Khảo sat hàm bậc 3

Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3Khảo sat hàm bậc 3

1.Các bước khảo sát hàm đa thức bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a ¿

0)

B1 Tập xác định: D=R Tính các giới hạn: x→−∞lim y

và lim

x→+∞ y Chú ý

B2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: Tính y'

-Giải phương trình: y'=0 xét dấu y' đưa ra chiều biến thiên của hàm

số

-Đưa ra các giá trị cực đại,cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y'

)

- Lập bảng biến thiên:

B3 Đồ thị:

- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình

ax3+ bx2+ cx +d =0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta

không cần thực hiện bước này)

 Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm

nghiệm x I

và tính y I=f ( x I ) điểm I( xI; yI) là tâm đối xứng của đồ thị

- Lấy thêm một vài điểm (nếu cần)

Bảng giá trị

x T1 x1 x.u x2 T2

y ? ? ? ? ?

* Nếu a > 0 ⇒

lim

x →−∞ y = lim

x →−∞(ax 3+bx 2+cx+ d )=−∞

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞(ax 3+bx 2+cx+d )=+ ∞

* Nếu a < 0

⇒

lim

x →−∞ y = lim

x →−∞

(ax 3+bx 2+cx+d )=+∞

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞

(ax 3+bx 2+cx+d )=−∞

CĐ U CT Hay CT U CĐ

- Vẽ đồ thị

2 Cỏc vớ dụ.

Vớ dụ 1: Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 + 3x 2 – 4

Giải

1 Tập xỏc định: D=R

lim

x →−∞ y = lim

x →−∞

(x3+3 x2−4 )=−∞

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞(x3+3 x2−4 )=+∞

2 Sự biến thiờn:

- Chiều biến thiờn: y'=3 x2+6 x

Giải phương trỡnh: y'=0 ⇔3 x2+6 x=0 ⇔ ¿

- Bảng biến thiờn:

y

-∞

0 CĐ

-4 CT

+

∞

-Đồ thị hàm số đồng biến trờn khoảng: (−∞ ;−2)∪(0;+∞)

và nghịch biến trờn khoảng (- 2; 0)

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ⇒ yCĐ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ yCT = y(0) = -4

3 Đồ thị:

- Giao điểm với Oy:

Cho x = 0 ⇒ y = -4

- Giao với Ox:

Cho y = 0 giải phương trình:

x 3 + 3x 2 – 4 = 0 ⇒

[ x=1

[ x=−2 [

- Tâm đối xứng của đồ thị

y ''=6 x+6 ⇒ y ''=0 ⇒ 6 x+6=0

x = -1 ⇒ y = -2

Bảng giá trị:

x -3 -2 -1 0 1

y -4 0 -2 -4 0

CĐ U CT

y

1 -1

-2

O 1

-1 -2

-2

-3

-4

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=−x3+3 x2−4

GIẢI

1. Tập xác định: D=R ,

lim lim ( 3 4)

,

lim lim ( 3 4)

2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'3x26x

Giải phương trình: y'=0  3x2 6x 0

0 2

x x





  



- Bảng biến thiên:

-4

0 C

-∞

- Đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng: ( ;0) (2; )và đồng biến trên

khoảng (- 2; 0).

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ yCĐ = y(2) = 0

- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ yCT = y(0) = -4

3 Đồ thị - Giao điểm với Oy : x  0 y 4

- Giao điểm với Ox : y  0 x2 &x1

-Tõm đối xứng của đồ thị :

y''6x6  6x 6 0  x 1;y 2

Bảng giỏ trị:

x -1 0 1 2 3

y 0 -4 -2 0 -4

CT U CĐ

-2

-4

1

Vớ dụ 3: Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + 2

1.Tập xỏc định: D=R x →−∞lim y = lim

x →−∞

(x3+3 x2+3 x +2)=−∞

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞

(x3+3 x2+3 x +2)=+∞

2 Sự biến thiờn:

- Chiều biến thiờn: y'=3 x2+6 x+3

Giải phương trỡnh: y'=0 ⇔ 3 x2+6 x+3=0

⇒ phương trỡnh cú nghiệm kộp x1= x2=−1

y’ > 0 với mọi giá trị của x và y’(-1) = 0 ⇒ Hàm số luôn đồng biến

trên D

- Hàm số không có cực trị.

- Bảng biến thiên:

y

-∞

1

+

∞

*3.Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị (ĐIỂM UỐN ) y ''=6 x+6 ⇒ y ''=0 ⇒

6 x+6=0

x = -1 ⇒ y =1

- Bảng giá trị

x -2 -1 0

y 0 1 2

U -Vẽ đồ thị

x y

O 1 2

-1

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 4x +2

1.Tập xác định: D=R x →−∞lim y = lim

x →−∞

(−x3+3 x2−4 x +2 )=+ ∞

lim

x →+∞ y= lim

x →+∞

(−x3+3 x2−4 x +2)=−∞

2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'=-3x2+6x - 4

Giải phương trình : y’= 0 ⇔ -3x 2 +6x – 4 = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

⇒ y’< 0 ∀ x∈D ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên D

- Hàm số không có cực trị

- Bảng biến thiên:

+

∞

-y

+

∞

-∞

3.Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y ''=−6 x+6 ⇒ y ''=0 ⇒

−6 x+6=0

x = 1 ⇒ y =0

- Bảng giá trị:

x 0 1 2

y 2 0 -2

U

- Vẽ đồ thị:

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

O

1 2

Bài tương tự :Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số :

3 2

3 2

2 3

3

3 3

1.3 Tóm tắt các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a ¿ 0)

.

Phương trình

y’ = 0

có hai

nghiệm

phân biệt

x y

O

x y

O

Phương trình

y’ = 0

có nghiệm

kép

x y

O

x y

O

Phương trình

y’ = 0

vô nghiệm

x y

O

x y

O