Giáo án Xác suất thống kê thầy Trần An Hải 3

Ví dụ: khi xét điểm thi đại học toàn quoc khoi A, ta can biét điểm tập trung vào con sô nào và sự phân tán của điểm so với con số ay.. Các bnn X, Y được gọi là “g ci quy luật ppoxs

TRAN AN HAI

CR XK)

s» TUẦN 3 ca

HÀ NỘI - 2009

BIEN NGAU NHIEN

oo sccescceccs tiép theo

§3 = CAC THAM SO DAC TRUNG

CUA BIEN NGAU NHIEN

Trên thực tê, nhiêu khi ta cân biét nhieng théng tin

cô đọng phản ánh những đặc điểm quan trọng nhật của một bnn Ví dụ: khi xét điểm thi đại học

toàn quoc khoi A, ta can biét điểm tập trung vào

con sô nào và sự phân tán của điểm so với con số

ay Những thông | tin | Kieu nay duoc goi la cac

PHO DIEM TOAN QUOC 2002

Số trường khảo sỏt: 102, tổng số dự thi: 823,854

*đụ^~Ở^*J^*J^*“3 *”**h**SJ“h*đẽ S6 S Sẽ St rpUĐ 1S Shh N Đổ Sổ h CS ShHhẽẻ S8 Sẽ S nh rp^ "^^ S^Đ1N3UĐĐđ*ðh rere reer ere

-Ÿ- sỔU( Ằ Ằ Ằ 1 Ằ CC CẰ Ằ ẰCẰCẰ6Ằ 6 su Ằ Ằ Ằ ch“ GẰ Ằ Ằ Ằ Ổ 6 Ằ Ằ Ằ Ằ csỀU Ằ Ằ Ằ &

“ _.—pm_-.—-= _Ằ{ Ằ{Ằ{ẰẤÄẰẴ Ằ{Ằ{Ẵ (ẴCẰẴẪẰẲẴẲ{Ẳ@ẰẲẴẲẰ ẰđẰÄÃKX{ẴẰ{Ẵ p@ẰẰcẰẰcẰcẰc{cẰ{ằÍÁNÄ ẰSẰŠK,6ẹÄÃẴ {cẰ{Ẵ Ằ{ẴKẹẶ@&Ằ Ằ ẰẢ đ{ÀôĂ ôể,

“.=-.ẳễềẻsscecẲ-csS=eoecT-eẲẨ<eẲ-oẲ-eeosoeoœ>ososqt\soeo-oe-oes-=seso-oe Ẳ-cẲẲẨẲeẨ ~.~.~ ư n St tt we we we we we ee ee ee oh eee ee

® Mode

e Mode cua bnn X, ky hiệu la mod(X), la sé x*

được xác định như sau:

+ Nếu X rời rạc, thì biễn cô {X = x*} có xác

suất lớn nhất, tức là

P{X = x*} = max P{X = x;}

|

+ Nếu X liên tuc, thi x* la diém cuc dai cuia

ham mat do.

+ Nếu X rời rạc, thì đệ kiện trên chính là

(x; thuéc tap gia tri cua X)

Nếu lây sô đó = — = 0, thì sô đó không phản

ánh đúng thực tê là hầu như X nhận giá trị bằng 1

Sở dĩ như vậy là do trung bình cộng này chưa gắn quy luật poxs của X Ta đi tìm một con số khác tốt

hơn.

Giả str trong n lan quan sat X thay m, lan X = -1,

ms lan X = 1 Goi X là trung bình cộng của n giá

trị của X đã quan sát được, thì

“t= (tan suat X = -1), 2 = (tần suất X= 1)

s Ki vọng của bmn X, ky hiéu boi E(X), la một con

sô được xác định như sau

+ Nêu X là bnn roi rac voi P{X = x} = p;thi

E(X)= > X;Pj

|

+ Nêu X là bmn liên tục với hàm mật độ p(x) thì

E(X)= Íxp( x)dX

(E la viét tat cua expectation)

Chú ý E(X) không phải bao giờ cũng tôn tại

V7 I ong Đó là m Ot tiêu chu 4 nd é làm căn cứ khi lựa

chọn chiên lược kinh doanh.

Viện thiết kê Œ lập dự án cho 2 công ty A và B

*® Dự án này được A va B xét duyệt độc lập với xác

suất chấp nhận tương ứng là 0,7 và 0,8

*© Nêu A chấp nhận dự án thì trả € 4 triệu, còn

ngược lại thì trả 1 triệu

+ Nêu B chấp nhận dự án thì trả C 10 triệu, còn

ngược lai thi trả 3 triệu

¢ Chi phi cho lập dự án là 10 triệu và thuê 10%

doanh thu

€ có nên nhận thiết kê hay không ?

Tinh chat

e Néu X = const thi E(X)= X

se Với C = const thi E(CX) = CE(X)

e E(X£Y) = E(X)t E(Y), nêu về phải tôn tại

e E(XY) = E(X)- ` nêu Xvà Y độc lập

se F[f(X)] = Lx; )p;, néu X la bmn rời rac voi

P{X = Xj} = ÙÐ

E4] =_ [f(x)p(x)dx, nêu X là bmn liên tục với

—C<©

hàm mật độ là p(2).

Các bnn X, Y được gọi là

“g ci

quy luật ppoxs của bnn này không phụ thuộc gì vào

bmn kia nhận giá trị bằng bao nhiêu.

Đề khắc phục điêu này, ta có thể dùng E|X — EX

hoặc E[X— E(X)]ˆ để đo mức độ phân tán

° Phương sai của bnn X, ký hiệu bởi D(X), là

D(X) = E[X— E(X)]

+ Nêu X là bnn roi rac voi P{X = x} = p;thi

+ Nêu X là bmn liên tục với hàm mật độ p(x) thì

D(X) = [(x- ELX)Ÿ p(x)dx.

X 65 | 67 | 68 | 69 | 70 71 13 P| 0,04 | 0,12 | 0,16 | 0,28 | 0,24 | 0,08 | 0,08

P 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08

E(X)=69,16% D(X) =3,0944 E(Y)=68,72% D(Y) = 1,8016

Nêu chọn phương án đầu tư sao cho tỉ lệ thu hồi

vôn kỳ vọng cao hơn thì chọn Ä

Nêu chọn phương án đâu tư sao cho độ rủi ro của tỉ

lệ thu hôi vôn thap horn thi chon B.

Chu ý

s Phương sai của X còn dug ky hiéu la V(X)

(V việt tắt của variance)

e Tinh D(X) theo cong thuc sau day thuan loi hon

D(X) = E(X*) — [E(X)Ï

e D(X) khong phải bao giờ cũng tôn tại

Tính chất

Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương

đơn vị đo của bnn Vì vậy đê đo độ phân tán

của bnn theo đơn vị của nó người ta dùng độ

lệch chuân

‹ Độ lệch chuẩn của bnn X, ký hiệu bởi ơx,

là D(X).

§4 = MOT SO QUY LUẬT PPXS THONG DUNG

@ Phân bồ nhị thức

Ví dụ

Kiém tra 100 sản phẩm của một nhà máy theo kiểu có

hoàn lại Ta thây

> Có dãy 100 phép thử với kết quả của mỗi phép

thử là

A = “Chính phẩm”, A = “Phê phẩm”

Chúng có xác suất không đổi qua mỗi lần kiểm tra

> Kết quả của mỗi lần kiểm tra không ảnh hưởng

đên các kêt quả của những lân kiêm tra còn lại.

Tổng quát hóa ta có định nghĩa

° Một dãy n phép thử được gọi là độc lập nêu các

kêt quả của môi phép thử không ảnh hưởng đên két qua của những phép thử còn lại

s Một dãy n phép thử độc lập được gọi là một

lược đồ Bernouillï khi thỏa 2 điêu kiện:

+ Mỗi phép thử chỉ xét tới biên cỗ A và A

« P(A) = ptrong mỗi phép thử.

Ta xét một lược đô Bernoull

Trường hợp tổng quát

Chứng minh tương tự trường hợp trên, ta có:

Quy luật ppxs của Xlà -

P{X = } = Cpq”ˆ(¡=0, 1, , n)

Ta nói X có phân bô nhị thức với tham số n, p Ta

ký hiệu X~ Bin, p) (B viét tat binomial

Đặc biệt, khi X~ B(1, p) ta nói X có phân bô không- một với tham sô p

Dinh ly

Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên Bush trong bau cử tổng thông là 60% Người ta hỏi ý kiễn 20 cử tri được chọn

một cách ngẫu nhiên Gọi X là số người bỏ phiêu cho

Bush trong 20 người đó

a) Tính số người bỏ phiêu có khả năng nhất và tính

trung bình số người bỏ phiêu trong 20 người trên

b) Tinh P{X< 10}, P{X>12}, P{X = 14}.

P{X = 11} = C59 0,6"' -0,4°

Muôn tra bang, ta dùng

H{X = 11} = F{X< †11)}- F{X< 10}

= 0,404 — 0,245 = 0,159 ©

Xét một tập gôm N đôi tượng, trong đó có M đôi tượng có tính chật Z và N-M đôi tượng không có tính chat g Chon ngau nhién n(n < M) déi twong

Ñ = =

iq PC ss AF FAM 8 lv § FUSS S š gf 8 Qok yến § y2 8

Ta có dãy n phép thử với kêt quả của mỗi phép

thử là

A = “Đôi tượng có tính chất 7’ va A Chúng có xác suất thay đổi qua mỗi phép thử

Trong dãy này kết quả của mỗi phép thử ảnh hưởng đến các kết quả của những phép thử khác nên dãy này không phải là lược đồ Bernoulli

Gọi X = số đôi tượng được chọn có tính chất Z

X co tap gia trị là {0, 1, 2, n} với quy luật phân

bô cho bởi

Dinh ly

Vi du

Trong 500 vé x6 số bán ra có 50 vé trúng thưởng Một người mua 20 vé Tính:

1) Xác suất đề anh ta có đúng 3 vé trúng thưởng;

2) Trung bình của số vé trúng thưởng

hợp có hoàn lại cho đơn giản.

Mét kho chtra san pham cua 2 xi nghiép A va B với tỉ lệ bằng nhau Tỉ lệ chính phâm của A, B lan

lượt là 80% và 85% Tính xác suất để trong 2 sản

phẩm lây ngẫu nhiên từ kho có đúng một chính phẩm

H, (¡ =1, 2, 3) là nhóm đây đủ