Sơ đồ khảo sát hàm số 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + Tính đạo hàm y’. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số . Tìm cực trị . Tính các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) . Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên) 3. Đồ thị. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. Chú ý: 1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kỳ, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox 2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt là toạ độ các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. 3. Nên lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác. 1 . Hàm bậc ba : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) a. TXĐ : D = R b. Sự biến thiên : +. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x 2 + Bx + C ( Tính Δ ) , Sau đây là các khả năng có thể xảy ra : TH1: ⇒ y’ < 0 với mọi x ⎩ ⎨ ⎧ < <Δ 0A 0 ∈ R ⇒ HS nghịch biến trên R (1) TH2: ⇒ y’ > 0 với mọi x ⎩ ⎨ ⎧ > <Δ 0A 0 ∈ R ⇒ HS đồng biến trên R (2) TH3: ⇒ y’ ≤ 0 với mọi x ⎩ ⎨ ⎧ < =Δ 0A 0 ∈ R ⇒ HS nghịch biến trên R (3) TH4: ⇒ y’ ≥ 0 với mọi x ⎩ ⎨ ⎧ > =Δ 0A 0 ∈ R ⇒ HS đồng biến trên R (4) TH5, 6: Δ > 0 . Cho y’= 0 ⇔ (5) và (6) Căn cứ vào BBT để kết luận các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm ⎢ ⎣ ⎡ =⇒= =⇒= )x(fyxx )x(fyxx 22 11 +. Cực trị : * Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trị * TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x 1 và y CĐ = f(x 1 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 2 và y CT = f(x 2 ) * TH6: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 1 và y CT = f(x 1 ) Hàm số đạt cực đại tại x = x 2 và y CĐ = f(x 2 ) +. Giới hạn: a > 0 : -∞ , = ∞−→ Limy x = ∞+→ Limy x + ∞ ; a < 0 : +∞ , = ∞−→ Limy x = ∞+→ Limy x - ∞ +. Bảng biến thiên : (Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên ) c. Đồ thị : )x(f 1 ∞+ ∞− CT CÑ )x(f 2 ∞− ∞+ CÑ CT )x(f 1 )x(f 2 ∞+ ∞− + ∞+ ∞− x 'y y )1( ∞+ ∞− − ∞+ ∞− x 'y y )2( A2 B − ∞+ ∞− + ∞+ ∞− x 'y y )3( + 0 A2 B − ∞+ ∞− ∞+ ∞− x 'y y )4( 0 −− ∞+ ∞− + x 'y y )5( + 0 0 − 1 x 2 x ∞+ ∞− + x 'y y )6( + 0 0 − 1 x 2 x +. Điểm đặc biệt : Tìm gđ của đồ thị (C) với Ox và Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác +. Vẽ đồ thị : Gồm các bước : Vẽ hệ tục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thị . (Các dạng đồ thị ) )1( )2( )3( )4()5()6( Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) 32 34yx x =− + 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 6y xx =− + 2 0 '0 3 6 2 x yxx x = ⎡ =⇔ − ⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;0 μ 2;+v−∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 0; 2 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =y(0)=4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; y CT =y(2)=0 . Giới hạn () 32 3 3 34 lim lim 3 4 lim 1 xx x yxx x xx →−∞ →−∞ →−∞ ⎛⎞ =−+= ++= ⎜⎟ ⎝⎠ −∞ () 32 3 3 34 lim lim 3 4 lim 1 xx x yxx x xx →+∞ →+∞ →+∞ ⎛⎞ =−+= ++= ⎜⎟ ⎝⎠ +∞ . Bảng biến thiên. x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm (-1;0) và (2;0) 1 0 2 x y x =− ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;4) 04xy=⇒= Đồ thị có tâm đối xứng là I(1;2) 2) 32 31yx x=− + 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 6y xx=− + 2 0 '0 3 6 2 x yxx x = ⎡ =⇔ − ⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;0 μ 2;+v −∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 0; 2 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =y(0)=1 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; y CT =y(2)=-3 . Giới hạn () 32 3 3 31 lim lim 3 1 lim 1 xx x yxx x xx →−∞ →−∞ →−∞ ⎛⎞ =−+= ++= ⎜⎟ ⎝⎠ −∞ () 32 3 3 31 lim lim 3 1 lim 1 xx x yxx x xx →+∞ →+∞ →+∞ ⎛⎞ =−+= ++= ⎜⎟ ⎝⎠ +∞ . Bảng biến thiên. x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + y 1 +∞ −∞ -3 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox (nghiệm lẻ) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;1) 01x y=⇒= Đồ thị có tâm đối xứng là I(1;-1) 11 13 31 xy xy xy =⇒ =− =− ⇒ =− =⇒ = 3) 3 32yx x =− + 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 3yx =− + 2 1 '0 3 3 1 x yx x = ⎡ =⇔ −⇔ ⎢ = − ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;1 μ 1;+v −∞ − ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 1; 1− . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=-1; y CĐ =y(-1)=4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; y CT =y(1)=0 . Giới hạn lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ =+∞ . Bảng biến thiên. x −∞ -1 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;2) Đồ thị có tâm đối xứng là I(0;2) 24 20 xy xy =⇒= =− ⇒ = 4) 32 3y xx=− 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 6y xx=− + 2 0 '0 3 6 2 x yxx x = ⎡ =⇔ − ⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;0 μ 2;+v−∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 0; 2 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =y(0)=0 Hàm số đạt cực tiểu tại x=2; y CT =y(2)=-4 . Giới hạn lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ =+∞ . Bảng biến thiên. x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + y 0 +∞ −∞ -4 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (3;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;0) Đồ thị có tâm đối xứng là I(0;2) 12 14 xy xy =⇒ =− =− ⇒ =− 5) 32 3y xx=− 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 6y xx=+ + 0 '0 2 x y x = ⎡ =⇔ ⎢ =− ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;2 μ 0;+v−∞ − ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 2; 0− . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=-2; y CĐ =y(-2)=4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; y CT =y(0)=0 . Giới hạn lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ =+∞ . Bảng biến thiên. x −∞ -2 0 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (-3;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;0) Đồ thị có tâm đối xứng là I(-1;2) 14xy=⇒ = 6) 32 69y xx=− +x 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 12 9y xx=−+ + 1 '0 3 x y x = ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;1 μ 3;+v−∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 1; 3 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ =y(1)=4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3; y CT =y(3)=0 . Giới hạn ; lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ = +∞ . Bảng biến thiên. x −∞ 1 3 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 + ∞ 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (3;0) và điểm (0;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;0) Đồ thị có tâm đối xứng là I(2;2) 7) 32 23yx x=−+1 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '6 6y xx=− + 0 '0 1 x y x = ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;0 μ 1;+v−∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 0;1 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =1 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; y CT =0 . Giới hạn ; lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ = +∞ . Bảng biến thiên 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1;0) và điểm (-1/2;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;1) Đồ thị có tâm đối xứng là 11 ; 22 I ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 8) 3 2 23 3 x 1y xx=− ++ −∞ 0 x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 1 +∞ −∞ 0 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '43y xx=−+ + 1 '0 3 x y x = ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ + Trên các khỏang ()( ) ;1 μ 3;+v−∞ ∞ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang ( , y’ âm nên hàm số nghịch biến ) 1; 3 . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ = 7 3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3; y CT =1 . Giới hạn ; lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ = +∞ . Bảng biến thiên. x −∞ 1 3 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;1) Đồ thị có tâm đối xứng là I(2;5/3) x=4, y=7/3 9) 32 44 y xx=+ +x 1. Tập xác định: R 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + 2 '3 8 4 yxx=++ + 2 '0 3 2 x y x ⎡ =− ⎢ =⇔ ⎢ =− ⎣ + Trên các khỏang () ;2 2 μ ;+ 3 v ⎛ −∞ − − ∞ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ , y’ dương nên hàm số đồng biến Trên khỏang 2 2; 3 ⎛ ⎜ , y’ âm nên hàm số nghịch biến ⎞ −− ⎟ ⎝⎠ . Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=-2; y CĐ =0 Hàm số đạt cực tiểu tại 2 3 x = − ; y CT = 32 27 − . Giới hạn ; lim x y →−∞ =−∞ lim x y →+∞ = +∞ . Bảng biến thiên. x −∞ -2 2 3 − +∞ y’ + 0 - 0 + y 0 +∞ 3. Đồ thị. Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (-2;0), (0;0) Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;0) Đồ thị có tâm đối xứng là 416 ; 327 I ⎛⎞ =− − ⎜⎟ ⎝⎠ x=-3, y=-3 −∞ 32 27 − . Sơ đồ khảo sát hàm số 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên. . Xét chiều biến thiên của hàm số. + Tính đạo hàm y’. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng. toạ độ. 3. Nên lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác. 1 . Hàm bậc ba : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) a.