Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8Đề Cương Toán 8
Trang 1CH ƯƠ NG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA TH C Ứ
BÀI 1 NHÂN Đ N TH C V I ĐA TH C Ơ Ứ Ớ Ứ
LÝ THUY T Ế
Ch ng khác gì nhân m t s v i m t t ng: ẳ ộ ố ớ ộ ổ
(b c d) ab ac ad
(B C D) AB AC AD
* Quy t c ắ
Mu n nhân m t đ n th c v i m t đa th c, ta nhân đ n th c v i t ng h ng t c a đa th c r i c ngố ộ ơ ứ ớ ộ ứ ơ ứ ớ ừ ạ ử ủ ứ ồ ộ các tích v i nhauớ
Ví d : ụ −2xy2(x3y−2x2y2 +5xy3)
5 2 4 3 3 4
3 2 2
2 2 3
2
y 10x y 4x y 2x
.5xy 2xy y
.2x 2xy y x 2xy
− +
−
=
− +
−
=
BÀI 2 NHÂN ĐA TH C V I ĐA TH C Ứ Ớ Ứ
LÝ THUY T Ế
Các phép tính v i đa th c đ u quy v các phép tính v i đ n th c ớ ứ ề ề ớ ơ ứ
1 Quy t c ắ
(A−B)(C−D)=AC−AD−BC+BD
Mu n nhân m t đa th c v i m t đa th c, ta nhân m i h ng t c a đa th c này v i t ng h ng t c aố ộ ứ ớ ộ ứ ỗ ạ ử ủ ứ ớ ừ ạ ử ủ
đa th c kia r i c ng các tích v i nhauứ ồ ộ ớ
* L u ý ư
- Thu g n các h ng t đ ng d ng (n u có) trọ ạ ử ồ ạ ế ước khi nhân và sau khi nhân
- N u ph i nhân nhi u đa th c, m i l n ch nhân t ng hai đa th c ế ả ề ứ ỗ ầ ỉ ừ ứ
Ví d : ụ (2x−3y)(2x+3y)(3x+4y)(4x−3y)
4 2
2 2 3
4
4 3
2 2 2
2 3
4
2 2
2 2
2 2
2 2
108y 63xy
y 156x y
28x 48x
108y 63xy
y 108x y
48x y 28x 48x
12y 7xy 12x
9y 4x
12y 16xy 9xy 12x
9y 6xy 6xy 4x
+
−
− +
=
+
−
−
− +
=
− +
−
=
− +
−
−
− +
=
2 Nhân hai đa th c đã s p x p ứ ắ ế
Các bước th c hi n: ự ệ
- Đa th c n vi t dứ ọ ế ưới đa th c kia, hai đa th c cùng vi t theo lũy th a gi m d n ho c tăng d n c aứ ứ ế ừ ả ầ ặ ầ ủ
bi nế
- K t qu c a phép nhân m i h ng t c a đa th c th hai v i đa th c th nh t đế ả ủ ỗ ạ ử ủ ứ ứ ớ ứ ứ ấ ược vi t riêngế trong m t dòngộ
- Các đ n th c đ ng d ng đơ ứ ồ ạ ượ ếc x p vào cùng m t c tộ ộ
* L u ý ư
- N u đa th c có nhi u bi n, ta ch n m t bi n làm bi n chính và s p x p các đa th c theo bi nế ứ ề ế ọ ộ ế ế ắ ế ứ ế chính đó
- V i đa th c nhi u bi n, tr trớ ứ ề ế ừ ường h p đ bài ch đ nh, ngợ ề ỉ ị ười ta ít dùng cách nhân này
BÀI T P Ậ
Bài 1 Cho các đ n th cơ ứ
3
2y ax 4
3
9 2
Trang 2Tính:
3
2C A.B
Bài 2 Cho các đa th c: ứ
1 3x C 2;
3y B x;
2y
Tính: a) B−A+C
b) 6x2A−[4x2B−2xC]
Bài 3 Th c hi n các phép tính: ự ệ
a) x(1−3x)(4−3x) (− x−4)(3x+5)
b) (4x2 +2x−1)(12x3 −6x2 +3x−3)
c) (x2y−xy2)(x4y2+x3y3+x2y4)
Bài 4 Th c hi n phép nhân b ng hai cách: ự ệ ằ
a) (5x2 −3x3+4x−1)(−2x2 +3−6x)
b) (2x2 −3x+2x4−5)(−5x−x2−4+3x4)
c) (x3−y3−2xy2)(y3−2x2y+x3)
Bài 5 Thu g n r i tính giá tr các bi u th c sau: ọ ồ ị ể ứ
a) A=(x2 −x+3)(−2x2+3x+5)
v i ớ
2
b) B=(4a2−2ab+b2) (2a+b)
1 b
; 2
1
c) C=(x2 +y2)(x2y+y3) (− x4+y4)y
v i ớ
2 y 1,5;
Bài 6 Ch ng t các bi u th c sau: ứ ỏ ể ứ
a) Không ph thu c vào bi n x: ụ ộ ế
i) (3x+7)(2x+3) (− 3x−5)(2x+11)
ii) (3x2−2x+1)(x2+2x+3) (−4xx2 −1)−3x2(x2 +2)
b) Không ph thu c vào bi n x, y: ụ ộ ế
i) (x−1) (x2+y) (− x2−y) (x−2) (−x x+2y) (+3 y−5)
ii) 6(x3y+x−3) (−6x2xy3+1)−3x2y(2x−4y2)
c) Không ph thu c vào bi n y:ụ ộ ế
−
−
− +
3
4 2
1 6 2y x 4y 2xy x
Bài 7 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ
a) acx3+bc=ax(dx−c)−bx(cx−d) (+ ax+b) (cx2 −dx+c)
(a+b+c) (a2+b2+c2−ab−bc−ca)=a3+b3+c3−3abc
Trang 3c) (a b c)3 a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a)
+ + + + + +
= + +
Bài 8 Tìm x:
a) 4(x+3)(3x−2) (−3 x−1)(4x−1)=−27
b)
2
5 3x 4 x 1 x 3x 1
c) 2(x−2)(x+2) (+4 x−2)(x+1) (+ x+2)(8−5x)=0
d) (2x+1)(5x−1)=20x2 −16x−1
e) 4x(2x2−1)+27=(4x2 +6x+9) (2x+3)
Bài 9
a) Cho A=x(2x−3)−2x(x+1)
Ch ng minh r ng A luôn chia h t cho 5 v i m i s nguyên x ứ ằ ế ớ ọ ố b) Cho B=(3x−4)(4y−3) (− 4x−3)(3y−4)
Ch ng minh r ng B chia h t cho 7 v i m i s nguyên x, yứ ằ ế ớ ọ ố
Bài 10
a) Tìm 4 s t nhiên liên ti p Bi t r ng tích c a hai s đ u nh h n tích c a hai s cu i là 38 ố ự ế ế ằ ủ ố ầ ỏ ơ ủ ố ố b) Cho a, b là hai s t nhiên Bi t a chia cho 3 d 1, b chia cho 3 d 2 Ch ng minh r ng: a.b chia choố ự ế ư ư ứ ằ
3 d 2ư
c) Cho hai s a và b, bi t: ố ế
999 91
a=
(có 2005 ch s mà 2004 ch s đ u đ u b ng 9)ữ ố ữ ố ầ ề ằ
222 22
b=
(có 2005 ch s đ u b ng 2)ữ ố ề ằ
Ch ng minh r ng: ab – 5 chia h t cho 3 ứ ằ ế
Bài 11 Tính (v i ớ
* N
n∈ ):
a) A=2x(3xn − 1+1)+6xn(x2 −1)
b) B=3xn − 2(xn + 1−yn + 2)+yn + 2(3xn − 2−yn − 2)
c) C=yn + 1(2xn − 1−yn − 1)+2xn − 1(xn + 1−yn + 1)
Bài 12 Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ ể ứ
a) A b c ab ac abc
2 2 3
3+ + + −
=
, bi t ế a+b+c=0
b) B x 5x 5x 5x 5x 1
2 3 4
=
v i ớ x=4 c) C x 80x 80x 80x 80x 15
4 5
6
=
v i ớ x=79
4 2003.2005
5 2005
4 2003
2002 4 2005
1 3 2003
1
1 1113
5 1113
1112 5 1111
1110 1 1113
1 4 1111
1 3
Trang 4Bài 13 So sánh A và B, bi t: ế
2225 2218.2223
2226 2219.2221
3001 3003.2996
2997 3004.2999
BÀI 3, 4, 5 NH NG H NG Đ NG TH C ĐÁNG NH Ữ Ằ Ẳ Ứ Ớ
LÝ THUY T Ế
I Các h ng đ ng th c đáng nh ằ ẳ ứ ớ
1) Bình phương c a m t t ng: ủ ộ ổ
B 2AB A
B
2) Bình phương c a m t hi u:ủ ộ ệ
B 2AB A
B
3) Hi u hai bình phệ ương:
(A B)(A B) B
A2− 2 = − + 4) L p phậ ương c a m t t ng: ủ ộ ổ
(A+B)3 =A3 +3A2B+3AB2+B3 5) L p phậ ương c a m t hi u:ủ ộ ệ
B 3AB B
3A A B
6) T ng hai l p phổ ậ ương:
3
3 B A B A AB B
7) Hi u hai l p phệ ậ ương:
3
3 B A B A AB B
8) Bình phương m t t ng 3 h ng t : ộ ổ ạ ử
(A+B−C)2 =A2+B2+C2+2AB+2BC+2CA
(A B C)2 A2 B2 C2 2AB 2BC 2CA
− +
− + +
=
−
−
II M t s d ng th ộ ố ạ ườ ng ng d ng ứ ụ
1) A2 +B2 =(A+B)2− =(A−B)2+
2) A3+B3 =(A+B)3−3AB( + )
3) A3−B3 =(A−B)3+3AB( − )
4) A4 +B4 =(A2+B2)2 − =(A2 −B2)2+
III M t s ng d ng ộ ố ứ ụ
1) Tính nh m: ẩ 992 (100 1)2 1002 2.100.1 12 9801
= +
−
=
−
=
2) Vi t bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng tích 2 bi u th c: ể ứ
3 3
2
2 4b 20ab;B 8x 27y 25a
* A 25a 4b 20ab
2
2 + −
b 2 a 5 b 2 b 2 a 2.5 a
=
Trang 5* 3 3 ( ) ( ) (3 3 ) ( ) [ 2 ( )2] ( ) ( 2 2)
9y 6xy 4x
3y 2x 3y
2x.3y 2x
3y 2x 3y
2x 27y 8x
3) Ch ng minh: ứ A x 4x 5
2+ +
=
luôn có giá tr dị ương và B 2x 12x 20
2 + −
−
=
luôn có giá tr âm ị ∀x∈R
* A=x2+2.x.2+22 +1=(x+2)2+1
(x 2) 0 A (x 2) 1 1 0 R,
∀
(đpcm)
* B=−2(x2−6x+10)=−2[x2 −2.x.3+32+1]=−2[ (x−3)2 +1]=−2(x−3)2 −2
(x 3) 0 2(x 3) 0 B 2(x 3) 2 2 0 R,
∀
(đpcm) 4) Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ M x 2x 8
2 + −
=
và tìm giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ N 4x 4x 3
2 + +
−
=
* M=x2 +2x−8=x2 +2.x.1+12−9=(x+1)2−9
−
=
⇔
= +
⇔
= +
⇔
−
=
−
≥
− +
=
⇒
≥ +
∈
∀
1 x 0 1 x 0 1 x 9 M
9 9 1 x M 0 1 x R, x
2
2 2
V y GTNN c a M là ậ ủ −9
khi x=−1
(ho c ặ minM=−9⇔x=−1
)
* N=−4x2 +4x+3=−(4x2 −4x−3)=−[ ( )2x 2−2.2x.1+12 −4]=−[ (2x−1)2−4]=−(2x−1)2+4
−
=
⇔
= +
⇔
= +
−
⇔
=
≤ + +
−
=
⇒
≤ +
−
∈
∀
2
1 x 0 1 2x 0 1 2x 4
N
4 4 1 2x N
0 1 2x R, x
2
2 2
V y GTLN c a N là 4 khi ậ ủ 2
1
x=−
1 x 4
)
BÀI T P Ậ
Bài 14 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ẳ ẳ ứ ể ể ọ
a) (3x+5)2
b)
2 2 3
1
+
c) (5x−4y)2 d) ( 2 3 )2
x 3y y 2x −
e) (5x−3)(5x+3)
f) (6x+5y)(6x−5y) g) (−4xy−5)(5−4xy)
h) (a2b+ab2)(ab2 −a2b)
i) ( )2 ( )( ) ( )2
x 4 x 4 4 3x 2 4
j) ( )2 ( 2 ) ( )2
1 3a 1 9a 2 1
k) (a2+ab+b2)(a2−ab+b2) (− a4+b4)
Bài 15 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng bình phương c a m t t ng ho c m t hi u:ủ ộ ổ ặ ộ ệ
a) x 2x 1
2+ +
b)
2 4x 4x
1− +
c) a 9 6a
2 + −
d)
2
2 60ab 25b
e) 4x 4x 1
2
4− +
f)
3 2 6
4 16y 24x y
Bài 16 Vi t các bi u th c sau dế ể ứ ướ ại d ng m t tích các đa th c:ộ ứ
Trang 6a) 16x 9
2−
b)
4
2 25b 9a −
c)
4 y 81−
d) (2x+y)2−1
e) ( ) (2 )2
z y x z y
Bài 17 Tính nhanh:
a) 99 2.99 1
2+ +
b)
2
2 128.36 36
c)
2
2 288.14 28
d) (123+1)(123−1)−36.46
e) (202 +182+162+ +42 +22) (−192+172+152 + +32 +12)
Bài 18 Dùng h ng đ ng th c đ khai tri n và thu g n: ằ ẳ ứ ể ể ọ
a)
3 2 3
1
+
b) ( 2 )3
3xy y 2x −
c)
3 2 2
4 x y 2
1
− +
d)
3 3
2 2a b ab
3
1
− −
e) (x+1) (3− x−1)3−6(x−1)(x+1)
f) x(x−1)(x+1) (− x+1) (x2 −x+1)
g) (x 1) (3 x 2) (x2 2x 4) 3(x 4)(x 4)
− + + +
− +
−
−
h) 3x2(x+1)(x−1)+(x2 −1) (3− x2 −1)(x4+x2 +1)
k) (x4−3x2+9)(x2+3) (+ 3−x2)3−9x2(x2 −3)
l) (4x+6y) (4x2−6xy+9y2)−54y3
Bài 19 Bi n đ i các bi u th c sau thành tích các đa th c: ế ổ ể ứ ứ
a) x 8
3+
b)
3 8y
27−
c)
1
y6+
d)
3
3 y 8
1
e)
9
6 27y
125x −
y 125
x6 3
−
g) 16x2(4x−y)−8y2(x+y)+xy(16x+8y)
Bài 20 Đi n h ng t thích h p vào ch có d u * đ có h ng đ ng th c: ề ạ ử ợ ỗ ấ ể ằ ẳ ứ
a) x2+4x+*=(*+*)2
b) 9x2−*+4=(*−*)2 c) x2+x+*=(*+*)2
*
* 4 2a
e) 4y2−*=(*−3x)(*+*)
f)
(3y *)(* *)
4
1
g) 8x3+*=(*+2a) (4x2 −*+*)
h) *−27y3 =(4x−*) (9y2 +*+*)
i)
(4x * *) y
2
1
*
*
+
= +
j) *−*=(4y−*)(*+y+*) k) 64a3+*+*+27b3 =(*+*)3
l) 8x3−*+*−*=(*−3y)3 m) (*−*)3 =x3−*+12xy2−*
n) (*+*)3 =*+108x2y+144xy2+*
Trang 7Bài 21 Tìm x, bi t:ế
a) x 2x 1 25
2− + =
b) (5x+1) (2 − 5x−3)(5x+3)=30
c) (x−1) (x2+x+1)−x(x+2)(x−2)=5
d) (x 2) (3 x 3) (x2 3x 9) 6(x 1)2 15
= + + + +
−
−
−
e) 6(x+1)2−2(x+1)3+2(x−1) (x2+x+1)=1
Bài 22 Tính giá tr c a các bi u th c: ị ủ ể ứ
a) A 4x 8x 5
2 + +
=
v i x = 49 ớ b) B x 3x 3x 1
2
3+ + +
=
v i x = 99ớ c) C x 9x 27x 26
2
3− + −
=
v i x = 23 ớ d) ( ) (2 )( ) ( )2
5 2x 5 2x 6 4x 3
2x
v i x = 99 ớ
Bài 23 Tìm x, y bi t: ế
a)
0 5 4y 2x y
x2+ 2 − + + =
b)
0 18 12y 6x 4y
x2+ 2+ − + =
c)
0 9 6x 12xy 9y
5x2 + 2− − + =
d)
0 41 8y 10x 2xy 2y
Bài 24 Ch ng minh các đa th c sau luôn luôn dứ ứ ương v i m i x, y: ớ ọ
a) x 2x 2
2+ +
b) 4x 12x 11
2 − + c) x x 1
2 − +
d)
6 4y y 2x
x2− + 2+ +
Bài 25 Ch ng minh các đa th c sau luôn âm v i m i x: ứ ứ ớ ọ
a) x 6x 15
2 + −
−
b) 9x 24x 18
2 + −
−
c) (x−3)(1−x)−2
d) (x+4)(2−x)−10
Bài 26 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr nh nh t? Tìm giá tr nh nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ỏ ấ ị ỏ ấ
a) 4x 12x 11
2 − +
b)
7 4x y 2x
x2− + 2− + c) x x 1
2 + +
d) (x−1)(x+2)(x+3)(x+6)
Bài 27 V i giá tr nào c a bi n, các đa th c sau có giá tr l n nh t? Tìm giá tr l n nh t đóớ ị ủ ế ứ ị ớ ấ ị ớ ấ
a) x 4x 4
2 + −
−
b) x x 6
2+ +
− c) x 6x 15
2+ −
−
d)
5 4y 4y 2x
x2+ − 2− +
−
Bài 28 So sánh:
a) A=1997.1999
và
2 1998
B= b)
2 1998 1994.1996
C=
và D 1995 .1997.1999
2
=
c) E=( )3+1(32+1)(34+1)( )(38+1 316+1)
và F 3 1
32 −
=
Bài 29 Ch ng minh các đ ng th c sau: ứ ẳ ứ
a) N u a + b + c = 2p thì ế 4p(p−a)=b2 +c2−a2+2bc
Trang 8b) N u x + y = a và xy = b thì ế
2b a y
x2 + 2 = 2−
và
3ab a
y
x3+ 3 = 3−
c) ( 2 2)( 2 2) ( ) (2 )2
bc ad bd
ac d
c
b
d) N u a + b + c = 0 thì ế a b c 3abc
3 3
3+ + =
e) N u ế
0 c
1 b
1
a
thì (a+b) (a2+b2)(a4 +b4)(a8+b8) ( a32 +b32)=a64−b64
g) N u a = b + c thì ế
c a
b a c a
b a 3 3
3 3
+
+
= + +