KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNGKHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

I Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax 4 +bx 2 + c ( a≠0 ))

B1 Tập xác định: D = R

, Tính các giới hạn:

y

xlim→ −∞

và

y

xlim→ +∞

Chú ý

B2 Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: Tính y'

Giải phương trình: y'=0

xét dấu y'

đưa ra chiều biến thiên của hàm số -Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y'

)

-Lập bảng biến thiên:

B3 Đồ thị:

- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình

0

2

4 +bx +c =

ax

Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực

hiện bước này)

Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’ là dấu biểu thức bậc 3 phía +∞cùng dấu với a mỗi lần qua 1 nghiệm đơn đổi dấu.

* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x0 ta có bảng xét dấu của y’

như sau:

x -∞

∞

y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a

*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x1; x2 ; x3

(giả sử: x1< x2 < x3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn ) 1

± ∞

→

± ∞

x x

* Nếu a < 0 ⇒

−∞

= + +

=

± ∞

→

± ∞

x x

x -∞

∞

y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

II Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 4 - 2x 2 + 2

GIẢI B1 Tập xác định: D = R

,

+∞

= +

−

=

−∞

→

−∞

→ lim( 2 2)

x x

+∞

= +

−

= +∞

→ +∞

→ lim( 2 2)

x x

B2 Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'= 4x3−4x

giải phương trình:

y'= 0 ⇔ 4x3 −4x=0 ⇔

4x(x 2 - 1) = 0 ⇔







=

±

=

0

1

x

x

- Bảng biến thiên: ( a =4 >0 )

x -∞ -1 0 1 + ∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ 2 + ∞

1 1

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (-1;0)∪(1;+∞)

và nghịch biến trên khoảng: (-∞ ;-1)∪(0;1)

- Hàm số đạt cực đại tại: x = 0 ⇒ y CĐ = 2

- Hàm số đạt cực tiểu tại: x = ±1⇒ y CT =1

* Đồ thị:

Giao với trục tung:

Cho x = 0 ⇒

y = 2 GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn ) 2 -2 -1 1 2

1 2 3 4

x y

Giao với trục hoành:

Cho y = 0 giải phương trình

0 2

2 2

4 − x + =

x

phương trình vô nghiệm (không

có giao điểm với trục hoành)

Cho x =±

2⇒

y = 10

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - 2

4

x

-x

2

+2

3

B1 Tập xác định: D = R

,

−∞

= +

−

−

=

± ∞

→

± ∞

2

3 2

( lim

x x

B2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'=-2x3 −2x = -2x(x2 +1)

0 0

) 1 -2x(x 0

y

(một nghiệm duy nhất)

- Bảng biến thiên:

-y

- ∞

2 3

- ∞

-Hàm số đồng biến trên (-∞;0) và nghịch biến trên (0; +∞)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 2

3

=

⇒ y CĐ

; hàm số không có cực tiểu

B3 Đồ thị:

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn ) 3

- Giao với trục tung: cho x = 0 ⇒

3

- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình: - 2

4

x

-x

2

+2

3

= 0

0 3 2

đặt

2

x

t =

(t≥

0)

Ta có phương trình:

2 3 0





−

=

=

) ( 3

1

loai t

t

⇒

x2=1⇒ x = ±1

- Bảng giá trị:

x -1 0 1

y 0 3/2 0

- Vẽ đồ thị

Ví dụ3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

4 2 2 1

B1 Tập xác định: D = R

,

lim

x

y

→±∞ = +∞

B2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

' 4x +4x 4x(x 1)

2

' 0 4x(x 1) 0 0

y = ⇔ + = ⇔ =x

(một nghiệm duy nhất)

- Bảng biến thiên:

( )

( )

1

-Hàm số nghịch biến trên (-∞;0) và đồng biến trên (0; +∞)

1

CT y

⇒ =

-2 -1

1 2 3

x y

O 3/2

B3 Đồ thị:

- Giao với trục tung: cho x = 0 ⇒

y=1

- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình:

Vô nghiệm

- Bảng giá trị:

x -1 0 1

y 4 1 4

- Vẽ đồ thị

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

4 2 2 1

y= − +x x +

B1 Tập xác định: D = R

,

4 2

lim lim ( 2 1)

x x

→±∞

→±∞ = − + + = −∞

B2.Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

' -4x +4x -4x(x 1)

' 0 -4x(x 1) 0

1

x y

x

=



= ⇔ − = ⇔  = ±

- Bảng biến thiên

( )

( )

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (- ; -1)&(0;1)∞

và nghịch biến trên khoảng: (-1; 0)&(1;+ ∞)

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn ) 5

- Hàm số đạt cực tiểu tại: x = 0 ⇒ y CT = 1

- Hàm số đạt cực đại tại: x= ± ⇒1 y CD=2

B3 Đồ thị:

- Giao với trục tung: cho x = 0 ⇒

y=1

- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình:

2

4 2

2

1 2

2 1 0

1 2( )

x

 = +

− + + = ⇒ 

= −



- Bảng giá trị: x

- 2 -1 0 1 2

y 1 2 1 2 1

- Vẽ đồ thị Bài tập tương tự

4

2

4 2

4

2

4 2

5

4

x

x

= − +

= + −

−

= + +

= − − +

III Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax 4 +bx 2 + c (a≠0)

g trình

y’ = 0

có ba

nghiệ

m phân

biệt

x y

O

x y

O

Phươn

g trình

y’ = 0

có một

nghiệ

m

GV.Nguyễn văn Phép (sưu tầm và soạn ) 7