Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng ABC a Chứng minh rằng SAB ^ SBC b Tính khoảng cách từ A đến SBC c Gọi O là tru
Trang 1C NG ÔN T P H C K II - N M H C 2010-2011
I C P S C NG*
Bài 1 Cho c p s c ng (un) có u1 =
2
9
- , công sai d =
2
1 a) Tính s h ng th 12 c a CSC
b) Tính t ng c a 20 s h ng đ u tiên
c) S 0 có ph i là m t s h ng c a CSC này hay không ?
d) Tìm n bi t u1 + u2 + u3 + … + un =
2
165
Bài 2 Cho dãy s (un) có un = 9 – 5n
a) Ch ng minh dãy (un) là m t CSC Tìm u1 và công sai d ?
b) Tính t ng c a 30 s h ng đ u tiên c a CSC này
Bài 3 Tìm a bi t ba s : 5-a2; 3a-7; 3a2-19 theo th t đó l p thành m t CSC
Bài 4 Cho ba s d ng a, b, c l p thành m t CSC Ch ng minh:
c b b a c
1 1
2
Bài 5 Tìm u1 và công sai d c a CSC (un) bi t:
a)
î
í
ì
=
= +
14
0 2 4
5 1
S
u u
b)
î í
ì
=
=
-75
8 7 2
3 7
u u
u u
c) î í
ì
= + +
= + +
275
27 2 3 2 2 2 1
3 2 1
u u u
u u u
Bài 6 Cho CSC (un) Ch ng minh: S3n =3(S2n-S n)
Bài 7: Tìm 3 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng bi t t ng c a chúng b ng 21 và t ng bình ph ng c a
chúng b ng 155
II C P S NHÂN*
Bài 1 Cho dãy s (un) có un = 22n+1
a) Ch ng minh (un) là m t CSN, tìm u1 và công b i q ?
b) Tính t ng u6 + u7
c) Tính t ng c a 12 s h ng đ u tiên
Bài 2 Cho dãy s (un) xác đ nh nh sau:
ïî
ï í
ì
³
+
=
=
=
3 2
5 ,
4
1 1
2 1
n u
u u
u u
n n n
Xét dãy s (v n ) xác đ nh nh sau: v n = u n+1 – u n
a) Ch ng minh (vn) là m t CSN
b) Tính u8
Bài 3 Cho 4 s a, b, c, d theo th t đó l p thành m t CSN Ch ng minh:
a) (b-c)2+(c-a)2+(d-b)2 =(a-d)2
b) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2
Bài 4 Tìm u1 và q c a CSN (un) bi t:
Trang 2a)
î
í
ì
= +
-= +
-20
10 6 5 3
5 4 2
u u u
u u u
î í
ì
= + + +
= + + +
85
15
2 4 2 3 2 2 2 1
4 3 2 1
u u u u
u u u u
Bài 5 Cho 4 s a, b, c, d theo th t đó l p thành m t CSC và b n s a – 2, b – 6, c – 7, d – 2 theo th
t đó l p thành m t CSN Tìm a, b, c, d ?
Bài 6 Tính t ng: 2 2 1 1 1
2 2
S = - + - + +
Bài 7 (Không dùng máy tính) Ch ng minh r ng:
99
211
13131313 ,
Bài 8 Tìm s h ng t ng quát c a m t CSN lùi vô h n có t ng b ng 3 và công b i q = 2/3
Bài 9: T ng 3 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng là 21 N u s th hai tr đi 1 và s th ba c ng thêm
1 thì ba s đó l p thành m t c p s nhân Tìm ba s đó
Bai 10: Ba s khác nhau a, b, c có t ng là 30 c theo th t a, b, c ta đ c m t c p s c ng; đ c theo
th t b, a, c ta đ c m t c p s nhân Tìm công sai c a c p s c ng và công b i c a c p s nhân đó
III GI I H N DÃY S
Bài 1: Tính các gi i h n sau:
a)
2
2
lim
- +
lim
n
+
3
lim
4
n
d)
4 2
lim
n
2 4
1 lim
n
+
lim
Bài 2: Tính các gi i h n sau:
a) lim1 3
4 3
n n
+
1
4.3 7 lim
2.5 7
+
+
lim
5 8
d)
1
lim
1 5
n
+
+
1 2.3 7 lim
5 2.7
lim
n n+
-
Bài 3: Tính các gi i h n sau:
a) lim(n2+5n-4) b) lim( 3- n2+5n+ 6) c) lim( 3n2- + +n 6 2 )n
d) lim( n4+n3+ -8 2 )n e) lim( n2 +5n-n) f) lim( 2n2+ + -n 8 n)
g) lim( 4n2+5n- 4n2-4) h) lim(3 n3+2n2 -n) i) lim( 4n2+ -6 2 )n
Bài 4: Tính các gi i h n sau:
1 2
lim
3
n
+ + + + f)
2 2
1 2 2 2 lim
1 3 3 3
n n
IV GI I H N C A HÀM S
Bài 1 Tìm các gi i h n sau:
a)
6
3 3
lim
6
x
x
x
®
+
b)
2 3
lim
3
x
x x x
®
- c)
2
1
2 lim
x
x x
x x
® ® -+ d) 2
4 1 3 lim
2
x
x x
®
+
e)
2
2
4
lim
x
x
x
®
-+ - f)
1
1 lim
1
x
x x x x
®
1
3 lim
1
x
x x x x
®
Trang 3
Bài 2 Tìm các gi i h n sau:
a) lim(-3 3 +2 2+1)
+¥
-¥
®+¥
d) lim 2 1 4 2 4 3
®+¥
3
®+¥
f) lim
®+¥
2
-+¥
®
i)
2
2
1 lim
x
x
®+¥
+
2
lim
2 x
x
®±¥
- +
2
lim
x
x
®+¥
+
Bài 3 Tìm các gi i h n sau:
a)
2
9 4 lim
-+
x x
3
3 2 4 lim 2
-+
-+
x x
x
1 2
10 9 lim 2
-÷ ø
ö ç è
æ
x
x
d)
2 2
4 lim
2 x
x x
+
®
2 lim
x
x
+
®
2 lim
x
x
-®
Bài 4 Tìm các gi i h n sau:
a)
2
2 2
lim
7 3
x
x
x
®
+
lim
1 x
x
®
2
1 1 lim
16 4 x
x x
®
+
-d) 03
lim
x
x
x
®
+
3 2 lim
3
x
lim x
x
®
-g)
1
2 2
1
lim
3
-+
x x
2
2 3 2 lim
3
-+ -+
x x
+¥
x
Bài 5 Tìm các gi i h n sau:
a)
x
x
2 sin lim
0
4 cos 2 2 lim
x
x x
1 1
4 sin lim
x
V HÀM S LIÊN T C
Bài 1 Xét tính liên t c c a hàm s :
ïî
ï í ì
=
¹
-=
3 4
3 3
3 2 )
(
2
x khi
x khi x
x x x
Bài 2 Xét tính liên t c c a hàm s :
ïî
ï í ì
³
-<
-=
1 2
1 1
2
1 )
(
x khi x
x khi x
x x
Bài 3: Xét tính liên t c c a hàm s :
-ï
î
2
Õu x >3
4 2 Õu x 3
n
trên t p xác đ nh c a nó
Bài 4 Cho hàm s
ïî
ï í ì
=
-+
¹
-=
1 2
2
1 1
3 1
1 ) (
2 3
x khi m
m
x khi x
x x f
Tìm m đ hàm s liên t c trên t p xác đ nh R
Bài 5 Ch ng minh ph ng trình 2x3
– 10x – 7 = 0 có ít nh t hai nghi m trên kho ng (– 2; 4 )
Trang 4Bài 6 Ch ng t ph ng trình (1-m2)(x+1)3+x2 -x-3=0 có ít nh t 1 nghi m v i m i m
Bài 7: a)Ch ng minh ph ng trình 2x4
+4x2+x-3=0 có ít nh t hai nghi m thu c kho ng (-1;1) b) Ch ng minh r ng ph ng trình sau có ít nh t hai nghi m: 2x3
– 10x – 7 = 0 c) Ch ng minh ph ng trình: 1- x – sinx = 0 lu«n cã nghiÖm
d) Ch ng minh ph ng trình:x3-3x+ =1 0 có 3 nghi m phân bi t
e) Ch ng minh r ng ph ng trình x3
– 2x2 + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m âm
f) Ch ng minh r ng ph ng trình (m2
+ m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghi m d ng v i m i giá tr
c a tham s m
g) Ch ng minh r ng ph ng trình sau luôn có nghi m v i m i giá tr c a tham s m:
cosx + m.cos2x = 0
Bài 1 Tính đ o hàm các hàm s sau:
a) y =(x-2) x2 +1 b) y = x4(1-2x)5 c)
1 2
1 2
-=
x x y
d) y = 2sin4x – 3cos2x e)
x
x
4 tan
Bài 2: Tính đ o hàm các hàm s sau:
a)y=(x2 -3x+3)(x2 +2x-1) b) 2 4 5
2 +
-=
x x
2
1 2
2 +
+
=
x
x
x x
5 2
) 2
1
y= - f)y= x3 -x2 +5 g)
3
1
1 2
÷ ø
ö ç
è
æ
-+
=
x
x
y h) y=sin3(2x3 -1) i)y =sin2(cos2x)
j)y=sin 2+x2 k)y=(2+sin22x)3 l) tan2 2
3
x
y =
Bài 2 Cho các hàm s
1 2
1 )
(
; 3 4 4 sin )
+
= +
÷ ø
ö ç
è
æ +
=
x x
g x
x x
Tính giá tr c a bi u th c: P f g (4)g
2
3 ) 3 ( 2
Bài 3 Cho f(x)=(2x-1)2(3-x)3 Gi i b t ph ng trình f’(x) > 0
Bài 4 Cho hai hàm s : f(x)=sin2x+cos2x; g(x)=sin2 2x-2x
Gi i ph ng trình: f ’(x) = g’(x)
Bài 5 Cho hàm s y = x.cosx Ch ng minh đ ng th c: y’’ + y + 2sinx = 0
Bài 6 Cho hàm s y = x3
– 3x2 + 2 có đ th là đ ng cong (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) bi t:
a) Hoành đ ti p đi m b ng – 1
b) Tung đ ti p đi m b ng 2
c) Ti p tuy n đi qua đi m M(3; 2)
Bài 7 Cho hàm s
4 2
5 2
-=
x
x
y Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th bi t:
a) Ti p tuy n có h s góc k = 8
b) Ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng d: y = – 2x + 2011
c) Ti p tuy n đi qua đi m M(2;– 2)
Bài 8 Cho hàm s y=x4 -(m+2)x3 -9mx2 +3x-2m
Tìm m đ ph ng trình y’’ = 0 có hai nghi m phân bi t x 1 , x 2 th a: 2x 1 + x 2 – 1 = 0
Trang 5HèNH H C
Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O; SA ^ (ABCD) G i H, I, K l n l t
là hỡnh chi u vuụng gúc c a đi m A trờn SB, SC, SD
a) Ch ng minh r ng BC ^ ( SAB); CD ^ (SAD); BD ^ (SAC)
b) Ch ng minh r ng AH, AK cựng vuụng gúc v i SC T đú suy ra ba đ ng th ng AH, AI, AK cựng
ch a trong m t m t ph ng
c) Ch ng minh r ng HK ^ (SAC) T đú suy ra HK ^ AI
d) Cho AB = a, SA = a 2 Tớnh di n tớch tam giỏc AHK và gúc gi a hai đ ng th ng SD và BC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC=2a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng ABC
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c) Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD, cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng c nh 2a; SA ^(ABCD); tan c a gúc h p b i
c nh bờn SC và m t ph ng ch a đỏy b ng 3 24
a) Ch ng minh tam giỏc SBC vuụng
b) Ch ng minh BD ^ SC và (SCD)^(SAD)
c) Tớnh kho ng cỏch t đi m A đ n m t ph ng (SCB)
Bài 4 Cho hỡnh chúp t giỏc đ u S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng c nh a G i E là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC
a) Ch ng minh MN^BD
b) Tớnh kho ng cỏch gi a hai đ ng th ng MN và AC theo a
Bài 5 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang, Hai gúc ABC và BAD b ng 900
, BA = BC = a,
AD = 2a C nh bờn SA vuụng gúc v i đỏy và SA = a 2 G i H là hỡnh chi u vuụng gúc c a A trờn SB
a) Ch ng minh tam giỏc SCD vuụng
b) Tớnh kho ng cỏch t H đ n m t ph ng (SCD)
Bài 6 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh ch nh t v i AB = a, AD = a 2, SA = a và
SA ^(ABCD) G i M, N l n l t là trung đi m c a AD và SC; I là giao đi m c a BM và AC
a) Ch ng minh (SAC) ^(SMB)
b) Tớnh di n tớch tam giỏc NIB
Bài 7 Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đ u c nh a, SA = 2a và SA^(ABC) G i
M, N l n l t là hỡnh chi u vuụng gúc c a A trờn cỏc đ ng th ng SB và SC,
a) Tớnh di n tớch t giỏc BCNM
b) Tớnh gúc gi a hai m t ph ng (ABC) và (SBC)
Bài 8 Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ cú AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a 5và gúc BAC = 1200 G i M là trung đi m c a c nh CC’
a) Ch ng minh MB^MA’
b) Tớnh kho ng cỏch t đi m A đ n mp(A’BM)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều,
2
SC=a Gọi H và K lần l- ợt là trung điểm của AB và AD
Bài 10 Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc gi a hai mp(SBC) và (ABC) b ng 600
, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đ u c nh a Tớnh kho ng cỏch t B đ n mp(SAC)
Bài 11 Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng, AB = AC = a, AA’ = a 2 G i
M, N l n l t là trung đi m c a đo n AA’ và BC’
a) Ch ng minh MN là đo n vuụng gúc chung c a cỏc đ ng th ng AA’ và BC’
b) Tớnh di n tớch tam giỏc A’BC’ và gúc gi a hai đ ng th ng AC’ và BB’
Trang 6TR NG THPT THI H C K II N M H C 2010 - 2011
T TOÁN Th i gian làm bài : 90 phút
H và tên :
L p :
A PH N CHUNG (Dành cho t t c các h c sinh)
Câu 1: (3 đi m) Tính các gi i h n sau:
a/
3
lim
n n
n n
2 2
lim
® ®
2
Câu 2: (1 đi m) Cho hàm s :
2
7 12
x
ï
-ï
-î
Xét tính liên t c c a hàm s trên t p xác đ nh
Câu 3: (3 đi m) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, có c nh đáy b ng a, c nh bên b ng 2a G i O là
tâm c a hình vuông
1 Ch ng minh SO^(ABCD), BD^SA
2 G i M, N l n l t là trung đi m AD và BC Ch ng minh (SMN)^(SBC)
3 Tính tan c a góc gi a (SAB) và m t đáy (ABCD)
B PH N T CH N (Dành riêng cho h c sinh t ng ban)
H c sinh h c Ban nào ch n ph n dành riêng cho Ban h c đó
I Dành cho h c sinh Ban nâng cao
Câu 4A (1 đi m) Ba s d ng có t ng b ng 9, l p thành m t c p s c ng N u gi nguyên s th nh t
và s th hai, c ng thêm 4 vào s th ba thì đ c ba s l p thành m t c p s nhân Tìm ba s đó
Câu 5A (1 đi m)
a) Ch ng minh đ o hàm c a hàm s sau không ph thu c vào x:
y sin x cos x cos 2x
4
2
x y x
+
=
- Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s đã cho, bi t tti p tuy n đó song song v i đ ng th ng (d) :y= -9x+22
II Dành cho h c sinh Ban c b n
Câu 4B (1 đi m) Tính đ o hàm c a các hàm s sau:
3
x
y
x
+
=
3
y= sin x c- x+ x
Câu 5B Cho hàm s
x x
a) (1đi m) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s đã cho t i giao đi m c a đ th v i tr c tung
b) (1đi m) Gi i b t ph ng trình: y ³' 2
********* H t *********
n u x¹3
n u x = 3
Trang 7s 1 THI TH H C KÌ 2 – N m h c 2010 – 2011 Môn TOÁN L p 11
Th i gian làm bài 90 phút
I Ph n chung: (7,0 đi m)
Câu 1: (2,0 đi m) Tìm các gi i h n sau:
3
lim
x x 0
1 1 lim
® +
-Câu 2: (1,0 đi m) Tìm m đ hàm s sau liên t c t i đi m x = 1:
x x khi x
m khi x
2
1
1
= í
î
Câu 3: (1,0 đi m) Tính đ o hàm c a các hàm s sau:
Câu 4: (3,0 đi m) Cho tam giác đ u ABC c nh b ng a Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng
(ABC) t i B, ta l y m t đi m M sao cho MB = 2a G i I là trung đi m c a BC
a) (1,0 đi m) Ch ng minh r ng AI ^ (MBC)
b) (1,0 đi m) Tính góc h p b i đ ng th ng IM v i m t ph ng (ABC)
c) (1,0 đi m) Tính kho ng cách t đi m B đ n m t ph ng (MAI)
II Ph n riêng: (3,0 đi m) Thí sinh ch đ c ch n m t trong hai ph n sau:
1 Theo ch ng trình Chu n
Câu 5a: (1,0 đi m) Ch ng minh r ng ph ng trình sau có ít nh t 1 nghi m:
Câu 6a: (2 đi m) Cho hàm s y f x= ( )=x3-3x2-9x+ 5
a) Gi i b t ph ng trình: y 0¢ ³
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s t i đi m có hoành đ b ng 1
2 Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 đi m) Ch ng minh r ng ph ng trình sau có đúng 3 nghi m:
Câu 6b: (2,0 đi m) Cho hàm s y f x= ( )=x3+x2+ - x 5
a) Gi i b t ph ng trình: y 6¢ £
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s , bi t ti p tuy n có h s góc b ng 6
––––––––––––––––––––H t–––––––––––––––––––
H và tên thí sinh: SBD :
Trang 8s 2 THI TH H C KÌ 2 – N m h c 2010 – 2011 Môn TOÁN L p 11
Th i gian làm bài 90 phút
I Ph n chung: (7,0 đi m)
Câu 1: (2,0 đi m) Tìm các gi i h n sau:
a)
x
x
3
3 lim
®
x x 1
3 2 lim
1
®
+
-Câu 2: (1,0 đi m) Tìm a đ hàm s sau liên t c t i x = –1:
-= í +
î
Câu 3: (1,0 đi m) Tính đ o hàm c a các hàm s sau:
a) y=(x2+x)(5 3 )- x2 b) y= sinx+2x
Câu 4: (3,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a và SA ^ (ABCD)
a) Ch ng minh BD ^ SC
b) Ch ng minh (SAB) ^ (SBC)
c) Cho SA = a 6
3 Tính góc gi a SC và m t ph ng (ABCD)
II Ph n riêng
1 Theo ch ng trình Chu n
Câu 5a: (1,0 đi m) Ch ng minh r ng ph ng trình sau có nghi m:
Câu 6a: (2,0 đi m) Cho hàm s y= -2x3+x2+5x-7 có đ th (C)
a) Gi i b t ph ng trình: 2y¢ + > 6 0
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m có hoành đ x0 = - 1
2 Theo ch ng trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 đi m) Ch ng minh r ng ph ng trình sau có ít nh t hai nghi m:
4x4+2x2- - =x 3 0
Câu 6b: (2,0 đi m) Cho hàm s y x x= 2( +1) có đ th (C)
a) Gi i b t ph ng trình: y 0¢ £
b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng d: y=5x
-H t -
H và tên thí sinh: SBD :