) cách đêu gic tọa độ

ĐS:bm= +1

2

12 Cho ham sé y= mx* + (m? - 9)x? +10 (1) Œn là tham số)

a Khao sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của đô thị hàm số khi zz=1

b Tim m dé đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH Khối—B năm 2002)

^^

10+”

x

>

54+ 4

< —

0<m<3

13 Gọi (C„) là đỗ thị của hàm sô y = a (*) (m la tham sô)

x+

a Khảo sắt sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi zz=1 ;

b Chứng minh răng với zz bât kỳ, đô thị (C„) luén cé hai diém cực đại, cực tiêu và khoảng cách giữa

hai điểm đó bằng 2/20

Trang 6

wt

b CD(—2;m-3), CT(0;m+1)=> MN = -=J/20

Trang 7

Dang 3: CAC BAI TOAN VE DONG BIEN-NGHICH BIEN

Cho ham s6 y= f (x) cĩ tập xác định là mién D

— #z) đồng biến trên 2 <> f'(x)= 0,VxeD

— fix) nghịch biến trén D <> f'(x) <0,VxeD

(chỉ xét trường hợp /{z) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền 7?)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: ƒ (x) = àx” + bx + c

1 Néu A <0 thi fx) luơn cùng dấu với a

2 Nếu A = 0 thi fx) cé nghiém x = -~ va f(x) luén cing dau véi a khi x #—

3 Nếu A> 0 thi fx) cĩ hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm Ẩ>x) trái dấu với z, ngồi khoảng 2 nghiệm ƒ{x) cùng dâu với a

So sánh nghiệm của tam thức với sơ 0)

1 Cho hàm số y = x” — 3(m +1)x” + 3(m + 1) x + 1 Định m để:

a Hàm số luơn đồng biến trên R

b Hàm số luơn đồng biến trên khoảng (2; +)

3 2

2 Xác định m để hàm số y=—— —2x+T

a Đồng biến trên R

b Đồng biến trên (1;+œ)

3 Cho hàm số y= x” — 3(2m +1)x” + (12m +5)x +2

b Định zw để hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ;~1)

mx? +6x—2

4 Cho hàm số y =

x+2 Định để hàm số nghịch biến trên [l;+eo)

* x <0<x;©P<0

Trang 8

_ Dang 4: CAC BAI TOAN VE GIAO DIEM CUA 2 DUONG CONG

Quan hệ giữa sô nghiệm và sô giao diém

Cho hai hàm sô y=ƒ{z) có đô thị (C:) và y=g(z) có đô thị (Ca) Khảo sát sự tương giao giữa hai đô thị (C,) và (C;) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm của (C¡) và (C;) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)

2

1 Cho ham so ye! có đồ thị là (C)

x+

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b Biện luận theo mm số nghiệm của phương trình x” — (m + 2)x —m+1=0

2 Cho hàmsố y=(x +1} (x-1}” có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b Dùng đô thị (C) biện luận theo m sô nghiệm của phương trình (x? — 1) —2m+1=Q0

3 Cho hamsé y=x° +k? -4

a Khao sát hàm số trên khi k= 3

b Tìm các giá trị của k để phương trình xŸ + #2 - 4=0 có nghiệm duy nhất

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sỐ đã cho ¬

b Gọi đ là đường thăng đi qua điểm 4(3;20) có hệ sô góc 7n Tìm zz đê đường thăng đ cát đồ thị (C) tai ba diém phan biệt

DS: b mờ, m # 24

-x?+3x—3

2 (x — 1)

b Tim m dé duong thing y=m cat do thi ham so (1) tai hai diém A, B sao cho AB=1

DS: b m

mx? +x+m

x-1

a Khao sat su bién thién va vé dé thi của đồ thị hàm số khi m=—1 ;

b Tim m dé do thi ham so (1) cat trục hoành tại hai điêm phân biệt và hai điệm đó có hoành độ dương

ĐS: b =<m<0

7 a Khao sat sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = — (1) (PH Khoi—D 2003)

x —

b Tìm ø để đường thắng đự„ :ÿ = mx + 2— 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

DS: m>1

8 Cho hàm số y=— x` + 3mx? + 3(1 — m”)x + m — m” (1) (m là tham số) (ĐH Khối—A 2002)

a Khao sát sự biến thiên và vẽ đỗ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm & để phương trình — xŸ + 3x” + # — 3#? = 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thắng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Trang 9

k#z0Akz2

Trang 10

Dang 5: CAC BAI TOAN VE KHOANG CACH

Các công thức về khoảng cách:

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thắng): 4B = VCs —X, y +(y3 -Y4 y’

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thắng: Cho đường thắng A: 4x + By +C =0 va diém

MẸ ) khi đó d(M A) | Ax, + Bya +C|

1 Chohàmsố y=x” —3zmxz” —3x + 3m+ 2 (C„) Dinh m dé (C,,) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất

2 Cho hàm số (C) iy ax+2 Tìm tọa độ các điểm M nam trén (C) co téng khoang cách đến hai tiệm

cận là nhỏ nhất

3 Cho ham sé (C): y= x1 Tìm các điểm A⁄ thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ

4 Cho ham sé (C): y= —= Tìm hai điểm Ä⁄, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN

5 Cho ham sé (C): y= —n Tìm hai điểm Ä⁄, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn Ä⁄W

nhỏ nhất

6 Cho hàm số (c):y-* 21

a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tong khoang cach đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất

b Tìm hai điêm 3⁄4, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhật

7 Gợi (C„) là đồ thị của hàm số: y = mx + 1 (*)_ ứn là tham số) (ĐH Khối—A 2005)

x

a Khao sát sự biên thiên va vé do thi cua ham so (*) khim= —

4

b Tim m dé do thị hàm sô (*®) có cực trị và khoang cach tir diém cuc tiêu của (C„) đên tiệm cận xiên : 1

⁄2

10

Tiêu đề	Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Bài tập

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	3,37 MB