XAC SUAT THONG KE

Một tập hợp thường được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa A, B,C, X, Y, … Khi nói đến một tập hợp nào đó, ta hiểu rằng điều đó có liên quan đến nhiều đối tượng người, vật, số, hình, .v.v

Chương I

SƠ GIẢN VỀ LÍ THUYẾT TẬP HỢP

A TẬP HỢP

§1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP

I- Khái niệm tập hợp.

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa Để làm sáng tỏ nội dung của khái niệm này, ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ: 1) Tập hợp trẻ em trong một lớp mẫu giáo

2) Tập hợp các đồ chơi xếp trong tủ

3) Tập hợp các tranh ảnh treo trên tường

4) Tập hợp các lớp trong một trường mầm non

5) Tập hợp N các số tự nhiên

6) Tập hợp Z các số nguyên

II- Phần tử của tập hợp, kí hiệu.

Một tập hợp thường được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa A, B,C, X, Y, … Khi nói đến một tập hợp nào đó, ta hiểu rằng điều đó có liên quan đến nhiều đối tượng (người, vật, số, hình, v.v ) nhất định Các đối tượng trong tập hợp A được gọi là các phần tử của A Phần tử của một tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in thường: a, b, …

Ví dụ: 3∈N, -2∈Z

3

2

Z

III- Các cách xác định một tập hợp.

Xác định một tập hợp là xác định các phần tử của nó Nói cách khác, một tập hợp X là xác định nếu ta có thể nói: với một vật x bất kì đã cho có thuộc X hay không ?

Một tập hợp có thể xác định bởi các cách sau:

Ví dụ 1: X = { An, Bình, Cúc }

Y = { a, b, c, d }

Ví dụ 2: Gọi N là tập hợp các số tự nhiên

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, n, … }

Ví dụ 3: Tập hợp Z các số nguyên có thể biểu diễn như sau:

Z = { …, -n, … -2, -1, 0, 1, 2, …, n, … }

b) Chỉ ra tính chất đặc trưng xác định các phần tử của tập hợp

Ví dụ 1 Tập hợp các số nguyên chẵn:

A = { x∈Z│x là số chẵn }

Ví dụ 2 Tập hợp các số tự nhiên là bội của số 3:

B = { n∈N│n chia hết cho 3 }

Ví dụ 3 Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 2x – 3 = 0

C = { x∈R│x2 + 2x – 3 = 0 }

Một cách tổng quát: Các phần tử của X được xác định bằng một tính chất chung T, ta viết:

X = { x│x có tính chất T }

c) Xác định bằng hình vẽ

Người ta thường biểu diễn một tập hợp bằng một miền phẳng, giới hạn bằng một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven

IV- Tập hợp rỗng, tập hợp con, tập hợp bằng nhau, quan hệ bao hàm

1 Tập hợp rỗng, tập hợp đơn tử.

a) Có những tập hợp không chứa phần tử nào Ví dụ: Tập hợ các số nguyên tố chẵn lớn hơn 3, tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 2 = 0 Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng và được kí hiệu là ∅

b) Tập hợp có duy nhất một phàn tử gọi là tập hợp đơn tử Nếu tập hợp đơn tử X chứa phần tử duy nhất x, ta viết X = { x }

2 Hai tập hợp bằng nhau.

Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu mỗi phần

tử của tập hợp A cũng là phần tử của tập hợp B và ngược lại

Ta có thể diễn đạt định nghĩa trên bằng các kí hiệu:

A = B khi và chỉ khi x∈A kéo theo x∈B và y∈B kéo theo y∈A

Ví dụ: Cho X = { 3, 4, 5, 12 }

A là tập hợp các số chẵn trong X

B là tập hợp các số trong X chia hết cho 4

Ta thấy A = B bởi vì: A = { 4, 12 } và B = { 4, 12 }

3 Tập hợp con, quan hệ bao hàm

Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B, kí hiệu A⊂ B, nếu mọi phần tử của A đều thuộc B

A⊂ B khi và chỉ khi x∈A kéo theo x∈B

Nếu A là bộ phận của B và A, B là hai tập hợp không bằng nhau thì ta nói A là bộ phận thực sự của B

Ví dụ:

a

1/ Tập hợp các búp bê ở trong đồ chơi là tập hợp con của tập hợp đồ chơi xếp trong tủ 2/ Tập hợp các chữ { S, I, Đ, A } là tập hợp con của tập hợp các chữ cái trong bẳng

chữ cái tiếng Việt

3/ Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập hợp con của tập hợp N các số tự nhiên

4/ Tập hợp các hình vuông là tập hợp con của tập hợp các hình chữ nhật

Ta coi tập rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp Φ ⊂ A với mọi tập hợp A

Chú ý về các tính chất của quan hệ bao hàm:

b) Nếu A là một tập hợp con của B và B lại là một tập hợp con của C thì A là tập hợp con của C

A⊂ B và B⊂ C thì A⊂ C

c) Nếu A là một tập hợp con của B và B lại là một tập hợp con của A thì A = B

§2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP I- Hợp của hai tập hợp.

Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B, là tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B

A ∪ B = { x│x∈ A hoặc x∈ B }

Ví dụ:

1/ A = { 2, 3, 4, 5 }

B = { 4, 5, 6, 8 }

A ∪ B = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

2/ X = { x∈Z│x có tận cùng là 0 }

Y = { x∈Z│x có tận cùng là 5 }

X ∪ Y = { x∈Z│x chia hết cho 5 }

3/ A = { x∈N│x lẻ }

B = { x∈N│x chẵn }

A ∪ B = N

II- Giao của hai tập hợp.

Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B, là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B

A ∩ B = { x│x∈ A và x∈ B }

Ví dụ:

1/ A = { 2, 3, 5, 7 }

B = { 3, 1, 7, 4, 9 }

A ∩ B = { 3, 7 }

2/ A = { x∈N│x  3 }

A ∩ B = { x∈N│x  15 }

Nếu A ∩ B = ∅ thì ta nói A và B rời nhau

Ví dụ: A là tập hợp các số tự nhiên chẵn

A là tập hợp các số tự nhiên lẻ

A ∩ B = ∅

III – Các tính chất của phép hợp và phép giao

Đối với các tập hợp tuỳ ý A, B, C ta luôn có:

1 Tính chất giao hoán

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

2 Tính chất kết hợp

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3 Tính chất phân phối

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Phép giao phân phối đối với phép hợp b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Phép hợp phân phối đối với phép giao

Chứng minh: Các tính chất 1 và 2 suy được ngay từ định nghĩa Ta chứng minh tính

chất 3a:

Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C), tức là x ∈ A và x ∈ (B ∪ C) Điều này nghĩa là x ∈

A và x thuộc ít nhất một trong hai tập hợp B, C

Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B

Nếu x ∈ A và x ∈ C thì x ∈ A ∩ C

Do đó x thuộc A ∩ B hoặc A ∩ C

Vậy x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Đảo lại, giả sử x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) tức là x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C Nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B

Nếu x ∈ A ∩ C thì x ∈ A và x ∈ C

Như vậy luôn có x ∈ A và x thuộc B hoặc C, tức là x ∈ A và x ∈ B ∪ C Do

đó x ∈ A ∩ (B ∪ C)

Vậy A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Tính chất 3b chứng minh tương tự

IV- Hiệu của hai tập hợp.

Định nghĩa: Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng

không thuộc B Kí hiệu A \ B (hoặc A – B)

A \ B = { x│x∈ A và x∉ B }

Ví dụ:

1/ A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 3, 4, 5, 6 }

A \ B = { 1, 2 }

2/ B là tập hợp các số nguyên dương, thế thì Z \ B là tập hợp các số nguyên bé hơn hoặc bằng 0 hay Z \ B = { x∈Z│x ≤ 0 }

Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau thì A \ B = A

Ví dụ: A = { a, b, c }

Nếu A ⊂ B thì A \ B = ∅

Phần bù: A ⊂ B thì hiệu A \ B gọi là phần bù của B đối với A và kí hiệu CA(B)

Ví dụ:

1/ A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 2, 4 }

CA(B) = { 1, 3, 5 }

2/ A là tập hợp các số tự nhiên chẵn thì CN(A) là tập hợp các số tự nhiên lẽ

V- Tích Đề các

1 Cặp thứ tự.

Cho hai tập hợp A và B, với a là một phần tử tuỳ ý của A, b là một phần tử tuỳ ý của B Ta xét một phần tử mới, kí hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b) Hai cặp (a, b) = (a’, b’) nếu và chỉ nếu a = a’ và b = b’

Đặc biệt ta có (a, b) = (b, a) nếu và chỉ nếu a = b Điều này lưu ý đến thứ tự của

2 phần tử trong một cặp

2 Định nghĩa:

Tích Đề - các của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm các cặp (a , b) với a ∈ A

và b ∈ B Kí hiệu A × B

A × B = { (a, b)│ a ∈ A, b ∈ B }

3 Ví dụ: A = { a, b, c }

B = { 1, 2 }

A × B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

B × A = { (1, a), (2, a), (1, b), (2, b), (1, c), (2, c) }

4 Bình phương Đề-các

và kí hiệu là A2

Ví dụ: A = { 1, 2, 3 }

A2 = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) }

5 Tích Đề-các của nhiều tập hợp.

Tích Đề-các của ba tập hợp A, B, C, kí hiệu A × B × C là tập hợp các bộ ba theo thứ tự (a, b, c) với a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C

A × B × C = { (a, b, c)│a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }

Tích Đề-các của n tập hợp A1, A2, …, An ký hiệu là A1×A2 ×A3 ×…×An là tập hợp các bộ n phần tử theo thứ tự (a1, a2, …, an) với ai ∈ Ai, i = 1, 2, 3, …, n

A1×A2 ×A3 ×…×An = { (a1, a2, …, an)│ai ∈ Ai, (i = 1, 2, 3, …, n) }

BÀI TẬP

1 Gọi Z là tập hợp các số nguyên, dùng tính chất đặc trưng biểu diễn:

a) Tập hợp các số nguyên là bội của 7

b) Tập hợp các số nguyên chia cho 7 dư 2

2 Viết các tập hợp sau đây theo phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp: a) Tập hợp các nghiệm của phương trình x2 – 3x + 2 = 0

b) Tập hợp các nghiệm của phương trình (x – 1)(x + 2) = 0

c) X = { x∈N│x + 2 ≤ 10 }

d) Y = { x∈Z│- 2 < x ≤ 3 }

3 Biểu diễn các tập hợp sau bằng cách xác định tính chất đặc trưng của các phần tử:

a) A = { 0, 4, 8, 12 }

b) B = { 1, 4, 7, 10, … }

4 Hãy xác định quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau:

a) A là tập hợp trẻ em trong một trường mẫu giáo vả B là tập hợp trẻ em trai trong trường mẫu giáo đó

b) Tập hợp N các số tự nhiên, tập hợp Z các số nguyên, tập hợp Q các số hữu tỉ, tập hợp R các số thực

c) A là tập hợp các hình bình hành, B là tập hợp các hình chữ nhật, C là tập hợp các hình vuông

5 Viết các tập hợp con của mỗi tập hợp sau:

a) A = { 1 }

b) B = { 1, 2 }

c) C = { 1, 2, 3 }

6 Một lớp mẫu giáo có 24 trẻ em, trong đó có 8 trẻ em thi hát, 10 trẻ em thi kể chuyện, 3 trẻ vừa thi hát vừa thi kể chuyện Hỏi có mấy trẻ không thi cả hát và kể chuyện

7 Gọi X là tập hợp các ước số của 6, Y là tập hợp các ước số của 8 Hãy xác định X ∩ Y, X ∪ Y

8 Cho các tập hợp: A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 3, 4, 5, 6 }

Tìm A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, (A ∪ B) ∩ C, A ∪ (B ∩ C)

9 Hãy xác định A ∪ B và A ∩ B với

a) A = { x∈R│x > 3 }

B = { x∈R│x < 5 }

b) A = { x∈R│x > 3 }

B = { x∈R│x > 5 }

10 Cho A = { 2, 4, 6, 8 }

B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

Viết các tập hợp A \ B, B \ A

11 Viết phần bù trong R của các tập hợp sau:

X = { x∈R│- 1 ≤ x < 1 }

Y = { x∈R│ x > 3 }

12 Viết tập hợp tích Đề-các A × B, và biểu diễn các phần tử của tích trên mặt phẳng toạ độ

a) A = { a, b } ; B = { 1, 2, 3 }

b) A = B = { 2 ,4, 6 }

B QUAN HỆ HAI NGÔI

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT I- Định nghĩa:

Giả sử A là một tập hợp Một quan hệ hai ngôi trong A là một tập hợp con của tích Đề-các A ×A

Nếu (a, b) ∈ R thì ta nói rằng a và b nằm trong quan hệ và thường viết a R b

II- Ví dụ:

1/ Trên tập hợp N các số tự nhiên ta xác định quan hệ R1 như sau: “a có quan hệ

R1 với b nếu và chỉ nếu a là ước số của b”

Đó là một quan hệ hai ngôi

Ta thấy R1 bao gồm những cặp số (a, b) mà a là ước số của b, chẳng hạn (3, 6),

2/ Quan hệ bằng nhau (=) của các phàn tử trong tập hợp A bất kì (a, b) ∈ R2 nếu

a = b

3/ Gọi R3 là quan hệ bé hơn hay bằng thông thường (≤) trong tập N các số tự nhiên

4/ Quan hệ vuông góc của các đường thẳng trong mặt phẳng (P) đã cho

(a, b) ∈ R4 nếu a ⊥ b

R4 = { (a, b)│a ⊥ b; a, b ∈ (P) }

5/ Trên tập hợp N các số tự nhiên, xác định quan hệ R5; x đứng liền trước y khi

và chỉ khi y = x + 1

III- Các tính chất thường gặp của một quan hệ hai ngôi

a) Phản xạ: Một quan hệ hai ngôi R trong tạp hợp A là phản xạ nếu với mọi

a ∈A, (a, a) ∈ R

Trong các ví dụ trên, các quan hệ R1, R2, R3 có tính chất phản xạ, còn R4, R5

không có tính chất phản xạ

b) Đối xứng: Một quan hệ hai ngôi R trong tập hợp A là đối xứng nếu với mọi

phần tử a, b ∈ A, từ (a, b) ∈ R suy ra (b, a) ∈ R

Trong các ví dụ trên, các quan hệ R2, R4 có tính chất đối xứng, còn R1, R3 không

có tính chất đối xứng

c) Phản đối xứng: Một quan hệ hai ngôi R trong tập hợp A là phản đối xứng nếu

với mọi phần tử a, b ∈ A, từ (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R suy ra a = b

Trong các ví dụ trên, các quan hệ R1, R2, R3 có tính chất phản đối xứng, còn R4,

R5 không có tính chất phản đối xứng

d) Bắc cầu: Một quan hệ hai ngôi R trong tập hợp A là bắc cầu nếu với mọi phần

tử a, b, c ∈ A, từ (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R suy ra (a, c) ∈ R

Trong các ví dụ trên, các quan hệ R1, R2, R3 có tính chất bắc cầu, còn R4, R5

không có tính chất bắc cầu

§2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG - SỰ CHIA LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG

I- Quan hệ tương đương.

Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi R trong tập hợp A được gọi là quan hệ tương

đương nếu nó có tính chất:

a) Phản xạ: ∀a ∈ A, a R a

b) Đối xứng: ∀a, b ∈ A, nếu a R b thì b R a

c) Bắc cầu: ∀a, b, c ∈ A nếu a R b và b R c thì a R c

Ví dụ:

1/ Quan hệ bằng nhau (=) của các phần tử trong tập hợp A bất kì (a, b) ∈ R nếu

a = b Ta có thể kiểm nghiệm được quan hệ này có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên nó là một quan hệ tương đương

2/ Trong tập hợp Z các số nguyên xác định quan hệ như sau: Hai số nguyên a và

b nằm trong quan hệ R nếu hiệu a – b chia hết cho 3

R6 = { (a, b) ∈ Z2│a – b = k 3; k ∈ Z } R6 là quan hệ tương đương.

3/ Giả sử X là tập hợp tất cả các trẻ em của một trường mầm non

Ta nói rằng hai cháu x và y nằm trong quan hệ R, nếu chúng học trong cùng một lớp (với giả thiết mỗi cháu học trong 1 và chỉ 1 lớp)

Vậy R7 = { (x, y) ∈ X2│x và y học cùng một lớp }

đương

II- Sự chia lớp tương đương.

1 Định nghĩa: Giả sử R là một quan hệ tương đương trong tập A Ta gọi là lớp tương

nằm trong quan hệ R với a, và kí hiệu [ ]a hoặc a

[ ]a = { x ∈ A│(x, a) ∈ R }

Mỗi lớp tương đương cảu phần tử a là một tập hợp con của A.

2 Tính chất:

Các lớp tương đương [ ]a của phần thử a theo quan hệ ~ có các tính chất sau: a) ∀a ∈ A, [ ]a ≠ ∅

Thật vậy, vì a ~a nên luôn có a ∈ [ ]a

b) Hai lớp tương đương hoặc trùng nhau hoặc rời nhau

Giả sử [ ]a ∩ [ ]b ≠ ∅ khi đó tồn tại x∈ A sao cho x∈ [ ]a ∩ [ ]b nghĩa là x∈ [ ]a và x∈ [ ]b hay x~a và x~b Từ đó theo tính chất bắc cầu và tính chất đối xứng ta có a~b suy ra [ ]a = [ ]b

Ta thấy một lớp tương dương được xác định bởi bất kì phần tử nào của nó Ta gọi một phần tử của lớp tương đương là một đại diện của lớp đó

3 Tập thương:

Theo các tính chất trên, khi trên tập A có xác định một quan hệ tương đương ~, thì tập hợp A được chia thành các lớp tương đương khác rỗng và đôi một không giao nhau Tập hợp các lớp tương đương đó gọi là tập thương của A trên quan hệ tương đương ~, và kí hiệu A/~

A/~ = { [ ]a │ x ∈ A }

Ví dụ: Xét quan hệ “đồng dư theo mô đun 3” trên tập hợp N các số tự nhiên như sau: Với a, b ∈ N, nếu khi chia a và b cho 3 ta được cuùng một số dư thì ta nói rằng a

và 11 khi chia cho 3 đều có dư là 2 Đó là một quan hệ tương đương

Tương tự với quan hệ này, tập hợp N được chia thành 3 lớp tương đương:

[ ]0 = { 0, 3, 6, 9, … } = { 3n| n ∈ N }

[ ]1 = { 1, 4, 7, 10, … } = { 3n + 1| n ∈ N }

[ ]2 = { 2, 5, 8, 11, … } = { 3n + 2| n ∈ N }

Vậy tập thương N/≡ (mod3) gồm 3 phần tử là [ ]0 , [ ]1 , [ ]2

§3 QUAN HỆ THỨ TỰ

1 Định nghĩa 1:

Một quan hệ hai ngôi R trong tập hợp A được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các tính chất:

a) Phản xạ: ∀a ∈ A, a R a

b) Đối xứng: ∀a, b ∈ A, nếu a R b thì b R a thì a = b.

c) Bắc cầu: ∀a, b, c ∈ A nếu a R b và b R c thì a R c

Một tập hợp mà trong đó có một quan hệ thứ tự được gọi là tập hợp sắp thứ tự Hai phần tử a và b của tập hợp sắp thứ tự A được gọi là so sánh được nếu a < b hoặc b < a Nếu tất cả các phần tử của A đều so sánh được từng đôi một thì thứ tự trong A được gọi là thứ tự toàn phần

Ví dụ1: Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường (≤) trên tập hợp số tự nhiên

N là một quan hệ thứ tự

Ví dụ 2: Quan hệ chia hết trong tập hợp N* các số tự nhiên: a chia hết b khi và chỉ khi có c ∈ N* để b = ac Đó là một quan hệ thứ tự

2 Định nghĩa 2:

Giả sử (<) là một quan hệ thứ tự trong tập hợp A, phần tử a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) của A nếu quan hệ x < a (a < x) kéo theo x = a

Ví dụ: Trong tập hợp R+ các số thực không âm với quan hệ thứ tự thông thường

có phần tử tối tiểu là 0, không có phần tử tối đại

3 Định nghĩa 3:

Giả sử (<) là một quan hệ thứ tự trong tập A Một phần tử a ∈ A được gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) nếu với mọi a ∈ A , a < x (x < a)

Ví dụ: Số 0 trong tập hợp R+ các số thực không âm với quan hệ thứ tự thông thường là phần tử bé nhất

Phần tử bé nhất (lớn nhất) trong tập hợp sắp thứ tự A bao giờ cũng là phần tử tối tiểu (tối đại) Tuy nhiên điều ngược lại không phải bao giờ cũng đúng

BÀI TẬP

1 Cho tập hợp A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

a) Quan hệ bằng nhau trong A được xác định bởi tập con nào của bình phương Đề-các

A2

b) Tập hợp R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) }

Xác định quan hệ hai ngôi nào trong A

2 Cho X là tập hợp tất cả các trẻ em trong một lớp mẫu giáo, các quan hệ sau đây, quan hệ nào là quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự:

a) a R b khi và chỉ khi a và b cùng tuổi

b) a * b khi và chỉ khi a và b cùng ngồi một bàn

c) a T b khi và chỉ khi a không cao hơn b

3 Trên tạp hợp N các số tự nhiên, xác định quan hệ R như sau: a R b khi và chỉ khi a

và b có cùng chữ số hàng đơn vị (∀a,b ∈ N)

Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương và tìm tập thương N/R

4 Cho tập hợp A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , trên A xác định quan hệ * như sau:

a * b khi và chỉ khi a và b chia cho 3 có cùng một đồng dư Chứng minh rằng * là một quan hệ tương đương Hãy viết các lớp tương đương xác định bởi *